Cours d'arithmétique, 4e édition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Presses Universitaires de France - PUF

作者:Jean-Pierre Serre

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:1994-12-1

价格:EUR 24.50

装帧:Broché

isbn号码:9782130418351

丛书系列:

图书标签:

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经典译著：《代数基础与几何初步》 （非《算术课程，第四版》相关内容） 第一部分：代数基础——从符号到结构 第一章：数系的拓展与深入 本卷开篇，我们将系统回顾并深化对数系的理解。从自然数（$mathbb{N}$）的皮亚诺公理体系出发，过渡到整数（$mathbb{Z}$）的构造，特别是其在解决方程中的必要性。重点将放在有理数（$mathbb{Q}$）的稠密性与构造上，通过商集的概念精确地定义有理数域。随后，我们将探索实数（$mathbb{R}$）的引入，着重于戴德金截割（Dedekind Cuts）或完备化原理（Completeness Axiom），以此确保我们所处理的代数环境具有连续性，这对于后续的微积分学习至关重要。对这些基本数系的深刻理解，是构建所有高等代数理论的基石。 第二章：多项式环与初等数论 本章聚焦于多项式代数，特别是整数域 $mathbb{Z}[x]$ 和有理数域 $mathbb{Q}[x]$ 上的多项式环。我们将详细讨论多项式的加法、乘法运算，以及多项式的长除法和带余除法，证明其唯一性。对多项式进行因式分解是核心内容，我们将引入高斯引理，用以判断有理系数多项式在整数系数多项式环中的可约性。 在数论方面，本章将展开对最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的深入探讨，并详细阐述扩展的欧几里得算法，及其在求解线性丢番图方程（Linear Diophantine Equations）中的应用。我们还会介绍模运算（Modular Arithmetic）的基础概念，包括同余关系（Congruence Relation）的定义、性质及其在密码学初步中的潜在应用。 第三章：线性方程组与矩阵代数 本章是连接代数与几何的关键桥梁。我们首先将线性方程组的求解问题形式化为矩阵方程 $Ax=b$。我们将详细讲解矩阵的定义、加法、数乘、矩阵乘法的定义及其非交换性。矩阵的行列式（Determinant）将通过代数方法（如拉普拉斯展开或归纳定义）进行严格定义，并探讨其在判断矩阵可逆性方面的作用。 随后，我们将引入向量空间（Vector Space）的概念，定义其公理，并探讨子空间、生成集（Spanning Set）、线性无关性（Linear Independence）和基（Basis）等核心概念。高斯-约旦消元法将被用作求解线性方程组的标准算法，并用于确定向量组的秩（Rank）。最后，我们将介绍特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的计算及其在对角化（Diagonalization）过程中的重要性，这为理解线性变换的本质提供了工具。 --- 第二部分：几何初步——欧几里得空间与解析几何的融合 第四章：欧几里得几何的公理化基础 本章将以欧几里得的《几何原本》为蓝本，但采用更现代的公理系统（如希尔伯特公理体系的简化版）来重新构建欧几里得平面几何。我们将从点、线、平面等基本元素开始，详细阐述五大公设，并重点分析平行公设（Parallel Postulate）的地位及其对几何学的影响。 平面几何部分将深入探讨三角形的性质（全等与相似的判定标准）、四边形及圆的性质。本章强调的是逻辑推理和严格证明，而非单纯的计算技巧。我们将论证三角形内角和恒为 $180^circ$ 的必要性，并初步介绍欧拉线、九点圆等经典几何构造。 第五章：解析几何——代数视角下的几何 解析几何是代数与几何的完美结合。本章将平面（$mathbb{R}^2$）和空间（$mathbb{R}^3$）建立在笛卡尔坐标系之上。我们将详细阐述点之间的距离公式、中点公式，以及如何用代数方程表示直线和平面。 在二维平面上，我们将对直线进行斜率-截距式、点斜式、一般式等多种形式的转换，并学习如何计算两条直线之间的夹角和交点。重点将放在圆锥曲线的代数描述上：椭圆、双曲线和抛物线，通过标准的二次方程形式（如 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$）来识别它们的类型，并学习如何通过坐标变换（如旋转和平移）将一般二次方程化为标准形式，从而去除交叉项。 第六章：三维空间几何与向量 将解析几何推广到三维空间（$mathbb{R}^3$）是本章的核心任务。我们将引入空间中的点、直线和平面的方程表示。 向量代数将在本章中占据核心地位。我们将定义二维和三维向量，阐述向量的加法、数乘，以及两个至关重要的运算：点积（Dot Product，或称数量积）和叉积（Cross Product，或称向量积）。点积将用于计算向量的长度和它们之间的夹角，是投影和正交性判断的基础。叉积（仅在三维空间中定义）将用于确定与两个已知向量都垂直的向量，这在确定平面的法向量和计算面积方面具有不可替代的作用。我们将利用这些向量工具来解决空间中点到直线、点到平面的距离问题，以及判断两条直线或线面之间的相对位置关系。 --- 第三部分：函数与极限的初步概念 第七章：函数概念的严谨定义与分析 本章将从集合论的角度对函数（Function）进行严谨定义，明确其定义域（Domain）和值域（Range）。我们将分类讨论几种重要的函数类型：多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数（基于自然对数的定义）。 函数图像的绘制与分析是本章的实践部分。我们将系统学习如何通过代数表达式分析函数的奇偶性、单调性以及周期性。对于有理函数，我们将详细探讨水平渐近线和垂直渐近线的代数求法，以及如何通过因式分解来识别和处理“可去间断点”（Holes）。函数复合（Composition of Functions）的运算和反函数（Inverse Functions）的存在性条件（单射性）也将被纳入讨论范围。 第八章：序列与极限的直觉引入 本章旨在为后续微积分学习打下直觉基础，专注于序列（Sequence）和数列的极限概念，而非严格的 $epsilon-delta$ 语言。我们将通过具体的数列实例（如等差数列、等比数列，以及 $1+1/n!$ 等）来直观感受数列项趋于无穷远时的“界限”。 极限的代数运算法则（如极限的加减乘除法则）将被详细介绍。本章的重点在于理解“趋近”的概念，为后续连续性（Continuity）的定义做铺垫，使读者能够初步判断数列是否收敛，并估算出其极限值。 结语 本书旨在为读者构建一个坚实、严谨的数学基础框架，覆盖从数系构造到几何解析、从线性代数到函数初步分析的关键领域。所涵盖的知识点相互联系，为进一步学习高等数学（如微积分、线性代数或抽象代数）提供了必要的思维工具和概念储备。

