Formelsammlung Höhere Mathematik. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Deutsch (Harri)

作者:Barbara Ralle

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-01-01

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9783817115921

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好的，这是一本名为《Formelsammlung Höhere Mathematik》的图书的详细内容简介，它不包含您提到的那本书的任何内容。 --- 《欧几里得的遗产：几何与拓扑的精妙构建》 导言：空间、结构与测量的艺术 在人类文明的长河中，对空间、形状和它们之间关系的探索从未停歇。从古巴比伦的土地测量到文艺复兴时期的透视艺术，再到现代物理学对时空结构的深刻洞察，几何学始终是理性思维的基石。《欧几里得的遗产：几何与拓扑的精妙构建》并非一本冰冷的公式汇编，而是一部带领读者深入理解空间本质、结构变换及其内在不变性的深度导览手册。 本书的定位是为高等数学、理论物理、计算机图形学、数据科学以及工程领域的研究人员、高级学生和专业人士提供一个全面、系统且富含直觉洞察的几何与拓扑学知识库。我们聚焦于从经典欧几里得几何的严谨逻辑出发，逐步过渡到更抽象、更具普适性的黎曼几何、微分几何和代数拓扑的基本概念，强调几何直观与分析工具的结合。 第一部分：欧几里得空间的高级视角 本部分旨在巩固读者对经典几何的理解，但会采用现代分析的视角来重构这些概念，特别是强调向量空间结构和内积对几何的影响。 第一章：欧几里得空间中的刚体运动与坐标变换 基础线性代数回顾与几何解释： 向量空间、内积空间、施密特正交化在三维空间中的直观意义。 正交矩阵与旋转： 旋转矩阵的性质、欧拉角系统及其局限性、四元数（Quaternions）在描述三维旋转中的优势与应用，特别是在刚体动力学中的关键作用。 欧几里得群（Euclidean Group）： 刚体运动的群论结构，平移与旋转的半直积性质。 二次型与二次曲面分类： 利用特征值分解对椭球、双曲面、抛物面进行规范化分类，并探讨它们在物理场中的应用。 第二章：微分几何的起点——曲线与曲面的局部分析 本章将经典微分学工具应用于空间中的几何对象，奠定后续微分几何的基础。 空间曲线的微分几何： 弧长参数化、切向量、主法向量和从法向量构成的弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）标架。曲率与挠率的物理意义（如何描述曲线的弯曲和扭转）。 曲面的第一、第二基本形式： 内蕴（Intrinsic）与外蕴（Extrinsic）几何的初步区分。度量张量（First Fundamental Form）如何决定曲面上的测地距离。 曲率的深入研究： 概念性地引入高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的深刻内涵——曲率是内蕴的。 第二部分：黎曼几何与广义相对论的几何基础 本部分是本书的核心，专注于推广欧几里得几何至弯曲空间，引入张量分析的强大框架。 第三章：流形的概念与切空间结构 拓扑流形基础： 局部欧几里得性、开复盖、图册（Atlas）和坐标变换。流形作为“披着欧几里得外衣的弯曲空间”的直观理解。 张量场的定义与运算： 协变、反变张量，张量场的微分（协变导数与散度）。理解张量在坐标变换下的行为是区分其几何本质的关键。 切空间与切丛： 切向量如何捕捉流形上“方向”的信息。向量场和微分形式（Differential Forms）的引入。 第四章：联络、测地线与黎曼曲率张量 联络的引入： 如何定义向量在流形上“平行移动”的概念。克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）——联络的坐标表示，及其与度量张量（Metric Tensor）的关系。 测地线方程： 弯曲空间中的“直线”——测地线的微分方程，及其在广义相对论中描述自由落体运动的核心作用。 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）： 对空间弯曲程度的精确刻画。曲率的翻转对称性，以及体积形式的弯曲效应。 第五章：黎曼几何的应用与张量分析工具箱 里奇张量与斯卡拉曲率： 从黎曼曲率张量降阶得到的关键几何量，它们与能量动量张量的直接联系。 外微分与霍奇理论的萌芽： 德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的几何视角——“洞”的代数拓扑表述。 测地曲率与高斯-邦内特定理： 阐释内蕴几何的强大结论，即曲率在局部上的积分（拓扑性质）与全局拓扑特征之间的深刻联系。 第三部分：拓扑学的核心思想与应用 本部分脱离了距离和角度的概念，转而关注空间在连续形变下的不变性质。 第六章：拓扑空间与连续性 拓扑空间的严格定义： 开集、闭集、邻域和连续映射。拓扑空间作为最一般的“空间”概念。 度量空间与拓扑空间的关系： 哪些拓扑性质可以从度量中导出，哪些不能。完备性（Completeness）的概念及其在分析中的重要性。 同胚（Homeomorphism）与拓扑不变量： 拓扑学的核心问题——什么样的形变是允许的。 第七章：连通性、紧致性与基本群 连通性与路径连通性： 空间是否可以被分成不相交的部分。 紧致性（Compactness）： 局部紧致性与 Heine-Borel 定理的推广。 基本群（Fundamental Group）： 描述空间中“环路”结构的不变量。圆周的 $pi_1$ 性质，以及如何用它来区分拓扑上不同的空间（如环面与球面的区别）。 第八章：同调理论的初步接触 链复形与边界算子： 从组合学的角度构建代数工具来研究拓扑。 同调群的直觉： 用代数群来“计数”拓扑空间中的洞（高维的洞）。从球面到环面的同调群计算示例。 结语：从欧几里得到现代物理的桥梁 《欧几里得的遗产》旨在展示几何学并非静止的教条，而是一门持续演进的动态科学。它为读者提供了一套从分析到几何、从局部到整体的强大思维框架。掌握这些工具，读者将能够更深入地理解从经典力学中的坐标变换，到广义相对论中的时空弯曲，再到现代计算机科学中对复杂数据结构的拓扑分析等前沿领域。本书的价值在于它构建的桥梁——连接了严谨的分析基础与宏大的空间想象力。

