Differential Equations & Linear Algebra (Custom Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Pearson Custom Publishing

作者:David E. Penney C. Henry Edwards

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780536859730

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 线性代数
• 高等数学
• 工程数学
• 数学教材
• 大学教材
• 自定义版
• Schaum's Outlines
• 数学分析
• 应用数学

探索数学的深邃之美：方程的奥秘与空间的结构 本书旨在带领读者踏上一段令人着迷的数学探索之旅，深入理解两个至关重要的数学分支——微分方程和线性代数。这两门学科并非孤立存在，而是相互交织、相辅相成，共同构筑了现代科学与工程学的坚实基石。通过本书，您将不仅掌握解决问题的强大工具，更能领略数学思维的精妙之处，洞察现实世界中各种现象背后的深层规律。 第一部分：微分方程——动态世界的语言 微分方程是描述变化率与变量之间关系的数学语言，它广泛应用于从物理学、工程学到生物学、经济学等众多领域。在这一部分，我们将循序渐进地揭示微分方程的奥秘，从最基本的概念出发，逐步深入到复杂的求解方法和理论分析。 第一章：何为微分方程？ 本章将首先明确微分方程的定义，区分常微分方程与偏微分方程，并介绍其在各个学科中的具体应用实例。我们将通过直观的例子，例如物体自由落体运动的描述，以及人口增长模型的构建，来阐释微分方程如何捕捉和量化动态过程。读者将初步理解为何这类方程在科学研究中如此重要。 第二章：一阶微分方程的求解 我们将从最简单的一阶微分方程开始，学习几种基本的求解方法。这包括： 变量可分离方程： 掌握如何将方程变形，使得自变量和因变量的微分项分别位于等号两侧，从而实现积分求解。我们将探讨其应用场景，例如冷却定律和放射性衰变。 线性一阶微分方程： 介绍积分因子法，一种系统性的求解方法，用于处理形如 $y' + p(x)y = q(x)$ 的方程。我们将展示如何应用该方法解决电路分析和化学反应速率等问题。 恰当方程（Exact Equations）： 学习如何识别和求解恰当方程，以及如何通过积分因子将其转化为恰当方程。这类方程在描述守恒定律等物理现象时尤为常见。 伯努利方程（Bernoulli Equations）： 介绍如何通过变量替换将伯努利方程转化为线性方程进行求解，并分析其在某些人口动态模型中的应用。 第三章：高阶线性微分方程 本章将把关注点转移到高阶线性微分方程，这些方程在描述更复杂的动态系统时不可或缺。 常系数线性齐次方程： 重点讲解特征方程法，如何通过求解特征方程的根来确定方程的通解。我们将详细讨论实根、重根和复根的情况，并结合弹簧振子模型和RLC电路模型进行讲解。 常系数线性非齐次方程： 介绍两种主要的求解方法： 待定系数法： 适用于某些特定形式的非齐次项（如多项式、指数函数、正弦/余弦函数），通过假设解的形式并代入方程确定待定系数。 常数变易法（Variation of Parameters）： 一种更通用的方法，适用于任意形式的非齐次项，通过构建一个特殊的积分来求解非齐次方程的特解。 幂级数解法： 针对系数非常数的微分方程，介绍如何利用幂级数展开来求解方程的近似解或解析解。我们将讨论常点和奇点，以及如何构造幂级数解。 第四章：微分方程组与向量场 本章将介绍如何处理多个微分方程组成的系统，以及如何通过向量场来直观理解微分方程的解的行为。 微分方程组的解法： 学习如何将高阶微分方程转化为一阶微分方程组，并应用线性代数的方法（如特征值和特征向量）来求解常系数线性微分方程组。我们将展示如何用这种方法分析两个相互作用的种群数量变化。 相平面分析（Phase Plane Analysis）： 引入向量场和相图的概念，通过分析相图上的箭头方向和轨迹，来预测和理解微分方程解的长期行为，例如稳定点、极限环等。这对于理解振荡系统和生态系统动力学至关重要。 第五章：拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种强大的积分变换技术，可以将微分方程转化为代数方程，极大地简化了求解过程，尤其在处理含有阶跃函数和冲激函数的问题时。 拉普拉斯变换的定义与性质： 介绍拉普拉斯变换的定义，以及线性、时移、频移、积分、微分等重要性质。 利用拉普拉斯变换求解微分方程： 展示如何将微分方程进行拉普拉斯变换，求解变换后的代数方程，再通过拉普拉斯逆变换得到原方程的解。我们将重点关注其在电路分析和控制系统设计中的应用。 卷积定理： 介绍卷积定理及其在拉普拉斯变换中的应用，以及如何处理含有卷积的微分方程。 第二部分：线性代数——结构的骨架 线性代数是研究向量空间、线性映射以及方程组的数学学科。它为理解和处理多维数据、系统建模和优化问题提供了强大的工具。本部分将带您领略线性代数的优雅与力量。 