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老实说，这本书的装帧和排版风格非常古典，甚至带有一丝怀旧的气息，这对于习惯了现代亮色设计的新一代读者来说，或许需要一点时间适应。然而，一旦你沉浸进去，这种沉稳的风格反而成了它最大的优点。它将读者的注意力完全聚焦在了文字本身。我发现这本书在**公理化体系**的构建上做得尤为出色。作者似乎在用一种近乎建筑学的态度来搭建整个算术的框架，从皮亚诺公理出发，每一步的论证都像是在精确地砌砖。在阅读过程中，我能清晰地感觉到逻辑链条的严密性，几乎找不到任何可以被质疑的漏洞。这对于那些对数学的“为什么”远比“是什么”更感兴趣的读者来说，是极大的享受。它强迫你放慢速度，去体会在严密逻辑下推导出复杂结论的那种震撼感，这是一种纯粹智力上的满足，远超出了应试教育所能提供的范畴。

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这本我最近才拿到的书，光是翻开第一页就让人感觉回到了课堂，那种严谨的学术氛围扑面而来。我本来以为这会是一本枯燥的数学教材，但实际上，作者的叙述方式充满了启发性。比如，在处理一些基础的数论概念时，他没有直接给出结论，而是先设置了一个小小的思维陷阱，引导读者自己去探索背后的逻辑。我记得有一段关于模运算的解释，简直是教科书级别的清晰，那种层层递进的推导过程，比我大学时读的任何一本同类书籍都要通顺自然。更让我欣赏的是，书中的插图和图表设计得非常巧妙，它们不是那种花哨的装饰，而是真正用来辅助理解复杂关系的工具。每次当我被某个公式卡住的时候，回头看看那些简洁的几何图形或者数轴表示，思路立刻就打开了。总的来说，这本书对于任何想重新梳理自己数学基础的人来说，都是一份宝藏，它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的训练。

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这本书的语言风格是相当**凝练且具有挑战性**的，它不容许任何思维上的偷懒。我必须承认，在某些章节，我不得不反复阅读好几遍才能完全消化其精髓。这套书的难度曲线设计得比较陡峭，它假设读者已经具备了一定的数学素养，所以它在基础概念的引入上非常简洁。特别是关于**集合论基础**在算术构建中的作用那一块，作者的论述极具密度，信息量非常大。它更像是一本供人研习和深入思考的“案头书”，而不是一本轻松愉快的睡前读物。然而，正是这种挑战性，让我重新体验到了学习的乐趣——那种经过一番艰苦卓绝的思考后，终于豁然开朗的感觉，是任何轻松阅读都无法替代的。它成功地在严谨的学术深度和对读者思维能力的激发之间，找到了一个非常精准的平衡点。

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这本书给我带来了非常**务实**的感受。它并不是停留在抽象的理论探讨上，而是非常注重将理论与实际应用——尤其是工程和计算领域——相结合。举例来说，在讲解误差分析和有效数字的时候，作者没有使用过于复杂的微积分工具，而是通过非常直观的数值例子，展示了在有限精度环境下，算术运算的边界在哪里，以及如何避免灾难性的舍入错误。这种“接地气”的处理方式，极大地增强了本书的实用价值。我个人认为，对于那些需要用数学来解决实际问题的工程师或者程序员来说，这本书提供的那些关于**数值稳定性**的洞察，比很多专门的数值分析教材还要精辟。它教会你的不只是如何计算，更是如何‘思考’计算过程中的局限性，这是一种非常宝贵的职业素养的培养。

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拿到这本《算术课程》的第四版，最大的感受就是它对于“深度”的把握达到了一个近乎完美的平衡点。它没有像某些入门书籍那样，为了照顾初学者而牺牲掉对核心概念的深入挖掘，反而是在最基本的加减乘除这些看似简单的操作中，挖掘出了高等数学的影子。我特别欣赏其中关于**数系扩展**那几章的处理手法。作者不是简单地罗列了整数、有理数、实数的定义，而是通过历史的脉络，展示了每一步扩展的必然性和哲学意义。这种叙事角度，让原本冰冷的数学符号焕发出了生命力。我感觉自己仿佛在跟一位经验丰富的老教授对话，他耐心地拆解着每一个数学公理的根基。虽然内容涉及的领域很广，但作者的笔触始终保持着一种内敛而有力的节奏感，绝不拖泥带水，每一个章节的收尾都让人意犹未尽，迫不及待想知道下一步会如何深化。对于追求精确性和系统性的读者来说，这本书的价值是毋庸置疑的。

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