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这本书给我最大的感受是它对“跨领域知识连接”的重视。高等数学的学习者经常遇到的困境是，线性代数的知识和微积分的知识点在实际应用中往往需要同时调用，但不同章节的组织结构使得这种调用变得困难。这本书的编辑似乎意识到了这一点，它在某些关键的交叉点上设置了“参考指向”。比如，在讨论多元函数极值和拉格朗日乘数法时，它会用一个非常醒目的小框提示读者回顾相关矩阵的秩和行列式性质。这种设计的好处是，它强迫读者在应用复杂工具时，必须回顾其前提条件，从而加深对理论基础的理解，而非仅仅停留在机械的计算层面。这比那些只会把公式并列在一起的书要高明得多。这种内在的关联性，使得这本书不仅仅是一本“死”的公式库，而是一个有生命的知识网络，鼓励使用者主动地在知识点之间建立联系，对于构建扎实的数学思维框架非常有帮助。

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深入使用一段时间后，我发现这本书在细节处理上的匠心独白，是真正体现其价值的关键所在。市面上的很多公式汇编，要么过于精简导致信息缺失，要么过于冗长失去参考效率。这本书巧妙地找到了一个平衡点。举个例子，在线性代数部分，关于特征值和特征向量的计算流程，它没有用大段的文字描述，而是采用了流程图式的简洁表达，配以关键的矩阵运算符号，这对于需要快速回顾解题步骤的读者来说，效率提升是立竿见影的。再者，它对一些不太常见的特殊函数（比如伽马函数、贝塞尔函数）的性质和级数展开式进行了相当详尽的收录，这些往往是教材中轻描淡写的，但在处理高级应用问题时却不可或缺。我记得有一次我卡在一个涉及到复变函数留数定理的计算上，翻遍了常用的参考书都觉得不够直接，最后在这本“公式集”中找到了一个关于特定积分路径的收敛条件的速查表，瞬间茅塞顿开。这种深度和广度兼备的特点，让它不仅仅是一个公式的搬运工，更像是一位经验丰富的老教授在你身边低声提点，帮你节省了大量整理和验证信息的时间。

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从教学法和学习辅助的角度来看，这本书的结构设计无疑是经过深思熟虑的。它非常适合作为正在学习高数课程的学生，或者需要重拾基础知识的工程师作为辅助教材。我尤其欣赏它在排版上所体现出的“视觉层次感”。例如，当涉及到不同维度的向量空间或不同阶的微分方程时，作者会通过字体大小、粗细甚至是小图标来区分概念的层级，这种非文本的提示机制，极大地增强了信息的可提取性。不像有些德语教材那种一板一眼的、全等宽字体印刷，这本书的版面设计更具有现代感，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。此外，它对单位和量纲的标注也做得非常细致，这在物理和工程背景下的数学应用中至关重要，可以有效避免因为单位混淆而导致的计算错误。总而言之，它成功地将一本旨在查阅的工具书，转化成了一本可以“沉浸式”学习的参考资料，阅读体验堪称一流。

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坦白讲，对于那些只求通过考试、对数学原理不感兴趣的读者来说，这本书或许显得有些“过重”。但对于真正想在数学领域深耕的人，它的价值就显现出来了。它对于一些晦涩的、在初级阶段很少被提及的“边缘知识”的收录，体现了作者的专业深度和对全面性的追求。例如，其中关于勒让德多项式或球面调和函数的某些特定积分公式的精确表述，在标准的本科教材中几乎是找不到的，但对于从事数值分析或场论计算的研究者来说，却是至关重要的捷径。此外，这本书在处理不等式方面也颇有建树，收集了许多经典不等式（如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式）的推广形式，这在优化问题和误差分析中极具威力。它不是一本让你“轻松”通过考试的书，而是一本在你面对真正具有挑战性的数学问题时，能够提供坚实理论后盾的宝藏。使用它，你会感觉到自己的数学工具箱被系统性地升级了。

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这本《Formelsammlung Höhere Mathematik》的编排实在让人眼前一亮，它不像那种堆砌公式的冷冰冰的参考书。首先，从装帧和纸张的选择上就能感受到出版方的用心，拿在手里沉甸甸的，翻阅时也不会有廉价感。我特别欣赏它在内容组织上的逻辑性。高等数学的学习往往伴随着概念的抽象和公式的繁复，很多教材习惯于将所有知识点一股脑地抛出来。然而，这本书似乎是站在一个实际解题者的角度来构建知识体系的。它不是简单地罗列定理，而是通过清晰的板块划分，将微积分、线性代数、微分方程等核心分支进行了有效的整合。比如，在处理特定类型的积分问题时，它会非常巧妙地将相关的变换公式和特殊函数的性质放在一起进行对比展示，这种并置的结构极大地减轻了我在不同章节间来回翻阅寻找关联的负担。更值得称道的是，它对于一些关键公式的推导背景或适用条件的注释非常到位，虽然没有详细的证明过程（毕竟是公式集），但那些简短的提示往往能帮助我迅速回忆起在课堂上老师强调的那些“陷阱”所在，避免在计算中出现方向性的错误。这种对实用性的极致追求，让它成为了我书桌上最常被翻开的那一本工具书，远超出了我对一本“公式集”的初始期望。

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