第六章：向量与向量空间 本章将建立线性代数的基础概念。 向量的基本概念： 定义向量，介绍向量的加法、标量乘法，以及向量的几何意义。我们将讨论在二维和三维空间中的向量运算。 向量空间与子空间： 引入向量空间的抽象概念，理解其公理化定义。定义子空间，并学习如何判断一个集合是否为向量空间或子空间。 线性组合、线性无关与基： 讲解线性组合的概念，定义线性无关与线性相关，并引入基与维度的概念。理解一个向量空间能否被一组基向量张成。 坐标系与向量表示： 学习在不同的基下表示向量，理解坐标系变换的意义。 第七章：矩阵及其运算 矩阵是线性代数的核心工具，它以简洁的方式表示线性变换和方程组。 矩阵的定义与类型： 介绍矩阵的行、列、阶数，以及零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、三角矩阵等特殊类型。 矩阵的加法、减法与标量乘法： 讲解矩阵之间的基本运算规则。 矩阵乘法： 详细讲解矩阵乘法的定义与性质，以及它在复合线性变换中的意义。 矩阵的转置与迹： 介绍矩阵转置的定义和性质，以及矩阵迹的概念。 特殊矩阵： 讨论可逆矩阵、方阵、方阵的行列式（在下一章详细介绍）等概念。 第八章：线性方程组与行列式 线性方程组是线性代数中最直接的应用之一，而行列式是判断线性方程组解的性质的重要工具。 线性方程组的表示： 将线性方程组表示为矩阵方程 $Ax = b$ 的形式。 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 详细介绍高斯消元法和高斯-约旦消元法，用于求解线性方程组，并将系数矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形。 解的存在性与唯一性： 通过行阶梯形矩阵，分析线性方程组解的存在性（有唯一解、无穷多解或无解）和唯一性。 行列式的计算： 介绍二阶、三阶行列式的计算方法，以及利用代数余子式和代数因子进行高阶行列式计算。 行列式的性质： 探讨行列式的各种性质，例如与行变换的关系，以及如何利用行列式判断矩阵是否可逆。 克莱默法则（Cramer's Rule）： 介绍利用行列式求解线性方程组的方法，并分析其适用范围。 第九章：向量空间的基、维度与子空间 本章将深化对向量空间的理解，特别是其结构性特征。 行空间、列空间与零空间： 定义矩阵的行空间、列空间和零空间，并学习如何找到它们的基和维度。 秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem）： 阐述矩阵的秩与零度之间的关系，以及它在理解线性变换性质中的重要作用。 基的变换与坐标变换： 学习如何进行坐标变换，以及不同基下向量表示的变化。 第十章：特征值与特征向量 特征值和特征向量是理解线性变换作用方式的关键。 特征值与特征向量的定义： 介绍 $Av = lambda v$ 的定义，以及如何求解矩阵的特征值和对应的特征向量。 特征多项式： 学习如何通过计算特征多项式来求解特征值。 特征向量的线性无关性： 探讨不同特征值对应的特征向量的线性无关性。 对角化（Diagonalization）： 学习如何判断一个矩阵是否可对角化，以及如何进行对角化。对角化在简化矩阵运算、求解高阶微分方程组以及数据分析中具有重要应用。 第十一章：线性变换 线性代数的核心在于线性变换，它们是保持向量空间结构（加法和标量乘法）的函数。 线性变换的定义与性质： 引入线性变换的概念，并学习其基本性质，例如核（Kernel）和像（Image）。 矩阵与线性变换的关系： 学习如何用矩阵表示线性变换，以及矩阵乘法在复合线性变换中的意义。 几种重要的线性变换： 讨论旋转、伸缩、投影等常见的线性变换，并分析它们的矩阵表示。 线性变换在几何中的应用： 展示线性变换如何用于描述几何图形的变换，例如旋转、缩放和剪切。 第十二章：内积空间与正交性 本章将引入度量和角度的概念，使向量空间具备更丰富的几何结构。 内积的定义与性质： 引入向量之间的内积（点积），以及其基本性质。 向量的长度与距离： 利用内积定义向量的长度（范数）和向量之间的距离。 正交性与正交基： 定义向量的正交性，并介绍正交基和标准正交基的概念。 格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）： 学习如何将任意一组基向量正交化，构造正交基。 最小二乘法（Least Squares）： 介绍最小二乘法在拟合数据和求解超定方程组中的应用，以及它与正交投影的关系。 贯穿全书的主题：联系与应用 本书不仅致力于传授理论知识，更强调微分方程和线性代数之间的深刻联系以及它们在解决实际问题中的强大力量。我们将不断地从现实世界中提取问题，并运用所学的数学工具来分析和解决它们。无论是物理系统的运动规律，还是经济模型的预测，抑或是工程设计的优化，本书都将为您提供理解和驾驭这些复杂系统的数学框架。通过对理论的扎实掌握和对应用的深入探讨，您将能够以更深刻的洞察力去理解我们周围的世界。

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