Student Solutions Manual for Single Variable Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cengage Learning

作者:Daniel Anderson

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2007-01-02

价格:USD 67.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780495012405

丛书系列:

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深入解析微积分核心：理论与应用并重 一本专为严谨学习者打造的经典教材，旨在为读者构建扎实、全面的单变量微积分知识体系。 本书并非传统的解题手册，而是一部侧重于概念的深度理解、证明的严谨性以及数学思维培养的权威著作。我们坚信，真正的掌握源于对“为什么”的透彻理解，而非简单的“怎么做”。因此，本书在内容编排上精心设计，力求在提供必要计算技能的同时，将读者引向微积分思想的精髓。 第一部分：极限、连续性与导数的奠基石 本部分作为整个微积分大厦的基石，我们将以极其细致的方式探讨极限的概念。我们不会止步于直观的理解，而是深入到 $epsilon-delta$ 定义的严谨证明中。这部分内容是理解微积分后续所有理论的基础，因此，我们投入了大量的篇幅来阐述这些抽象概念如何转化为可操作的数学工具。 极限的严格性： 序列收敛与极限的等价性： 详细讨论了数列极限与函数极限之间的内在联系，展示了如何利用单调有界定理等工具来证明极限的存在性。 微积分中的基本定理的证明视角： 探讨了夹逼定理、极限的代数运算法则等，并以这些法则的严格推导为基础，为后续的连续性和导数理论打下坚实基础。 单侧极限与无穷极限： 细致区分了不同类型的极限，特别是垂直渐近线和水平渐近线的几何意义，并探讨了这些概念在函数行为分析中的关键作用。 连续性：从拓扑视角理解函数的“不间断”： 我们将连续性定义为函数在每一点的极限等于该点的函数值，并随后探讨了连续性的代数性质。但更重要的是，我们引入了对集合（如开集和闭集）的初步认识，以更深层次地理解在 $mathbb{R}$ 上的函数连续性。 介值定理（IVT）与最值定理（EVT）的严格证明： 这些定理是应用微积分解决实际问题的两大支柱。本书不仅展示了如何应用它们，更重要的是，提供了基于完备性公理的、无懈可击的证明过程，帮助读者体会数学证明的力量和美感。 导数：变化率的精确量化： 导数的引入将从平均变化率过渡到瞬时变化率的极限过程。我们详细分析了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速率），并着重于导函数本身作为一个新函数的性质研究。 导数的计算规则的推导： 链式法则、乘法法则和除法法则的推导过程将清晰展示，避免了仅仅罗列公式。特别是链式法则的深刻理解，对于多变量微积分的学习至关重要。 高阶导数与函数图像的关联： 凸性、拐点和二阶导数之间的关系被系统地梳理，为后续的函数分析和优化问题做好了准备。 第二部分：积分学——累积的艺术与反向操作 本部分将视角转向积分，从黎曼和的直观概念出发，逐步构建起定积分的严谨数学定义。我们致力于展示定积分不仅仅是一个计算面积的工具，更是对有限个微小量进行累加的强大框架。 黎曼积分的构造： 上和与下和的收敛性： 我们详细分析了如何通过精细划分区间来逼近真实面积，并讨论了可积性的充要条件。 积分的线性性质与估算不等式： 这些性质是进行积分估计和证明的基础。 微积分基本定理（FTC）：连接微分与积分的桥梁： 这是整个微积分理论的最高成就。本书将FTC分为两部分进行深入讲解： 1. FTC 第一部分： 证明了微分和不定积分（或反导数）之间的互逆关系，着重于积分上限函数的可微性。 2. FTC 第二部分： 提供了计算定积分的实用方法，即利用反导数进行评估。我们提供了这两部分的严格证明，强调了理解它们在理论上的互补性。 积分技巧与应用： 虽然本书的重点在于理论基础，但我们也提供了必要的计算工具，这些工具源于对反导数性质的深刻理解： 换元法（U-Substitution）与分部积分法（Integration by Parts）： 它们的推导过程直接源于链式法则和乘积法则，再次体现了理论的一致性。 有理函数积分与三角代换： 作为进阶技巧，我们将其置于标准框架内，强调在何种情况下适用特定方法。 第三部分：超越基础——应用与进阶概念的初步探索 在掌握了核心的微分和积分工具后，本部分将展示这些工具在解决更复杂问题时的威力，并为读者后续学习多变量微积分、微分方程等领域打下必要的“后勤”基础。 超越初等函数的积分应用： 反常积分（Improper Integrals）： 探讨了积分区间无限延伸或被积函数在某点无界的积分，引入了极限的概念来处理收敛性问题。 定积分在几何学中的应用： 不仅仅是面积，还包括体积（圆盘法、壳层法）和弧长计算，这些都要求读者精确地设置积分区间和微分元 $dx$ 或 $dy$。 数列与级数：无穷的算术： 本部分将微积分思想扩展到无限项的序列和级数上，这是从有限数学迈向无穷数学的关键一步。 序列的收敛性： 重申极限的概念在序列中的应用。 级数的收敛判别法： 我们将详细分析比值检验、根值检验、积分检验等工具的适用范围和局限性。特别是积分检验法，它直接将级数收敛问题转化为了反常积分的收敛性问题，是微积分理论融会贯通的体现。 幂级数与泰勒级数： 这是本书的理论高潮之一。我们深入探讨了函数的泰勒展开，证明了收敛半径的确定过程，并讨论了函数与幂级数表示之间的一致性。这部分内容要求读者具备对极限和导数理论的完全掌控。 本书的特色与承诺： 本书的结构设计旨在培养学生批判性思维和数学建模能力。我们避免了过度依赖计算器或现成公式，而是鼓励读者： 1. 从几何直觉出发，回归代数证明。 2. 清晰识别应用场景中“变化率”和“累积量”的本质。 3. 理解每一个定理背后的假设和局限性。 通过对极限、连续性、导数和积分之间内在联系的细致剖析，本书提供了一套完整、连贯且具有高度学术价值的单变量微积分学习体验。它不仅是课程的辅导材料，更是未来深造数学、物理、工程和经济学领域的坚实垫脚石。

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