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出版者:Birkhäuser

作者:Herbert Amann

出品人:

页数:426

译者:Gary Brookfield

出版时间:2005-2-14

价格:GBP 53.99

装帧:Paperback

isbn号码:9783764371531

丛书系列:

图书标签:

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《解析基础：深入探索数学的严谨之美》 本书旨在为读者构建一个坚实、严谨的数学分析基础，引领读者踏上一段探索数学核心概念的旅程。我们不侧重于对某个特定教材内容的复述，而是致力于呈现一套完整的、能够被广泛应用于各类高级数学分支的思维方式和工具。 核心内容概述： 本书的编排围绕着数学分析的几个核心支柱展开： 1. 实数系的构造与性质： 我们将从最基本的公理出发，深入探究实数集的完备性。这包括对戴德金分割（Dedekind cuts）或柯西序列（Cauchy sequences）等构造方法的详细阐述，以及由此引申出的单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）等基础性定理。理解实数系的构造是掌握后续所有概念的关键，我们将通过大量的例子和证明来巩固这些抽象的定义。 2. 序列与极限： 极限是数学分析的灵魂。本书将详细介绍数列的定义、收敛的判定方法（如ε-δ定义、比值判别法、根值判别法等）以及相关的基本定理，例如柯西收敛准则（Cauchy Convergence Criterion）。我们将通过对各种典型数列行为的分析，例如几何数列、调和数列等，来直观理解极限的概念。 3. 函数极限与连续性： 在理解了数列的极限之后，我们将将其推广到函数的极限。本书将深入讲解函数极限的ε-δ定义，并着重阐述连续性的概念。我们会探讨不同类型的连续函数，以及连续函数在闭区间上的性质，如有界性（Boundedness）、最大值最小值定理（Extreme Value Theorem）和一致连续性（Uniform Continuity）。理解函数何时“平滑”地变化，这是微积分和更高级分析的基础。 4. 微分学： 微分是描述函数局部变化率的有力工具。本书将详细介绍导数的定义，包括左导数与右导数，以及导数的几何意义和物理意义。我们将系统介绍微分法则，如线性法则、乘积法则、商法则和链式法则，并深入研究中值定理（Mean Value Theorem）及其各种变体，如罗尔定理（Rolle's Theorem）、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这些定理为我们理解函数的单调性、凹凸性以及泰勒展开（Taylor expansions）提供了理论支撑。 5. 积分学： 积分是求“面积”或“累积量”的工具，是与微分紧密相关的概念。本书将介绍黎曼积分（Riemann integral）的定义和性质，包括可积函数的条件。我们将详细探讨微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），阐述微分与积分之间的深刻联系。此外，我们还会讨论一些基本的积分技巧和积分的应用，例如计算曲线长度、旋转体的体积等。 6. 级数： 级数是将无穷项相加，是函数分析中一个至关重要的领域。我们将从基本概念入手，介绍级数收敛的判定方法，如比较判别法（Comparison Test）、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法（Alternating Series Test）等。我们将特别关注幂级数（Power series）和其收敛域，以及如何利用幂级数表示函数，例如泰勒级数。 本书的特点： 严谨的数学语言： 我们强调数学证明的重要性，每一个概念的引入都伴随着严格的定义和定理，并提供清晰、逻辑严密的证明。我们鼓励读者独立思考，尝试自行完成证明。 直观的几何解释： 虽然数学分析高度抽象，但许多概念背后都有深刻的几何直观。本书将尽可能地提供几何上的解释，帮助读者建立对抽象概念的理解，例如用图像辅助理解极限和导数。 广泛的例子与练习： 为了帮助读者巩固所学知识，本书准备了大量精心设计的例题，涵盖了各种难度和类型。配套的练习题将帮助读者检验对概念的掌握程度，并培养解决问题的能力。 循序渐进的学习路径： 本书的章节安排紧凑而有序，确保读者能够逐步建立起分析学的知识体系。我们从最基础的实数系开始，逐步过渡到更复杂的概念，确保每个阶段的学习都建立在前一阶段坚实的基础上。 面向未来学习的准备： 本书的内容旨在为读者打下坚实的数学基础，使其能够自信地进入高等数学的其他领域，例如多元微积分、实变函数、泛函分析、微分方程等。 本书的目标是让读者不仅掌握数学分析的知识，更能体会到数学思维的严谨、逻辑和美感。通过深入理解这些基本概念，读者将能够更好地分析和解决现实世界中的问题，并为进一步的数学探索做好充分准备。

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如果用一句话来概括我的体验，那就是：这是一次彻底的智力重塑过程。这本书对“严谨性”的坚持是近乎苛刻的，它绝不会为了所谓的流畅性而牺牲一个必要的细节。例如，在定义泰勒定理时，对余项的讨论细致入微，清晰地区分了拉格朗日余项和柯西余项的应用场景，这在我的高中阶段是完全没有接触过的深度。我记得有一次我在做关于反常积分收敛性的判定题时卡住了，反复阅读了书中的相关章节，终于领悟到，这里的关键不在于积分本身，而在于被积函数在特定区域的局部行为。这本书迫使你将目光从局部计算转移到全局性质的审视上来。它不会用大量的彩色图表或互动设计来吸引眼球，它的魅力是内敛的，是通过解决一个又一个逻辑难题所带来的智力上的满足感来体现的。对于任何想真正掌握现代微积分理论的读者来说，这本书都是一份值得反复研读的经典。

