The Four-Color Problem pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Thomas L. Saaty

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-05

价格:USD 7.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486650920

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 拓扑学
• 图论
• 四色定理
• 地图着色
• 组合数学
• 离散数学
• 数学史
• 证明
• 算法

谜一般的几何构造：平面上图案的色彩边界 图书简介 本书深入探索了一个看似简单却蕴含着深刻数学原理的领域：平面上任意给定地图或区域划分，我们最少需要多少种颜色才能确保任何相邻的区域颜色都不相同？这不是一本关于传统地理学或绘画艺术的著作，而是一部聚焦于拓扑学、组合数学和图论交叉领域的严肃学术作品——《谜一般的几何构造：平面上图案的色彩边界》。 全书以一个古老而引人入胜的问题为引子，但其核心内容远远超越了最初的直观猜想。我们将构建一个严谨的理论框架，系统地剖析限制相邻着色问题的几何和拓扑本质。 第一部分：拓扑基础与地图建模 本书首先为读者奠定必要的数学基础，特别是关于拓扑空间和平面图嵌入的知识。我们不会沉溺于过于抽象的代数拓扑，而是聚焦于与地图着色直接相关的概念。 第一章：平面与嵌入的艺术 本章详细阐述了什么是连通平面区域，以及如何将抽象的“地图”转化为严格的数学对象——平面图。我们讨论了欧拉公式（$V-E+F=2$）在平面图分析中的核心地位，并解释了为什么这个看似简单的公式是理解着色复杂性的基石。我们将区分不同类型的地图，例如仅由直线分割的地图，以及允许弯曲边界的更一般情况。重点在于，我们将明确定义“相邻”的含义，即共享一条非零长度边界的两个区域。 第二章：图论的语言 我们将地图着色问题正式转化为图论中的“图着色”问题。每个区域被视为图中的一个顶点（Vertex），而两个相邻区域之间则被视为连接这两个顶点的边（Edge）。本书将详尽介绍图论的基本术语：度数、路径、回路、连通性，以及最重要的——色数（Chromatic Number） $chi(G)$ 的定义。我们将通过具体的、简单的地图实例（如三角形、四边形划分）来演示如何从几何直观过渡到代数图模型。 第二部分：着色问题的内在限制与初步探索 本部分着手研究限制着色数的内在因素，并引入了尝试解决该问题的早期方法。 第三章：团与充分必要条件 理解图的“团”（Clique）在着色问题中的关键作用是至关重要的一步。一个$k$阶团意味着存在$k$个区域，它们两两之间都相互相邻。显然，要对这样的结构进行着色，至少需要$k$种颜色。本章深入分析了最大团的大小如何为色数提供一个下界。我们将探讨如何在一个复杂的地图中寻找最大的团结构，并展示一个由五个互相接触的区域构成的复杂拓扑结构，说明它如何立即迫使我们需要至少五种颜色（尽管这在平面上是不可能的，此处的讨论旨在强调团的识别重要性）。 第四章：对偶图与平面图的特殊性质 着色理论的许多进展得益于对偶图（Dual Graph）的构造。本章详细介绍了对偶图的构建方法，以及它与原地图在拓扑性质上的对应关系。