Eleven Papers on Number Theory, Algebra and Functions of a Complex Variable (American Mathematical S pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:S.I. Adjan

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1965-12-31

价格:USD 42.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821817469

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数论
• 代数
• 复变函数
• 数学分析
• 美国数学学会
• 翻译
• 学术著作
• 高等数学
• 数学研究

现代解析数论前沿：函数空间、自守形式与L-函数 本书涵盖了二十世纪中后期以来在解析数论领域取得突破性进展的若干关键主题。它并非对既有经典著作的简单复述，而是着重展示了当代研究人员如何利用先进的分析工具，特别是在函数空间理论和自守表示理论的框架下，来解决数论中的核心问题。全书结构严谨，内容深刻，旨在为具备扎实数学基础的读者提供一个深入理解现代解析数论前沿动态的窗口。 第一部分：广义黎曼猜想与解析方法的拓宽 本书的第一部分将注意力集中在对黎曼 $zeta$ 函数及其推广形式（如狄利克雷 $L$-函数和模形式 $L$-函数）的零点分布的深入研究。传统的黎曼-希尔伯特-波利亚猜想（RH）及其现代解析表述，是贯穿这一部分的主线。 1.1 函数空间的构造与谱方法 我们将详尽考察在黎曼曲面上嵌入（embedding）的希尔伯特空间。重点在于拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）在双曲几何中的作用及其本征值谱。这些本征值与 $zeta$ 函数的非平凡零点之间存在的深刻联系，是谱分析应用于数论的基石。我们将详细讨论如何利用福里耶分析（Fourier analysis）在这些黎曼面上构造合适的狄拉克算子（Dirac operator）或希尔伯特空间，并利用这些空间上的算子理论来推导出关于零点密度的更精细的估计。 1.2 随机矩阵理论的引入 在分析零点统计学特性时，本书引入了随机矩阵理论（RMT），特别是高斯酉矩阵集（GUE）的统计模型。我们将论证为什么 GUE 统计结构与 $zeta$ 函数零点间的间距分布惊人地相似。此部分将探讨如何将黎曼-齐格尔公式（Riemann-Siegel formula）的修正项，通过对量子混沌系统的研究成果进行“平滑化”处理，从而在概率意义上证明这些零点遵循 GUE 统计规律。这部分内容需要读者对概率论和群表示论有初步的了解。 1.3 广义黎曼猜想的近期进展 我们不会止步于经典的狄利克雷 $L$-函数。本书将深入探讨更广泛的数论对象——例如具有特定自守表示关联的 $L$-函数——的广义黎曼猜想（GRH）。我们将回顾威尔（Weil）关于有限域上代数曲线上的 $zeta$ 函数的证明（与代数几何的联系），并将其思想推广到更抽象的函数域上。对于数论中的伽罗瓦表示（Galois representations）所关联的 $L$-函数，我们将展示如何通过自守形式的构造来验证它们满足函数方程，这是证明 GRH 的关键一步。 --- 第二部分：自守形式、表示论与代数几何的交汇 解析数论的现代发展离不开朗兰兹纲领（Langlands Program）的深刻影响。本部分将聚焦于如何将数论问题转化为表示论的语言，特别是自守形式的构造和性质。 2.1 自守函数的傅里叶展开与狄利克雷级数 我们从一个经典的观点出发：自守形式（如模形式）的傅里叶系数与数论函数（如除数函数、模函数）的性质密切相关。然而，本书将超越经典的傅里叶级数，转向更具一般性的自守表示（Automorphic Representations）。特别是对于 $mathrm{GL}(n)$ 这样的更一般的李群，我们将讨论其在 $mathbb{A}$ 上的自守形式的构造，以及如何通过局部L-因子的乘积来定义全局 $L$-函数。 2.2 费尔马德（Fermat-Deligne）上同调与几何化 为了理解高阶 $L$-函数（如多重 Zeta 值或特殊 $L$-函数），我们需要更强大的工具。本部分将介绍费尔马德上同调（Fermat Deligne Cohomology）的思想，尽管它与经典代数几何的关联不如传统上同调理论那样直接，但它为理解 $zeta$ 函数中的“代数信息”提供了一个新的视角。我们将探讨如何将特定的数论构造（如高阶贝塞尔函数或特殊函数的值）嵌入到某个几何对象的上同调群中，从而利用代数几何的完备性来约束 $L$-函数的性质。 2.3 伽罗瓦表示与迹公式的现代应用 朗兰兹纲领的核心在于建立伽罗瓦表示与自守表示之间的桥梁。本书将详细讨论如何利用阿代尔（Adeles）环来统一处理所有局部场上的信息，从而构建全局的自守函数空间。随后，我们将探讨韦伊（Weil）迹公式的推广形式——即自守形式上的迹公式（Trace Formula）。这个公式，通过对比几何对象（如黎曼曲面上的测地线）和代数对象（如伽罗瓦群的元素），为计算 $L$-函数的近似值和验证函数方程提供了强有力的分析手段。我们将特别关注如何利用对偶空间（dual spaces）和陪集空间（quotient spaces）上的积分来“挤出”数论信息。 --- 第三部分：特殊函数与超越数的代数分析 解析数论的另一重要分支在于处理特殊函数（如伽马函数、贝塞尔函数的高阶推广）的值以及与它们相关的超越数性质。 3.1 椭圆函数与模函数 虽然本书侧重于现代方法，但回顾经典的椭圆函数（Elliptic Functions）和模函数（Modular Functions）的解析性质仍然至关重要。我们将讨论如何利用这些函数作为极小自守形式的例子，来理解更一般自守表示的结构。重点在于如何利用它们的模变换性质（即在 $mathrm{SL}(2, mathbb{Z})$ 作用下的行为）来推导狄利克雷级数的函数方程。 3.2 超越性与丢番图逼近的界限 本书还将探究与 $L$-函数零点关联的特殊值（如特定整数点上的值）的代数性质。虽然本书不直接涉及数论中的丢番图逼近，但我们将分析范德波登（van der Waerden）型定理在复分析框架下的延伸，即如何利用特定函数（如具有特定积分表示的函数）的快速衰减性，来证明某些函数值（如特定 $L$-函数的奇点附近的值）的超越性。这部分内容要求读者对复变函数论的留数定理和鞍点法有深刻理解。 3.3 算术迹公式的数值稳定性与计算 最后，我们将讨论现代解析数论中的一个实际问题：如何有效地计算这些复杂的迹公式。我们将介绍一些高级的数值积分技术，这些技术依赖于傅里叶展开的快速收敛性，以期在计算层面验证解析猜想。这部分内容涉及大量关于超几何级数（Hypergeometric Series）展开和误差估计的分析技巧。 总结： 本书的目标读者是对解析数论有深入兴趣的研究人员和高年级研究生。它回避了对初级数论（如欧几里得算法、初等素数定理）的冗余介绍，而是直接切入到 函数空间、表示论、几何化 这三个现代解析数论的核心支柱，展现了如何利用最尖端的分析工具解决最古老的数论难题。书中包含了大量未被主流教科书详细阐述的计算细节和现代研究思路。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