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这本书的价值，我认为更多地体现在它对数学思维的塑造上，而非仅仅是知识点的堆砌。它有一部分内容是专门讨论“如何构造反例”的，这部分在其他很多教材中常常被一笔带过，但在这里却被提升到了一个核心地位。作者似乎在反复强调，一个严谨的数学家不仅要能证明“是什么”，更要能清晰地指出“不是什么”。我记得其中有一节关于开集与闭集的讨论，配合着Rudin风格的简洁但精确的论述，让我对拓扑空间的初步认识有了颠覆性的改变。它没有使用过于花哨的图形辅助，而是完全依赖纯粹的逻辑推演，这使得读者在合上书本后，脑中仍然能构建出一个清晰的、互相咬合的理论框架。唯一可能让一些读者感到不适的是，习题的难度分层不够明显，很多后面章节的思考题，即便是简单的应用，也需要深思熟虑，对于时间紧张的学生来说，可能需要学会取舍。

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读完这本书的后半部分，特别是关于勒贝格积分的预备知识，我感觉自己仿佛从一个只会在平面上画图的人，突然被赋予了审视三维空间的能力。这种“升级感”是极其美妙的。作者在处理收敛定理时，那种层层递进的逻辑推导，展现了数学分析这一学科的宏伟和优雅。比如，当讲解有界收敛定理（DCT）时，书中并没有直接引用复杂的测度论工具，而是巧妙地利用了单调收敛定理和一些精妙的不等式技巧来完成证明，这种“以柔克刚”的处理方式，极大地降低了初学者面对“大杀器”时的恐惧感。我最喜欢它的地方在于，它总是把“为什么我们需要这个工具”放在“如何使用这个工具”之前进行解释。这本书不是让你死记硬背公式的工具箱，而是让你理解数学家是如何思考、如何构建理论世界的指南针。它迫使你从根本上质疑你对“无穷大”这个概念的所有直觉认知。

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说实话，我刚开始接触这本书的时候，感觉就像是在攀登一座陡峭的数学悬崖，每翻开一页都伴随着肾上腺素的分泌。这本书的难度曲线设计得非常陡峭，一开始的实数系统构建部分，我就被那些关于“上确界”和“下确界”的讨论卡住了好几天。它不容许任何的跳跃性思维，你必须老老实实地去理解每一个定义和引理背后的深层含义。我尤其对其中关于函数一致连续性的那几个章节印象深刻，作者没有采用那种流水账式的讲解，而是直接抛出了最核心的$epsilon-delta$语言的精髓，然后通过大量反例来强化我们对“均匀”这个概念的理解。这种教学方式极具挑战性，它要求读者必须具备高度的自律性和批判性思维，不能满足于表面的理解。我常常在解题时感到挫败，但一旦攻克一个难题，那种成就感是无与伦比的——这已经不是简单的解题技巧，而更像是在进行一场智力上的角力。这本书更像是一位严苛的导师，它不提供捷径，只给你最坚实的工具，让你自己去开拓疆土。

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这本《Analysis I》的封面设计简洁，散发着一种沉稳而专业的学术气息，让我这个初涉微积分深水区的学生感到既敬畏又期待。我记得拿到书的时候，正是期中考试的压力山大之时，对“极限”和“连续性”这些抽象概念感到头晕目眩。这本书的排版非常清晰，黑白分明的字体和恰到好处的行距，让长时间阅读下来眼睛也不容易疲劳。尽管内容本身是相当硬核的，但作者似乎深知初学者的困境，在引入新概念时，总会先用一些非常直观的、生活化的例子来打个底，比如用沙滩上的海浪来解释序列的收敛性，或者用一个不断缩小的房间来阐述柯西列的完备性。这使得那些原本在教科书上显得冰冷无情的符号和定理，第一次在我脑海中有了立体的形象。我特别欣赏它在证明过程中展现出的那种严谨的逻辑链条，它不仅仅是告诉你“为什么”是对的，更是在展示“如何一步步”构建这个“对”的过程。尽管初期我需要反复对照课上的讲解才能完全跟上，但这种扎实的基础训练，无疑为我后续学习更深层次的数学分析打下了坚实的基石。

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比卓里奇的更全面，也更好懂

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这本书最适合学过高等数学（即尚未接受过完整的数学分析训练的学生，尤其是那些已经自学过微积分和线性代数的中学生，把微积分和线性代数的技巧已经玩的比较熟了），可以帮助他们重塑数学观，德国想要读数学系的高中生至少已经熟练掌握微积分和线性代数了（这点俄罗斯和法国还有东欧的国家都一样，相比而言我们国家做到这点的学生比较少，起码清北华五还有南开、山大、川大、武大、中山、北师、华师等院校的数学系学生在入系前需要掌握微积分和线性代数的计算技巧）。

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第1版有小错误，德文后续版本改过来了，英文翻译版还没有改

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是本好书，可惜自己只读到了60%，以后有时间再继续看完吧

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比卓里奇的更全面，也更好懂