Topics in Sobolev Spaces And Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Alpha Science International, Ltd

作者:et al D. Bahadur (Editor)

出品人:

页数:193

译者:

出版时间:2002-3-30

价格:USD 130.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781842650943

丛书系列:

图书标签:

• Sobolev spaces
• Functional analysis
• Partial differential equations
• Harmonic analysis
• Mathematical analysis
• PDE
• Real analysis
• Calculus of variations
• Nonlinear analysis
• Mathematical physics

《拓扑学基础与现代应用》 本书深入探讨了现代数学的核心领域之一——拓扑学，旨在为读者提供一个坚实的基础，并展示其在多个科学分支中的广泛应用。从集合论的基本概念出发，逐步引入拓扑空间、连续映射、同胚等基本定义，构建起理解拓扑性质的理论框架。 第一部分：拓扑空间的基础理论 本书的开篇将带领读者走进抽象的拓扑世界。我们将从集合论的基石出发，回顾开集、闭集、邻域等基本概念，然后引出拓扑空间这一核心模型。读者将学习如何定义一个拓扑，以及不同拓扑之间的比较，例如粗拓扑与细拓扑。接着，我们将深入探讨点集拓扑的重要概念，包括开集公理、闭集公理、紧集、连通集等。这些基本性质是理解更复杂拓扑结构的基石。 第二部分：连续性与同胚 在建立起拓扑空间的概念之后，我们将聚焦于映射的性质。连续映射是拓扑学中的一个核心概念，它描述了保持拓扑结构不变的函数。本书将详细阐述连续映射的定义、性质及其在拓扑空间之间的传递性。在此基础上，我们将引入同胚的概念，这是拓扑学中最强的等价关系，两个空间如果同胚，则在拓扑意义下是“相同”的。我们将通过大量的例子来阐释同胚的意义，并探讨一些重要的同胚不变性质，例如可数性公理、分离公理等。 第三部分：构造性拓扑与流形 本书进一步扩展了拓扑学的视野，探讨了更具构造性的拓扑概念。我们将介绍度量空间，并展示度量空间如何自然地诱导出拓扑。之后，我们将深入研究流形理论，这是连接代数和几何的重要桥梁。读者将学习到一维、二维乃至更高维流形的定义，以及边界、定向性等概念。我们将探讨闭合曲面分类定理等经典结果，并展示流形在微分几何、拓扑量子场论等领域的应用。 第四部分：同调论入门 为了更深入地研究拓扑空间的结构，本书将引入同调论这一强大的代数工具。我们将从一些基本的代数概念出发，介绍链复形、边界算子等。然后，我们将引入同调群和上同调群的概念，并解释它们如何捕捉拓扑空间的“洞”和“连通性”。本书将以单纯同调和奇异同调为例，讲解如何计算这些同调群，并展示它们在区分不同拓扑空间方面的强大能力。 第五部分：拓扑学在现代科学中的应用 本书的最后部分将聚焦于拓扑学在当代科学研究中的实际应用。我们将探讨拓扑学在以下领域的贡献： 凝聚态物理： 拓扑相、拓扑绝缘体、拓扑超导体等概念在凝聚态物理领域引发了革命性的研究，本书将介绍这些前沿概念的数学基础，以及它们如何解释实验现象。 计算机科学： 拓扑数据分析（TDA）利用拓扑学工具从高维数据中提取结构信息，本书将介绍TDA的基本思想和方法，以及在图像识别、机器学习等领域的应用。 生物学： 基因组学、蛋白质折叠等生物学问题中也存在复杂的拓扑结构，本书将简要介绍拓扑学在这些领域的研究进展。 网络科学： 分析复杂网络的拓扑性质，理解其鲁棒性、传播动力学等，拓扑学提供了有效的分析工具。 本书特色： 循序渐进的教学方法： 从最基础的概念出发，逐步深入，确保读者能够扎实掌握每个阶段的知识。 丰富的例证和习题： 大量精心设计的例题和习题，帮助读者巩固理解，并培养解决问题的能力。 跨学科的应用视角： 强调拓扑学在不同科学领域的应用，激发读者对数学工具的实际运用兴趣。 为进阶研究奠定基础： 本书的深度和广度，将为读者进一步深入研究代数拓扑、微分拓扑等高级课题打下坚实的基础。 目标读者： 本书适合数学、物理、计算机科学、工程学等领域的本科生、研究生以及对拓扑学感兴趣的科研人员。具备基本的集合论和线性代数知识将有助于更好地理解本书内容。 通过学习本书，读者将能够深刻理解拓扑学的思想精髓，掌握分析和描述抽象空间结构的基本工具，并能够运用这些工具解决实际科学问题。

