Calculus of Finite Differences (AMS Chelsea Publishing) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Charles Jordan

出品人:

页数:654

译者:

出版时间:1965-01-01

价格:USD 55.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780828400336

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 差分法
• 数值分析
• 数学史
• 经典数学
• AMS Chelsea Publishing
• 数学
• 高等数学
• 离散数学
• 计算方法

好的，下面是一份关于《有限差分微积分》的图书简介，力求详尽且自然流畅： 《数值分析与离散系统中的强大工具：探讨经典与现代应用》 本书深入探讨了有限差分演算这一在数学、物理学、工程学乃至计算机科学中占据核心地位的强大工具。它不仅仅是一部教科书，更是一部详尽的参考手册，旨在为读者提供从基础理论到前沿应用的全面视角。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在揭示离散化世界中隐藏的优雅结构。 核心主题与结构概述 本书的叙事主线围绕着离散化过程的本质展开，着重于将连续函数的微积分概念转化为适用于离散变量的对应工具。主要内容可划分为以下几个相互关联的部分： 第一部分：有限差分的基石 本部分奠定了全书的理论基础。我们从定义差分算子开始，详细剖析前向差分、后向差分和中心差分算子的性质。重点关注差分算子与微分算子之间的深刻联系。 差分算子的代数结构： 深入研究差分算子与恒等算子、移位算子之间的交换关系。探讨线性组合下的性质，为后续的级数展开做准备。 牛顿插值公式的再探： 尽管插值法是数值分析的基础，但本书将其置于差分框架内进行考察。重点分析均差（Divided Differences）与有限差分之间的关系，并阐释它们如何构成了多项式逼近的坚实基础。 涉及指数函数的差分： 专门辟章节讨论如何处理指数函数和三角函数在差分运算下的行为，揭示其与泰勒级数展开的离散模拟之间的对应关系。 第二部分：欧拉-麦克劳林公式与求和技术 本部分是全书的亮点之一，它架起了连续积分与离散求和之间的桥梁——欧拉-麦克劳林求和公式。 欧拉-麦克劳林公式的推导与应用： 对该公式的精确推导过程进行了详尽的阐述，强调了伯努利数在其中的关键作用。随后，展示了该公式在精确计算定积分、无穷级数求和以及级数渐近展开中的强大威力。 有限和的精确计算： 探讨了与欧拉-麦克劳林公式密切相关的求和公式，例如高斯求和公式，并讨论了它们在特定边界条件下的收敛性和误差分析。 伯努利多项式与数： 提供了对伯努利多项式的深入介绍，解释了它们在处理高阶差分方程和数值积分中的重要性。 第三部分：差分方程——离散系统的动力学 有限差分方程是描述离散时间系统中行为的核心工具，类似于微分方程在连续时间系统中的作用。本部分致力于系统地解决这类方程。 线性常系数差分方程： 详细讲解了求解齐次与非齐次线性常系数差分方程的方法，包括特征方程法、待定系数法以及变参数法，这些方法与求解常微分方程的方法形成了美妙的对应。 拉普拉斯变换与Z变换的结合： 引入Z变换作为处理线性差分方程的强大代数工具。详细演示了如何利用Z变换将复杂的差分方程转化为简单的代数方程进行求解，并讨论了收敛域的重要性。 稳定性分析： 在讨论求解方法的同时，对离散系统的稳定性进行了深入分析，特别是关于特征根与单位圆的关系，这对于数字信号处理和控制理论至关重要。 第四部分：高阶差分与微分算子的连接 本部分探索了更深层次的数学结构，连接了差分演算与连续分析的更高级主题。 差分算子的幂与积分： 考察了差分算子重复作用下的结果，并引入了与连续积分算子相对应的“离散积分”概念。 与泰勒、傅里叶级数的交汇： 探讨了如何利用有限差分来近似连续函数的导数和积分，以及在离散傅里叶变换（DFT）的背景下，差分算子如何表现出周期性特征。 本书的特色与读者定位 本书的撰写风格严谨而不失启发性，力求避免纯粹的公式堆砌，而是注重概念的几何意义和物理背景。 理论的深度与广度并重： 对于每一个核心定理，都提供了详细的证明，并附带了大量的示例，展示了概念在实际问题中的应用潜力。 面向的读者群： 本书适合于数学、物理学、应用数学、工程学（特别是控制理论和信号处理）的本科高年级学生和研究生。对于希望深入理解数值分析底层原理的研究人员而言，它也是一本不可或缺的参考书。 强调离散建模： 全书始终贯彻一个核心思想：理解世界的离散化建模能力。通过有限差分，读者将学会如何将物理现象转化为可计算的数学模型。 通过对有限差分演算的全面梳理，本书旨在装备读者一套强大的分析工具箱，使其能够自信地驾驭从离散动力学到高精度数值逼近的各类挑战。它是一次对数学严谨性与计算实用性完美结合的探索之旅。