平面图相较于一般图拥有独特的结构限制，这使得着色问题比一般图着色（NP-完全问题）要容易处理。我们将论证，对于任何平面图，其至少存在一个度数小于6的顶点，这是后续证明的关键引理之一。 第五章：初步的着色算法与尝试 在引入复杂证明之前，本章介绍了几种启发式的着色算法，例如贪婪着色法（Greedy Coloring）。我们展示了贪婪算法虽然简单快捷，但在最坏情况下的性能（其结果可能远高于实际所需的色数），并讨论了如何通过优化顶点的遍历顺序来改进算法的效率。我们将通过实例展示，即使是精心设计的贪婪算法，也无法保证找到最小着色数。 第三部分：结构分解与证明的艺术 本书的第三部分是理论核心，它引导读者逐步理解证明的逻辑链条，特别是那些证明“四色”界限的精妙论证。 第六章：三角剖分与五边形限制 我们将地图区域视为可以被分解为基本单元的结构。本章专注于三角剖分（Triangulation）——一种特殊的平面图嵌入，其中所有面（除了外部面）都是三角形。三角剖分极大地约束了图的结构。在此基础上，我们引入了关键的“五边形平均度”论证，这是证明“任何平面图至少有一个度数不大于5的顶点”的经典论证的变体。该论证有力地建立了五色定理的早期基础。 第七章：五色定理的完整证明 五色定理是四色问题的“垫脚石”和“里程碑”。本章将以严谨的数学归纳法，完整、详细地证明：任何平面图都可以用五种颜色进行着色。证明过程将集中于归纳假设和简化步骤： 1. 假设所有少于$n$个顶点的平面图都可以五着色。 2. 考虑一个$n$个顶点的平面图$G$。 3. 找到一个度数 $le 5$ 的顶点$v$。 4. 移除$v$，得到一个$n-1$的图$G'$，根据归纳假设，它可以用五种颜色着色。 5. 重新引入$v$，讨论其邻居的度数情况（特别是当度数为5时）以及如何通过“旋转重着色”（Kempe Chains的初步思想）来释放出一个颜色给$v$。 第八章：从五到四的飞跃——困难与历史的转折点 本章探讨了为什么从五色定理到四色定理的跨越如此艰难。我们将分析四色定理证明的核心障碍：不可约构型（Irreducible Configurations）。我们将详细介绍四色定理证明的关键思想：如果存在一个无法四着色的最小地图（一个“不可约构型”），那么这个构型必须满足极其严格的几何和拓扑限制。我们将展示一些早期的、基于“五元环”（Pentagon）的不可约构型的尝试，并分析它们在理论上为何未能完成证明。 第九章：计算机辅助证明的时代与最终论证 本书的最后部分将概述二十世纪后期突破性的进展。我们将讨论两位数学家如何系统地识别并穷尽了所有可能的不可约构型（总计约1936个，后经简化）。重点不再是经典的“归纳加替换”的纯手推证明，而是计算机辅助证明（Computer-Assisted Proof）的必要性与哲学意义。我们将描述算法的构造方式：如何设计一个系统性的检查流程，确保所有可能的“障碍”都被处理，从而证明“不存在任何不可约构型”，因此所有平面图都可以四着色。 结语：色彩之外的意义 本书的结论部分超越了数学证明本身。我们将讨论四色问题在理论计算机科学、网络拓扑优化以及离散几何中的潜在应用与影响。它不仅是一个关于颜色的谜题，更是关于我们如何用最少的资源去组织和理解复杂空间结构的一个深刻隐喻。通过对这个问题的层层剥茧，读者将领略到数学逻辑的强大美感和对看似简单问题背后无限深度的探索精神。