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**第五段评价：** 这本书的排版和符号系统设计得极为专业，每一页都充满了数学信息的密度。它几乎像是一部参考手册，而不是一本叙事性的教材。我最欣赏的是它在处理多维Sobolev空间时的张量表示法，这比很多侧重于一维案例的教材要更贴近实际问题的复杂性。它对Sobolev空间的构造是基于泛函分析的公理化方法，这使得读者能够轻松地将其思想延伸到更一般的度量空间或黎曼流形上的微分算子研究。我曾经花了好几天时间专门研究其中关于“Sobolev空间与调和分析中的三角级数展开”的章节，作者巧妙地将傅立叶分析的工具融入到对导数运算的研究中，这种跨学科的融合令人耳目一新。这本书的价值在于它构建了一个坚不可摧的理论结构，支撑着现代微分方程研究的绝大部分前沿工作。

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**第一段评价：** 这本书简直是理论数学爱好者的福音！我花了大量时间研究高等泛函分析，但这本书在处理边界值问题和非线性偏微分方程的强弱解概念时，提供了前所未有的清晰度和深度。作者对Sobolev空间内嵌定理的论述细致入微，尤其是对Sobolev嵌入定理在特定函数空间上的精确估计，简直是教科书级别的示范。书中不仅仅停留在定义和基本性质的罗列，更深入探讨了 SoboleV 空间在调和分析和几何分析中的应用。我特别欣赏它对“可重现核希尔伯特空间”（RKHS）与Sobolev空间之间联系的探讨，这在机器学习理论中有实际的指导意义。对于那些想将数学工具应用于实际物理模型，比如弹性力学或流体力学中的奇异性分析的读者来说，这本书提供的基础知识是无可替代的基石。

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**第四段评价：** 从工程应用的角度来看，这本书的价值可能被低估了。虽然标题听起来非常纯数学化，但书中对“Sobolev空间中函数的正则性”的深入分析，直接决定了物理模型解的平滑程度和物理意义。举个例子，当我们试图用有限元方法模拟材料的断裂过程时，材料应力场的奇异性是无法避免的，而这本书提供了一套严格的数学框架来描述和量化这些奇异性——即在何种Sobolev范数下，我们的解仍然是“有意义”的。我发现它在处理非光滑势能函数的极小化问题时尤为出色，提供了一种超越传统 $C^k$ 范畴的分析视角。对于需要为复杂的物理定律建立严格数学基础的工程师或应用数学家，这本书是不可多得的工具箱。

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**第三段评价：** 这本书的叙事风格非常古典且内敛，充满了欧洲学派的严谨气息。它没有花哨的图表或太多浅显的例子来“讨好”读者，而是直接切入核心概念的本质。我个人对书中关于“Sobolev空间上的拓扑结构”的讨论非常感兴趣，特别是对弱收敛和紧收敛的区分，这一点对于处理无限维空间中的优化问题至关重要。我记得有一章专门讨论了与分数阶导数相关的函数空间，这在现代信号处理和粘弹性理论中越来越重要，书中对这些前沿领域的理论源头给出了清晰的界定。对于那些已经掌握了基础实分析，并渴望进入更抽象、更具挑战性的分析领域的数学家来说，这本书提供了一个完美的过渡平台。

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**第二段评价：** 说实话，初次接触这本书时，我被其密度吓到了。它不是那种快速浏览就能掌握的入门读物，更像是一部需要耐心和时间去“啃”的学术专著。对于研究生阶段的学生而言，它无疑是极好的参考资料，特别是它对变分不等式理论的介绍，那种严谨的逻辑推导和层层递进的论证结构，让人不得不佩服作者的功力。书中对“弱导数”的定义和性质的探讨，我以前总是在其他地方碎片化地学习，但在这里，它们被系统地整合在一起，形成了一个完整的知识体系。如果你正准备从事偏微分方程的数值解法研究，这本书对稳定性和收敛性分析的数学基础铺垫得非常扎实，没有这些严谨的分析背景，很多数值算法的误差估计都会显得空中楼阁。

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