Computational Algebraic Number Theory (Oberwolfach Seminars) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:M.E. Pohst

出品人:

页数:90

译者:

出版时间:2004-02-04

价格:USD 54.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783764329136

丛书系列:

图书标签:

Algebraic Number Theory
Computational Number Theory
Oberwolfach Seminars
Algebra
Mathematics
Number Theory
Algorithms
Computer Science
Computational Mathematics
Arithmetic

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具体描述

《计算代数数论》（代数数论专题研讨会系列）是一部深入探讨代数数论计算方面的精炼著作。本书并非对该领域的全面概述，而是聚焦于代数数论中一些最核心且具有计算挑战性的主题。作者以严谨的数学语言，逐步引导读者穿越抽象代数的深邃世界，揭示其在实际计算中的强大应用。本书的开篇便直入主题，深入考察了代数数域的结构。作者首先介绍了代数数域的基本概念，包括域的扩张、环的整数环以及域判别式等关键要素。这些概念是理解后续所有内容的基础。例如，对于给定的多项式，如何确定其分裂域的结构，以及如何计算该域的整数环，都是本书着重解决的问题。作者通过细致的推导和清晰的例子，阐明了如何利用多项式因子分解、基域的性质以及理想论等工具来构造和分析代数数域。紧接着，本书将重心放在了代数数域的理想理论及其计算方法上。理想在代数数论中扮演着至关重要的角色，它们与素数在整数环中的分解紧密相关。本书详细阐述了理想的生成、分解以及理想类群的概念。尤其引人入胜的是，作者深入探讨了如何高效地计算代数数域中素理想的分解。这涉及到对基域素数在扩张域中如何分裂的深入理解，以及如何利用诸如赫尔曼-克罗内克（Hensel's Lemma）及其推广等技术来完成这一过程。计算理想的乘法、求幂以及最大公约数等操作，对于解决更复杂的数论问题至关重要，本书对此提供了详实的算法和理论支撑。本书的一大亮点在于其对数域类群的计算方法的深入剖析。类群是代数数论中的一个核心概念，它衡量了一个代数数域的整数环偏离唯一因子分解的程度。计算类群是一个既理论深刻又计算复杂的问题。作者系统地介绍了计算类群的各种方法，包括利用林奈（Minkowski）边界进行理想搜索，以及基于希尔伯特（Hilbert）规范方程的方法。这些方法往往涉及到对大量理想进行遍历和筛选，因此，如何设计高效的算法来避免计算上的死胡同至关重要。本书详细阐述了如何优化这些算法，例如通过对理想进行排序和分类，以及利用格约简技术来加速搜索过程。通过对具体例子中的类群计算展示，读者能够更直观地理解这些抽象理论的实际应用。本书也花费了大量篇幅探讨了代数数域中单位群的结构及其计算。单位群是整数环中可逆元素的集合，它在数域的算术中起着关键作用。根据狄利克雷（Dirichlet）单位定理，任何代数数域的单位群都可以被描述为一个有限的挠部分和一个自由部分。本书详细介绍了如何找到这个自由部分的基，以及如何确定挠部分的阶。这通常涉及到求解与代数数域相关的线性方程组，并利用代数数论中的一些技巧来找到基的整数表示。对于丢番图方程的求解，例如皮尔-费马大定理（Fermat's Last Theorem）的某些推广，单位群的结构信息往往是必不可少的。本书的一个显著特点是，它不仅仅停留在理论层面，更将理论与实际计算紧密结合。作者在书中融入了大量关于算法设计的讨论，并提供了在计算机代数系统中实现这些算法的思路。例如，在计算代数数域的判别式时，如何有效地利用多项式的根的性质，以及如何避免数值上的不稳定性，都是算法设计中的关键考量。书中还可能涉及到使用诸如PARI/GP、Magma等专业代数系统来执行这些计算的经验和技巧。这种理论与实践的结合，使得本书对于希望将代数数论应用于实际研究或软件开发的读者来说，具有极高的价值。此外，本书还可能涉及代数数域扩张中的一些更高级的计算主题，例如域的分类、代数曲面上的整数点计算，以及与椭圆曲线和模形式等相关联的代数数论问题。这些更深层次的主题，在加密学、编码理论以及理论物理等领域都有着重要的应用。作者以其深厚的学术功底，将这些复杂的问题以清晰且有条理的方式呈现给读者。总而言之，《计算代数数论》（代数数论专题研讨会系列）是一部献给对代数数论计算充满兴趣的读者的高水平著作。它以其严谨的数学论证、精炼的算法描述以及对核心计算问题的深入探讨，为读者提供了一扇通往代数数论计算世界的窗口。本书的读者需要具备扎实的抽象代数和数论基础，并对计算方法有一定程度的了解。对于希望深入理解代数数论的计算方面，并在理论研究或实际应用中有所突破的数学家、计算机科学家以及研究生而言，本书无疑是一部不可多得的参考资料。它不是一本易读的入门书籍，而是对已有知识的有力补充和提升，能够帮助读者掌握解决代数数论中棘手计算问题的关键工具和方法。