Simple Theories (Mathematics and Its Applications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Publishers

作者:Frank O. Wagner

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2000-02-23

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792362210

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 理论
• 应用数学
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• 数学基础
• 高等教育
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• 科学计算
• 数学分析

《几何构筑：从欧几里得到黎曼的纯粹形式探索》 作者：[虚构作者姓名，例如：亚历山大·冯·霍夫曼] 出版社：[虚构出版社名称，例如：普罗米修斯学术出版社] --- 图书简介 在人类思想的宏伟殿堂中，几何学始终占据着一席之地，它不仅是关于空间、形状和测量的科学，更是数学结构本身逻辑严谨性的终极体现。《几何构筑：从欧几里得到黎曼的纯粹形式探索》 并非一本基础的入门读物，而是一次深刻而全面的智力之旅，旨在揭示几何学从其古典根基到现代抽象框架的演化轨迹，以及这种演化如何重塑了我们对宇宙和抽象结构的理解。 本书的核心叙事围绕着“公理体系的弹性与张力”展开。我们始于欧几里得几何的辉煌——那个由五条公理构筑的、被认为是描述自然界唯一真实空间的完美体系。作者细致地剖析了欧几里得体系的逻辑优雅性，尤其关注第五公设（平行公设）在两千多年间所引发的哲学和数学不安。 第一部分：古典基础的重估（The Reappraisal of Classical Foundations） 这一部分深入探讨了对欧几里得体系进行严格化的努力。我们审视了希尔伯特（David Hilbert）对欧氏公理系统的形式化工作，它不仅固化了欧氏几何的逻辑框架，更重要的是，它确立了现代数学对“形式系统”的理解范式。作者强调，希尔伯特的工作并非仅仅是为了证明欧氏几何的正确性，而是为了将其转化为一个可以被检验、分析其完备性和一致性的符号结构。 接下来的章节将焦点转向“非欧几何的诞生”。本书不会简单地介绍罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和鲍耶（Bolyai）的工作，而是将其置于科学史的语境中——探讨当人们敢于否定一个被认为是“真理”的公设时，数学想象力是如何被释放的。我们详细分析了双曲几何（Hyperbolic Geometry）的内在逻辑一致性，以及它是如何通过精确的代数工具来描述一个“负曲率”的空间。 随后，高斯（Carl Friedrich Gauss）在曲面论方面的开创性工作，特别是“绝妙定理”（Theorema Egregium），被视为连接欧氏和非欧几何的桥梁。高斯证明了曲率是内蕴的几何性质，这一洞察为黎曼几何的诞生铺平了道路，因为它表明空间的性质可以在不依赖于嵌入空间的情况下被完全描述。 第二部分：曲率的革命与微分几何的兴起（The Curvature Revolution and the Rise of Differential Geometry） 本书的第二部分是关于从静止的、可度量的空间转向动态的、可微的空间的飞跃。微分几何，作为连接分析学与几何学的桥梁，在此处被赋予了核心地位。 我们深入探讨了黎曼几何（Riemannian Geometry）的精髓。黎曼引入了“黎曼流形”（Riemannian Manifold）的概念，用度量张量（Metric Tensor）来定义空间中任意两点之间的距离和角度。这不仅仅是一种数学工具的改进，更是一种哲学上的转变：空间不再是一个被动的背景，而是一个具有内在几何特性的动态实体。作者详细解读了测地线（Geodesics）的概念——在弯曲空间中“最短”或“最直”的路径，并展示了这些概念如何直接服务于爱因斯坦的广义相对论。 为了更好地理解这些抽象结构，本书专门辟出一章来分析“外微分”（Exterior Calculus）在描述流形上的积分和微分运算中的作用。霍奇理论（Hodge Theory）的初步介绍，将拓扑学中的不变量（如拓扑上定义的“洞”）与微分结构中的信息结合起来，预示着更深层次的统一。 第三部分：拓扑的维度与抽象结构的探索（The Dimensions of Topology and the Exploration of Abstract Structures） 几何学的演化并未止步于黎曼张量。本书的第三部分转向了对“不变性”和“形变”的研究——即拓扑学（Topology）。 我们探讨了拓扑学如何从对几何图形的“拉伸和扭曲而不撕裂”的直观理解，发展成为一门严格的数学分支。庞加莱（Henri Poincaré）对同调论（Homology Theory）的开创性工作，被详尽分析。他提出的基本群（Fundamental Group）的概念，使得数学家能够通过代数工具来区分具有不同“拓扑结构”的空间（例如甜甜圈和球体）。 此后的章节将目光投向了更高维度的空间构造。《几何构筑》 详尽讨论了流形理论在现代物理学和工程学中的应用，包括李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）在描述对称性方面的关键作用。这些结构不仅是纯粹的数学概念，更是理解规范场论和粒子物理学对称性的基础。 最后，本书以对“非交换几何”（Noncommutative Geometry）的展望性讨论收尾。这代表着几何学探索的边界——当空间的基本点不再是确定时，几何学的意义何在？这种前沿探索，揭示了对传统“点与距离”概念的彻底超越。 目标读者与价值 本书面向具有坚实微积分和线性代数基础的本科高年级学生、研究生，以及对数学哲学和科学史感兴趣的专业人士。它并非为了提供大量的计算技巧，而是致力于构建一个连贯的思维框架，使读者能够理解几何学是如何从欧氏体系的坚固堡垒，演变为一个充满活力、不断自我挑战的抽象结构体系。通过对关键思想家和里程碑式概念的深入剖析，本书旨在培养读者对数学结构美学和逻辑深度的深刻欣赏。它要求读者不仅要“知道”什么是曲率，更要“理解”为什么曲率在数学描述中是不可或缺的。 --- 页数：约780页 配图：约250幅概念性图示及历史文献插图

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