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总而言之，这本书的价值在于其无与伦比的理论深度和历史厚重感，它无疑是一部经典之作，将有限差分这一分支学科的知识体系梳理得非常全面且严谨。它不回避任何晦涩的角落，将基础的牛顿级数展开，一直推演到更抽象的算子演算和生成函数方法，展现了一个完整的数学结构。然而，正是这种极致的学术导向，使得它不太适合那些寻求快速应用或轻松入门的读者。它要求读者投入大量时间进行钻研，像对待一部古代哲学经典那样去研读，才能真正领会其精髓。对于那些希望将有限差分作为一项工具快速掌握、并立即应用于数据建模的工程师或计算机科学家而言，这本书可能会显得有些“高高在上”，过于注重形式的完美，而稍微忽略了与现代计算实践的直接衔接。它更像是一座知识的纪念碑，值得尊敬，但攀登起来需要极大的毅力和正确的装备。

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我尝试着使用这本书中的某些高级技巧来解决我最近遇到的一个组合数学问题，它涉及到周期性边界条件下的离散微分方程求解。结果发现，虽然书中提到了与此相关的理论基础，例如特征方程的求解在周期情况下的特殊性，但具体的应用案例或可操作的算法步骤却相对缺乏深度。它更多地停留在理论完备性的构建上，强调“存在性”和“唯一性”，却在“如何高效地找到解”这一实际操作层面显得有些力不从心。我原本指望它能提供一套可以直接编码的、经过优化的数值方法，比如如何利用矩阵分解或者快速傅里叶变换（FFT）的思想来加速这类问题的求解。这本书更像是为纯粹的数学理论家准备的，它能告诉你“为什么”某些方法有效，但对于急需在工程上实现“如何”快速计算的实践者来说，它提供的“拐杖”可能还不够结实，需要自己动手去锻造。

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我对这本书的排版和符号系统持有复杂的看法。一方面，作为一本老牌出版社出版的学术书籍，它的印刷质量毋庸置疑，图表和公式的呈现清晰、专业，很少出现排印错误，这在处理复杂的数学表达式时是极其重要的品质。另一方面，它所采用的特定符号惯例，比如对差分算子和形算子的标记方式，似乎更偏向于某个特定的数学流派的传统，这可能与我先前学习时所习惯的表示法存在偏差。每次遇到新的符号，我都得翻到书的开头去对照符号表，这种被打断阅读流程的感觉，着实影响了心流的保持。如果作者能够采用一种更通用、更现代的符号约定，或者至少在初次引入复杂符号时给予更详尽的解释和动机说明，我想读者的学习曲线会平滑得多。毕竟，数学的优雅性不应该建立在晦涩的符号约定之上，清晰的表达本身就是一种智慧的体现。

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说实话，刚打开这本书的时候，我感觉自己像是在攀登一座陡峭的山峰，而不是在进行一次愉快的数学漫步。文字的密度非常高，每一个定理的陈述都极其精炼，仿佛作者急于在有限的篇幅内塞入尽可能多的知识点。对于一个习惯了现代数学教材那种“手把手”教学风格的读者来说，这种传统的、近乎于宣言式的写作手法，多少让人感到有些措手不及。我本期望能看到一些历史背景的铺垫，或者至少是不同学派对有限差分法理解的交锋与演进，那样能让抽象的概念更具人情味和可理解性。然而，这里更多的是纯粹的逻辑推演，每一步的跨越都要求读者具备非常扎实的预备知识，否则很容易在某个推导环节迷失方向。这使得这本书更像是一本给已经对该领域有初步了解的专家准备的深度参考资料，而非一本面向初学者的入门教材。想要真正吃透其中的奥妙，恐怕需要反复阅读，并辅以大量的自我消化和外部资料的补充，这对于时间有限的研究生来说，无疑是个不小的挑战。

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这本看起来挺厚实的书，名字里带着“微积分”和“有限差分”，初看之下，着实让人对它寄予了不小的期望。我本来是希望能找到一本能深入浅出地讲解如何将连续数学的概念，比如导数和积分，巧妙地移植到离散世界中去的工具书。毕竟，在工程计算和数据分析领域，我们处理的往往是采样数据而非光滑函数，理解差分算子与微积分算子之间的微妙关系至关重要。理想中，这本书应该会有一套严谨的理论框架，清晰地阐述牛顿差分公式、高斯前向/后向公式的推导过程，并且配上足够多的实例，最好还能涉及一些数值稳定性的讨论。我尤其期待能看到关于数值微分和数值积分的误差分析部分，毕竟，在有限精度的机器上运行算法时，理论的严谨性必须能够转化为实际的可靠性。如果它能在这些方面表现出色，哪怕只是触及皮毛，也足以让人在需要时频繁翻阅，作为一本随时可以查阅的参考手册。从书脊的设计和出版社的名声来看，它似乎倾向于学术深度，这让人不禁猜测，它是否真的能满足一个既需要扎实理论又渴求实用技巧的读者的胃口。

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