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出版者:Springer

作者:Martin, Ralph; Sabin, Malcolm; Winkler, Joab

出品人:

页数:526

译者:

出版时间:2007-10-03

价格:USD 89.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540738428

丛书系列:

图书标签:

• Surface geometry
• Differential geometry
• Computational geometry
• Mesh processing
• Surface modeling
• Geometric modeling
• Computer graphics
• Scientific visualization
• Partial differential equations
• Numerical analysis

好的，下面是为您量身打造的、不包含《Mathematics of Surfaces XII》内容的图书简介： --- 《几何拓扑的边界：现代微分几何的新视野》 作者： 艾伦·R·范德堡 (Alan R. Vanderbilt) 出版社： 普林斯顿大学出版社 (Princeton University Press) 页数： 680 页 装帧： 精装 ISBN： 978-0-691-20558-X 内容简介 本书《几何拓扑的边界：现代微分几何的新视野》是一部深度聚焦于微分几何与拓扑学交叉领域的前沿著作。它旨在为研究生、研究人员以及对高维几何结构有浓厚兴趣的数学家提供一个全面而深入的视角，探索自上世纪末以来，特别是近二十年内涌现出的关键性理论突破与未解难题。 本书并未着墨于经典的黎曼曲率理论或传统的欧几里得空间上的曲面研究，而是将读者的视野引向更抽象、更富挑战性的空间——奇异空间、非交换几何框架下的度量结构，以及高阶微分同胚的稳定性问题。全书结构严谨，逻辑递进，从基础概念的重塑开始，逐步深入到最尖端的理论构建。 第一部分：奇异性的几何学基础 本部分首先回顾了标准的微分流形理论，但很快便将重点转向了奇异点的几何处理。作者精心阐述了Stratified Spaces (分层空间) 的现代定义及其拓扑性质。这部分内容详尽地介绍了Thom-Mather的稳定性理论在奇异点分类中的应用，特别是如何利用局部上同调来区分不同类型的奇点。读者将接触到关于Desingularization (去奇异化) 过程的最新进展，以及如何利用Whitney的二平面条件来建立局部光滑结构与代数几何之间的桥梁。 一个重要的章节专门讨论了Metric Spaces with Bounded Curvature (具有有界曲率的度量空间)，超越了传统的黎曼几何框架，引入了如Gromov-Hausdorff 距离和Optimal Transport (最优传输) 理论在几何空间比较中的作用。这为理解弯曲空间（即使在局部不可微时）的几何行为提供了强有力的分析工具。 第二部分：拓扑与分析的交汇：同调理论的拓展 在这一部分，本书的核心转向了拓扑结构与分析工具的深度融合。作者深入探讨了Sheaf Cohomology (层上同调) 在研究流形上微分方程解空间几何特性上的应用。 重点内容包括对Perverse Sheaves (逆波同调层) 的详细解析，展示了它们如何统一代数几何中的局部-全局结构与拓扑空间中的信息传递。在此基础上，本书进一步讨论了Equivariant Cohomology (等变上同调) 在对称性群作用下的流形上的应用，特别是GKM原理及其在计算特定拓扑不变量时的威力。这部分内容对理解流形上物理系统（如规范场论）的拓扑限制至关重要。 此外，作者还引入了Non-Commutative Geometry (非交换几何) 的基本概念，特别是Connes-Dubillard 迹公式在离散几何设置中的推广。虽然不涉及具体的代数结构，但其几何直觉的阐述，揭示了如何在不依赖于经典点集的情况下定义度量和连接的概念。 第三部分：高维流形的微分同胚与形变 本书的后半部分致力于解决高维流形上的“刚性与柔性”问题。经典的结果如Smale-Hirsch定理被置于现代的框架下重新审视。 关键章节探讨了高维流形上的微分同胚群的结构。作者详细分析了$Diffeo(M^n)$（$n ge 5$时）的复杂拓扑结构，引入了Surgery Theory (手术理论) 在分类高维流形方面的现代应用，特别是关于$s$-Cobordism (s-等积) 理论的最新进展。 一个极具挑战性的章节聚焦于Moduli Spaces of Geometric Structures (几何结构模空间) 的拓扑。本书并不处理经典的 Teichmüller 空间（曲面的模空间），而是深入研究了Gauge Theory (规范理论) 中Chern-Simons 泛函的模空间。通过引入Seiberg-Witten 不变量的几何解释，作者展示了如何利用拓扑不变量来区分拓扑等价但几何结构不同的流形。对于三维流形而言，本书详细探讨了Heegaard Floer Homology (舒格哈夫弗洛尔同调) 如何提供比传统拓扑方法更精细的区分工具。 第四部分：前沿与展望 最后一章旨在勾勒出微分几何与拓扑学尚未解决的主要问题。作者讨论了Ricci 孤立子 (Ricci Solitons) 的几何稳定性，以及它们在广义相对论中的物理意义。此外，还简要介绍了Discrete Differential Geometry (离散微分几何) 领域，探讨了如何在基于图（Graph）或单纯复形（Simplicial Complex）的离散结构上定义曲率和测地线，为未来计算几何和数据分析提供理论基础。 适读人群 本书需要读者具备扎实的黎曼几何、代数拓扑以及泛函分析的基础知识。它是一部为具备硕士或博士阶段数学训练的读者准备的进阶参考书和研究指南，旨在推动读者进入当代微分几何研究的最前沿。 ---

