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页数:221

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出版时间:2009-4

价格:22.50元

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isbn号码:9787040263909

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• 微积分
• 高等数学
• 数学教材
• 理工科
• 大学教材
• 学习
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• 入门
• 计算

《计算的艺术与科学：从代数到高维几何的旅程》 导言：跨越思维的边界 在人类知识的广袤星空中，数学始终是那颗指引方向的北极星。它不仅是描述自然规律的精确语言，更是训练思维、激发创造力的强大工具。本书并非一本专注于单一学科的教科书，而是一次精心设计的思想漫步，带领读者从坚实的初等代数基础出发，逐步攀登至更高维度空间的宏伟殿堂，最终触及当代科学研究的前沿脉络。 我们深知，许多学习者在接触到复杂的数学概念时，常感其与现实世界的脱节，仿佛置身于一个由抽象符号构筑的迷宫。本书的核心目标，正是弥合这种鸿沟，展示数学概念如何以其内在的逻辑美感，精确地映射和解释我们所处的宇宙。我们不追求对某一特定工具（如微积分）的穷尽式讲解，而是着重于培养一种计算思维——一种能够分解问题、识别模式、并利用结构化方法解决复杂挑战的能力。 第一部分：坚实的地基——代数与函数的世界 万丈高楼平地起。本书的第一部分致力于巩固读者对代数结构的深刻理解，这是所有高级数学的基石。我们不会满足于简单的公式运算，而是深入探讨代数背后的结构性和可变性。 第一章：数域的扩展与抽象的萌芽 我们从复习实数系开始，但很快将目光投向更广阔的天地。本章细致探讨了复数域的构建，不仅仅是 $sqrt{-1}$ 的引入，更在于理解复平面上的几何意义——旋转、缩放，以及它们在信号处理和量子力学中的基础角色。我们讨论多项式环的性质，研究丢番图方程的古老魅力与现代应用，强调代数运算的封闭性与完备性。 第二章：函数的本质：映射与变换 函数是数学的“动词”。本章将函数视为一种强大的映射工具，而非简单的输入输出机器。我们详细剖析初等函数（指数、对数、三角函数）的周期性、单调性和奇偶性，并着重探讨复合函数和反函数的几何意义。我们引入“变换”的概念，展示如何通过矩阵变换来理解几何图形的伸缩和平移，为后续更高维度的线性代数做好铺垫。特别地，我们引入渐近行为的初步探讨，为理解极限的思想打下直觉基础。 第三部分：离散与连续的交织——序列、级数与概率的初步 在深入探讨变化率之前，我们先关注累积和趋近的概念。本部分旨在建立对“无限和”的直观理解，并展示其在统计学中的重要性。 第三章：无穷序列的收敛性：沙滩上的竞赛 我们借用著名的芝诺悖论，引入极限的严格定义（不使用$epsilon-delta$语言的直观版本）。本章核心是分析序列的收敛与发散，讨论单调有界定理，以及如何利用比较判别法判断复杂序列的行为。我们关注斐波那契数列和有理数的稠密性，展示无限集合内部的结构。 第四章：级数的和：从和谐到调和 序列的求和引出了级数。我们区分了幂级数、几何级数和调和级数，明确指出它们截然不同的收敛命运。本章的重点是泰勒展开的初级应用——虽然不涉及复杂的微积分推导，但我们展示如何利用已知的函数（如 $e^x, sin x$）的有限项展开来逼近真实值，从而理解级数在数值计算中的作用。同时，概率论中的伯努利试验序列及其大数定律的直观解释，展示了级数在不确定性建模中的价值。 第三部分：变化率与积累：理解动态世界 本部分将重点放在“变化”这一核心主题上，但我们采取一种更侧重于物理直觉和几何解释的路径。 第五章：瞬时变化率：速度与斜率的统一 我们不直接定义导数，而是将其视为解决两个核心问题的工具：一是确定一个曲线在某一点的瞬时方向（切线斜率），二是描述一个过程的瞬时速率（如速度或加速度）。通过平均变化率的极限过程，我们建立了对变化率的直观理解。本章侧重于考察复杂函数（如复合函数）变化率的连锁反应——即链式法则的几何直觉，而不是机械的符号运算。 第六章：总量与面积：累积效应的计算 与第五章对应，本部分探讨累积问题。我们将面积计算视为对无限多个无限窄矩形的求和。我们引入黎曼和的概念，强调定积分是连接瞬时变化率和累积效应的“基本定理”的几何基础。我们详细分析了积分的线性性质和比较性质，并展示如何利用已知的几何图形（如抛物线下的面积）来验证积分法的有效性。 第四部分：超越二维：向量、空间与多变量的视角 现代科学充满了三维及更高维度的现象。本书的最后一部分将读者的视角从平面提升到立体空间，并引入向量这一描述方向和大小的强大工具。 第七章：向量的世界：方向与力量的代数 本章系统地介绍了向量的定义、加减法、标量乘法，以及至关重要的点积（内积）和叉积（外积）。我们深入剖析点积如何衡量两个向量的“相似度”或“投影”，以及叉积在三维空间中如何定义垂直向量和衡量面积（物理学中的力矩）。这部分内容为刚体运动、电磁场等提供了必要的数学框架。 第八章：空间的几何与分析：从平面到高维的推广 我们探讨了如何用向量来描述三维空间中的直线和平面方程，以及如何利用法向量和方向向量来分析空间关系。本章最后展望了多变量函数（如温度场或压力场）的结构，强调了梯度和方向导数作为多维“变化率”概念的自然推广，为未来对多元微积分的学习奠定坚实的几何直觉基础，避免了陷入纯粹的符号操作。 结语：计算思维的持续演化 本书旨在为读者搭建一座坚固的桥梁，使其能够自信地迈入更广阔的数学领域。我们关注的是概念的形成、逻辑的严谨性以及数学语言在描述世界时的精确性。通过这种侧重于结构和直觉的旅程，读者将获得一种强大的计算思维，这种能力不仅适用于解决特定的数学问题，更能在工程、数据分析、经济建模乃至哲学思辨中，提供清晰的分析路径。本书结束后，读者将发现自己拥有一套全新的、更深刻的工具箱，用以审视和重构他们所接触到的任何复杂系统。