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我一直认为，数学不仅仅是数字和公式，它更是一种思维方式，一种探索世界、理解世界的工具。这本书则完美地诠释了这一点。作者选取了几个在数学史上具有深远影响的问题，并以一种极为清晰易懂的方式呈现给读者。我最欣赏的是他处理复杂证明时的“去魅化”过程，他通过大量的类比和图形说明，让那些看似高不可攀的数学理论变得生动有趣，甚至富有诗意。例如，在讲解某个关于集合论的难题时，作者运用了生活中的比喻，让我能够直观地理解那些抽象的概念。书中对不同数学思想流派的演变和融合的描绘也十分精彩，它展现了数学知识是如何在历史的长河中不断发展和完善的。我常常在阅读时，被那些数学家们坚韧不拔的探索精神所深深打动，他们为了一个看似“无用”的问题，付出了毕生的努力，这种精神本身就值得我们学习。这本书让我对数学有了全新的认识，它不仅仅是学科，更是一种文化，一种智慧的传承。

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这本书为我打开了一个全新的视角，去理解那些看似遥不可及的数学概念是如何一步步从模糊的直觉演化成严谨的理论的。它不像教科书那样枯燥乏味，而是以一种充满叙事性和探索性的方式，带领读者穿越时空的隧道，去亲历数学发现的每一个精彩瞬间。我特别欣赏作者在处理那些复杂证明时的手法，他并没有把读者硬推到一堆符号和公式前，而是通过生动的类比和形象的解释，让那些抽象的逻辑变得触手可及。例如，在讲述某个几何难题时，作者甚至引用了绘画和地图制作的例子，让我瞬间就明白了问题的核心所在。书中关于不同数学流派之间的争论和融合也让我印象深刻，它揭示了数学并非一个孤立的学科，而是与哲学、逻辑学乃至艺术都有着千丝万缕的联系。我常常在阅读时，脑海中会浮现出那些历史画面，想象着不同时代、不同地域的学者们，在思想的碰撞中激发出新的火花。这本书不仅仅是关于数学的知识，它更是一部关于人类智慧、创新和不懈探索精神的颂歌。

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我最近沉迷于阅读一本关于数学史的著作，它深入浅出地讲述了数学史上一些最为迷人的未解之谜。这本书最让我着迷的是它如何将抽象的数学概念与生动的人物故事相结合。作者并没有仅仅罗列定理和证明，而是花了很多笔墨去描绘那些伟大的头脑是如何在探索未知时挣扎、思考、甚至互相竞争的。我仿佛看到了那些老派的数学家们，在昏暗的灯光下，用羽毛笔和墨水，在一张张羊皮纸上勾勒出他们脑海中的宇宙。书中对每个问题的背景介绍都极为详尽，它们是如何被提出的，当时的数学界对此有何看法，以及历代数学家们尝试过的各种思路和方法。即便是对于我这样一个数学功底不算深厚的人来说，也能在作者的引导下，逐步理解这些问题的精妙之处。我尤其喜欢其中关于某个著名猜想的章节，它描述了该猜想在近一个世纪的时间里是如何不断地被修正、被攻克又被新的问题所取代的。这种曲折离奇的探索过程，比任何小说都来得扣人心弦。阅读过程中，我不断地被那些数学家们执着的精神所打动，他们为了一个看似微不足道的问题，耗费毕生的精力，这本身就是一种令人敬畏的追求。

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这是一本能够点燃你对数学探索热情的好书。它没有冗长的公式推导，也没有复杂的术语堆砌，而是将数学的魅力以一种更为人性的方式呈现出来。作者善于讲述故事，他将那些沉寂在历史尘埃中的数学难题，重新赋予了鲜活的生命。我特别喜欢书中关于某个著名猜想的介绍，它详细地描述了这个猜想是如何从一个看似微不足道的观察，最终演变成一个困扰了数学界数百年的难题。作者还穿插了许多有趣的轶事，例如不同数学家之间就某个问题展开的激烈辩论，以及一些意想不到的突破是如何在看似偶然的情况下发生的。这些细节让阅读过程充满了乐趣，也让我更加真切地感受到了数学研究的非凡之处。我常常在阅读时，想象着自己也身处那个时代，与那些伟大的头脑一同思考，一同探索。这本书的价值在于，它不仅仅是知识的传授，更是一种精神的启发，它鼓励我们保持好奇心，勇于挑战未知。

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我一直对那些看似简单却又异常棘手的数学问题情有独钟，而这本书恰好满足了我的好奇心。它精选了几个在数学史上具有里程碑意义的问题，并以一种引人入胜的方式进行了解释。我最喜欢的部分是作者对这些问题背后历史渊源的挖掘，他并没有停留在问题本身，而是深入探讨了它们是如何在特定的历史时期和社会背景下诞生的，以及它们对当时数学发展产生了怎样的影响。这种历史的厚重感让这些数学问题不再是孤立的抽象概念，而是与人类文明的发展紧密相连。我尤其被书中描述的一位数学家如何为了解决一个长达数百年的难题而付出的不懈努力所感动，他的故事充满了戏剧性，也展现了数学家们非凡的毅力和智慧。这本书让我意识到，每一个伟大的数学发现背后，都凝聚着无数人的心血和汗水。即便我不能完全理解所有证明的细节，但通过作者的描述，我依然能感受到那些数学思想的魅力和它们所蕴含的深刻意义。

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