Representations and Invariants of the Classical Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Roe Goodman

出品人:

页数:685

译者:

出版时间:2000-1-13

价格:USD 75.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521663489

丛书系列:

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经典群的表示与不变量 一本深入探索代数、几何与物理交叉领域的权威著作 本书全面、系统地探讨了经典李群（如 $ ext{GL}(n), ext{SL}(n), ext{O}(n), ext{Sp}(2n)$）的表示论及其在不变量理论中的核心地位。它不仅仅是一本理论教科书，更是一份连接抽象代数结构与具体几何和物理应用的详尽指南。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步深入到最前沿的研究课题，旨在为数学、理论物理和相关工程领域的学者和高级学生提供坚实的理论基础和丰富的研究素材。 第一部分：基础与核心概念 本书的开篇部分致力于奠定坚实的数学基础。 第1章：李群与李代数的预备知识 本章回顾了流形、李群的定义、微分结构以及李代数的结构。重点阐述了指数映射、伴随表示以及李群的连通性和单连通性。详细讨论了经典群 $ ext{GL}(n, mathbb{C}), ext{SL}(n, mathbb{C}), ext{O}(n, mathbb{C}), ext{Sp}(2n, mathbb{C})$ 及其实形式的李代数结构，包括它们的根系和 Cartan 子代数。对 Weyl 单纯性判据和 Cartan 判别法进行了详尽的论述。 第2章：有限维表示论的基石 本章聚焦于李代数（而非群）的有限维表示理论。引入了权（Weights）的概念，并基于 Cartan 子代数结构，导出了最高权重理论（Highest Weight Theory）。详细构造了 Verma 模，并证明了所有有限维表示都由其最高权重唯一确定。对 Weyl 维度公式和 Freudenthal 梯度公式进行了深入的推导和应用演示，这些公式是计算表示维度的核心工具。 第3章：张量积与诱导表示 本章探讨了如何从较小的表示构造更大的表示。讨论了张量积的分解（Clebsch-Gordan 分解的代数对应），以及如何利用 Schur 引理和 Schur 伴随理论（如 $ ext{Hom}$ 空间的研究）来理解不可约表示之间的关系。诱导表示（Induced Representations）及其与共约子空间（Co-adjoint Orbits）的联系也在本章得到了充分的阐述，为后续研究对称性下的不变量打下基础。 第二部分：经典群的特殊表示 本部分将理论框架应用于四大类经典群，这是本书的核心内容。 第4章：一般线性群 $ ext{GL}(n)$ 的表示 $ ext{GL}(n)$ 的表示论是理解所有其他经典群的基础。本章详细分析了 $ ext{GL}(n)$ 的复数表示，重点围绕多重线性代数（如张量空间 $V^{otimes k}$）展开。介绍了 Schur 函子（Schur Functors）及其与 $ ext{GL}(n)$ 表示之间的深刻联系。通过引入对称群 $S_n$ 和其表示（Specht 模块），展示了 Weyl 的图式理论（Schur-Weyl Duality），揭示了 $ ext{GL}(n)$ 表示与 $S_n$ 表示之间的基本对偶性。 第5章：特殊线性群 $ ext{SL}(n)$ 的表示 由于 $ ext{SL}(n)$ 是 $ ext{GL}(n)$ 的子群，其表示是 $ ext{GL}(n)$ 表示在行列式为 1 的约束下的限制。本章专注于分析 $ ext{SL}(n)$ 不可约表示的结构，特别是如何识别并剔除那些 $ ext{GL}(n)$ 表示中不满足 $det(g)=1$ 条件的“冗余”部分。重点研究了黎曼几何中使用的微分形式空间上的表示。 第6章：正交群 $ ext{O}(n)$ 与特殊正交群 $ ext{SO}(n)$ 的表示 本章转向非复线性（或实正交）的表示，处理规范（Norm）被保持的群。详细分析了欧几里得空间上的正交变换。利用 Killing 型和 Cartan 子代数的结构，导出了 $ ext{O}(n)$ 和 $ ext{SO}(n)$ 简正表示（Wedge Powers）的性质。引入了 Casimir 算子的概念，并展示了如何利用它来区分不同的表示。对于低维情况（如 $ ext{SO}(3)$），与角动量理论的联系得到了深入探讨。 第7章：辛群 $ ext{Sp}(2n)$ 的表示 辛群 $ ext{Sp}(2n)$ 是与二次型（非退化、斜对称双线性型）相关的群。本章介绍了辛代数（Symplectic Algebra）的结构，并将其与 $ ext{sl}(2n)$ 的结构进行对比。辛群的表示分析需要引入新的概念，例如“伪实数”结构和 Casimir 算子的特定值。重点讨论了由玻色子场论直接引出的 $ ext{Sp}(2n)$ 表示。 第三部分：不变量理论与根系方法 本部分将表示论的结果应用于经典不变量理论，特别是利用几何和组合工具。 第8章：根系与 Weyl 群 本章是连接李群表示与组合学的桥梁。系统介绍了所有四种经典李代数的根系 ($ ext{A}_n, ext{B}_n, ext{C}_n, ext{D}_n$)。详细分析了 Weyl 群（由 Cartan 子代数上的反射生成）的作用，以及它在表示分类中的关键作用。Weyl 不变式（如 Weyl 分子公式）的推导贯穿本章，展示了根系结构如何编码了表示的维度信息。 第9章：不变量理论与 Schur 算子 本章回到了本专业的焦点：不变量。从经典的二次型不变量开始，推广到 $ ext{GL}(n)$ 上的多项式不变量。引入了 Gordan-Hilbert 零点定理的现代版本，并讨论了不变量代数（如经典的辛不变量代数）的有限生成性。重点分析了特定张量空间 $V^{otimes k} otimes (V^)^{otimes l}$ 上的不变量，这些不变量通常与特定李群的几何结构密切相关。 第10章：经典群的同调与上同调 本书最后部分探讨了表示论在代数拓扑中的应用。介绍了李群的上同调（Lie Group Cohomology）的基本工具，特别是关于不变子空间的分析。利用 Chevalley-Eilenberg 上同调，推导了 Casimir 算子在特定表示空间上的性质。讨论了 De Rham 上同调与不变微分形式之间的关系，展示了经典群如何作为对称性群作用于流形上的几何对象，并保持某些拓扑不变量。 结论 《经典群的表示与不变量》旨在为读者提供一个完整、深入的视角，理解这些代数结构如何支配了从微分几何到量子场论的广泛领域。它需要的读者具备扎实的线性代数、抽象代数和初步的微分几何知识。本书的深度和广度使其成为该领域研究者必备的参考书。

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