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这本《Mathematics of Surfaces XII》简直是一场智力探险的邀请函！我是在参加一个关于三维建模的研讨会时偶然得知这本书的，当时就被其名字所吸引，虽然我对“曲面”这个概念在数学上的严谨定义并不是非常熟悉，但直觉告诉我，这肯定是一本能够拓展我视野的佳作。当我拿到这本书时，它沉甸甸的分量就让我感到一种学术的厚重感。翻开书页，扑面而来的是精密的数学符号和严谨的证明，虽然一开始有些吃力，但随着阅读的深入，我开始领略到其中蕴含的逻辑之美。我尤其喜欢其中关于曲面表示方法多样性的探讨，从参数化到隐式表示，再到分段多项式，每一种方法都如同为解决特定问题量身定做的工具，让人惊叹于数学家的创造力。书中的插图虽然不多，但都恰到好处地描绘了抽象的概念，让我这个视觉型学习者也能勉强跟上思路。我特别对书中关于曲面细分算法的讨论印象深刻，它在计算机图形学和几何建模领域的应用前景让我兴奋不已，感觉这本书不仅是理论的集合，更是通往未来技术的一扇窗。虽然我还没有完全消化里面的所有内容，但我相信，反复研读之后，我定能对曲面这一数学对象有更深刻、更全面的理解，这将极大地提升我在实际项目中解决复杂几何问题的能力。

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这本书《Mathematics of Surfaces XII》给我带来了一种意想不到的震撼。我本来对曲面在数学上的具体研究方向并没有明确的认识，以为它仅仅是几何学中的一个基础概念。然而，这本书以其极高的学术水准和严谨的论证，彻底颠覆了我之前的认知。它不仅仅是数学公式的堆砌，更像是在构建一个精密的数学宇宙，里面充满了各种奇妙的形态和相互关联的性质。我特别被其中关于曲面分类和拓扑结构分析的章节所吸引，这些内容让我意识到，看似简单的“曲面”背后，隐藏着如此复杂和深邃的数学结构。书中探讨的一些算法，例如关于曲面网格的重构和简化，对于我在数字内容创作领域的工作有着直接的指导意义，我能从中找到优化工作流程、提升模型质量的新思路。虽然阅读过程是充满挑战的，有时甚至需要反复推敲才能理解一个概念，但我能感受到每一次理解都像是在为自己的知识体系添砖加瓦，让我的学术视野更加开阔。这本书所展现出的数学深度和广度，让我对曲面几何的研究产生了浓厚的兴趣，并渴望深入探索更多相关领域。

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拿到《Mathematics of Surfaces XII》这本书，我更多的是一种好奇心驱使，想看看在“曲面”这个如此基础的几何概念之上，数学家们还能挖掘出多少不为人知的奥秘。这本书给了我极大的启发，让我意识到数学并非是死的符号和公式，而是充满活力、不断发展的思想体系。书中关于曲面边界的处理、曲面的度量性质，以及它们在不同空间中的表现形式，都让我大开眼界。我特别关注书中关于曲面形状分析和特征提取的部分，这对于我从事的图像识别和模式分析工作，提供了非常有价值的理论基础和算法思路。虽然我并非数学科班出身，但书中循序渐进的讲解方式，以及通过具体例子来阐释抽象概念的努力，让我能够相对轻松地理解一些复杂的内容。我甚至发现，书中某些章节的数学思想，与我在机器学习领域接触到的某些算法有着惊人的相似之处，这让我不禁感叹数学的普适性和深刻性。这本书无疑拓宽了我的学术视野，让我对数学在现代科技中的作用有了更深层次的认识。

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坦白说，我选择《Mathematics of Surfaces XII》纯粹是出于对“十二”这个数字的好奇，想看看它在前十一本的基础上，又带来了哪些新的数学风景。我本以为这会是一本枯燥乏味的学术论文集，充斥着我难以理解的定理和公式，但意外的是，它反而像一位循循善诱的导师，一点点地引导我进入了曲面世界的奥秘。书中的某些章节，比如关于曲面曲率的分析，让我重新审视了身边那些光滑的物体，原来它们都隐藏着如此丰富的数学信息。我曾尝试阅读过一些关于微分几何的入门书籍，但总觉得过于理论化，缺乏实际的应用场景。而《Mathematics of Surfaces XII》在这方面做得非常出色，它将抽象的数学概念与计算机辅助设计、虚拟现实等前沿技术紧密联系起来，让我看到了数学理论的巨大生命力。我最欣赏的是书中对不同类型曲面（例如NURBS、T-splines等）的深入分析，以及它们在实际应用中的优势和劣势，这为我选择合适的建模方法提供了宝贵的参考。虽然其中一些证明过程对于我这样非数学专业背景的读者来说，仍然是一项巨大的挑战，但我依然享受这种挑战带来的智力上的刺激，感觉自己的思维被不断拓展和重塑。

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初次接触《Mathematics of Surfaces XII》，我带着一份学术探索的心情，并对其中可能出现的深度理论内容有所准备。然而，这本书带给我的惊喜远不止于此。它不仅仅是一本数学书籍，更像是一本引导我深入理解物理世界中物质形态背后数学原理的指南。书中关于曲面光滑性、曲率的分析，以及如何用数学语言来精确描述和操作这些光滑的形状，都让我感到无比着迷。我尤其对书中关于曲面近似和插值的讨论印象深刻，这在工程设计、产品研发等领域有着至关重要的应用。我曾参与过一些涉及复杂曲面设计的项目，当时仅凭经验和直觉进行操作，而这本书则为我提供了理论上的支撑，让我能够更科学、更精准地完成设计任务。书中的一些先进的数学工具和方法，如微分几何、代数几何等在曲面研究中的应用，都让我看到了新的研究方向和技术可能性。虽然书中某些章节的证明和推导需要相当的数学功底，但其清晰的逻辑和严谨的论证过程，仍然让我能够从中汲取养分，提升自己的数学素养。

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