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我必须指出，这本书对“现代”微积分的介绍严重滞后了。书中对于极限的讨论，仍然停留在十九世纪初期的直观理解阶段，对于 $epsilon-delta$ 语言的引入显得非常勉强和不自然，仿佛是硬塞进去的装饰品，而不是作为严谨性基石的必要组成部分。在处理收敛性、序列和级数时，作者对狄利克雷判别法、阿贝尔求和等更具现代分析色彩的重要工具几乎没有提及，或者只是蜻蜓点水。这使得这本书的内容仿佛停滞在了上个世纪中叶，对于希望将微积分应用于现代科学（如偏微分方程、高等工程计算或理论物理）的读者来说，这本书提供的理论框架显得陈旧且支撑力不足。学习微积分不仅仅是掌握导数和积分的计算，更重要的是理解其作为分析学基础的严谨性，而这本书显然在这方面做得非常欠缺，无法满足当下对数学深度有要求的学习者。

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全书的例题和习题设计得毫无层次感，这一点真的让我非常恼火。从易到难的过渡非常生硬，几乎没有提供足够的中等难度练习来巩固刚刚学到的概念。要么是极其简单的代数运算题，三分钟就能搞定，完全没有挑战性；要么是直接跳到了那种需要多种技巧融合的综合性难题，让中间的衔接完全断裂了。我发现，很多例题的解法都显得非常机械化，缺乏对问题背后数学思想的引导。比如，在涉及实际应用题时，书上只是简单地给出了一个物理模型，然后直接套用公式得出答案，完全没有引导读者如何从实际情境中抽象出数学模型的关键步骤。这种“只教你怎么做，不教你怎么想”的模式，极大地限制了读者的思维发散能力，让微积分这门充满创造力的学科，变得像背诵乘法口诀一样枯燥乏味。

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本书的术语和符号使用标准很不统一，这一点在阅读过程中造成了多次困惑和停顿。有时候作者用 $d y / d x$ 来表示导数，但到了后面的章节又突然换成了 $dot{x}$ 或者李昂纳德符号，而且没有清晰的过渡或解释。更严重的是，在不同的章节中，同一个符号的含义似乎也在微妙地变化，比如在向量微积分部分，某个希腊字母的定义似乎与前面一元函数部分存在不一致的地方。这让我不得不频繁地翻回前面的章节进行核对，严重打断了我的阅读节奏和对知识体系的连贯性认知。一本严谨的数学著作，其术语的一致性是至关重要的，它关乎到读者对数学语言的准确把握。这种随意切换和模糊定义，让学习过程充满了不确定性，仿佛在玩一个不断变化的猜谜游戏，而不是在学习一门成熟的学科。

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这本书的排版和印刷质量简直是灾难，纸张薄得像是报纸，油墨印得也十分模糊，很多公式和图表都看得我头昏眼花。我刚打开第一页，就被那种廉价的感觉劝退了。想当年我读微积分的时候，教科书的装帧都是很扎实的，拿在手里有分量，看着就让人觉得内容可靠。这本书拿到手，我差点以为是哪个复印店里随便打印出来的草稿。更别提那些插图了，线条粗糙得像是用小学生用的蜡笔画的，根本无法清晰地展示复杂的几何概念。而且，书页之间似乎粘连得不是很牢固，我才翻了几次，就有几页书角已经卷曲变形了。对于一个需要经常查阅和翻找公式的读者来说，这样的实体书简直是一种折磨。我真不明白，在这个时代，为什么还会出版这种质量的书籍。阅读体验是学习的第一步，如果连最基本的阅读舒适度都无法保证，那么内容的价值也会大打折扣。我甚至怀疑，出版社是不是在成本控制上做得太过分了，完全忽略了读者的切身感受。

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这本书在内容深度上表现得极其肤浅，感觉它像是把一本标准的、内容详实的微积分教材，强行压缩成了一本给初中生看的入门读物。很多关键的理论推导过程都被“一笔带过”或者直接用一句“显而易见”带过去了，这对于想要真正理解数学逻辑的读者来说，简直是火上浇油。例如，在讲到微积分基本定理时，作者仅仅是简单罗列了公式，对于其背后的直觉意义和严谨证明的铺垫严重不足。我花了大量时间在网上寻找更详尽的解释，才能勉强跟上这本书的进度。如果我本来是想通过这本书建立起坚实的微积分基础，那么这本书显然是帮不上什么忙的。它更像是给那些已经完全掌握了微积分概念，只是想快速复习一下符号和结论的人准备的速查手册，而不是一本严肃的学习教材。对于自学者而言，缺乏足够的细节和不同角度的阐释，会让整个学习过程充满挫败感。

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