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出版者:Brooks Cole

作者:J. Douglas Faires

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2006-9-13

价格:USD 203.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780495012696

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，以下是一本名为《代数与几何的交汇点》的图书简介，该书内容与您提到的《Precalculus》无关： --- 代数与几何的交汇点：解析方法与空间思维的桥梁 作者： 资深数学教育家 团队 出版社： 尖峰数学出版社 装帧： 精装，附赠在线互动习题集 字数： 约 500,000 字 定价： ￥188.00 --- ???? 图书简介 《代数与几何的交汇点》是一部旨在为高等数学学习奠定坚实基础的深度专著。本书的核心目标在于构建起纯粹代数运算与直观几何可视化之间的桥梁，引导读者超越机械化的公式记忆，深入理解数学概念背后的结构与逻辑。我们认为，真正的数学理解源于对形式化语言与空间直觉的同步培养。 本书并非任何特定标准预备微积分（Precalculus）课程的教材，它聚焦于解析几何的深度拓展、线性代数的初步引入，以及数论在现代密码学中的应用这三大支柱领域。我们假设读者已经掌握了基础的函数操作（如多项式、有理函数、指数与对数的基本性质）和三角恒等式的初步认识。 第一部分：解析几何的精微世界 本部分将解析几何提升到了一个全新的深度。我们从笛卡尔坐标系出发，但迅速将焦点转移到二次曲线（Conic Sections）的广义讨论上。 深度剖析二次曲线： 我们不仅仅停留在圆锥截面的标准方程，而是深入探讨如何利用旋转坐标系和二次型矩阵来识别和描绘任意二次曲线。书中详尽解析了二次曲线的一般方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的判别式，并展示了如何通过特征值分解（Eigenvalue Decomposition）来消除交叉项 $Bxy$，从而简化曲线的形态识别。读者将掌握极坐标系下二次曲线的统一表示法，理解为什么焦点和离心率在不同坐标系下仍能保持几何意义的一致性。 三维空间中的几何： 本书将解析几何的视角扩展至三维空间。我们细致讲解了向量代数的公理化构建，区分了点积（Dot Product）和叉积（Cross Product）的几何内涵及其物理意义（如功与力矩）。随后，我们将深入探讨平面和空间直线的参数方程与对称方程，并着重于求解两条空间直线之间的最短距离，以及如何确定一条直线与一个平面之间的夹角。 曲面初步探索： 高潮部分是二次曲面的系统介绍，包括椭球面、双曲面（单叶与双叶）以及抛物面。通过对这些曲面方程的分析，读者将学会如何通过其截面分析法（Traces）来三维重建曲面的形状，这极大地训练了读者的空间想象力。 第二部分：线性代数的萌芽与应用 在代数和几何交汇的天然场所——线性系统中，本书引入了线性代数的概念框架，但着重于其在求解联立方程组和变换中的实际应用，而非纯粹的抽象代数结构。 方程组的矩阵表示： 我们从高斯消元法（Gaussian Elimination）的几何解释开始，自然过渡到增广矩阵和行阶梯形（Row Echelon Form）的严谨定义。本书强调通过初等行变换来理解解空间的结构。我们清晰区分了系数矩阵的秩与方程组解的存在性和唯一性之间的关系。 矩阵运算的几何意义： 矩阵被视为一种线性变换。本书详细讲解了 $2 imes 2$ 和 $3 imes 3$ 矩阵如何表示平面和空间中的旋转、缩放、剪切和反射。通过计算矩阵的行列式（Determinant），读者将直观地理解变换对面积或体积的缩放因子，从而将行列式的代数运算与几何意义紧密联系起来。 向量空间与基底的直觉： 虽然本书不深入探讨抽象向量空间，但我们通过 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 来引入线性无关性、生成集和基底的概念。我们使用坐标变换的例子，展示了更换基底如何改变向量的坐标表示，但其在原空间中的几何位置保持不变。 第三部分：数论基础与现代密码学的数学逻辑 此部分完全独立于前两部分的几何和线性代数主题，专注于整数的结构性质及其在信息安全领域的应用，这是对传统代数运算的有力补充。 模运算与同余关系： 本书首先建立了同余关系的严格定义，并证明了其等价关系的所有性质。我们详细介绍了模算术的四则运算规则，并将其应用于解决线性同余方程。 欧几里得算法的深度挖掘： 我们不仅展示了扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）来求解最大公约数（GCD），更关键的是，我们展示了如何利用该算法来求取模逆元（Modular Multiplicative Inverse），这是RSA等公钥加密体系的核心。 费马小定理与欧拉定理： 书中对这两个重要的数论定理进行了详尽的推导和应用讲解。我们将费马小定理视为模幂运算中的一个强大工具，并利用欧拉定理来处理更一般的模幂运算，这为读者理解基于大数阶的加密方案提供了必要的数学基础。 --- ???? 本书特色与优势 1. 概念驱动，而非公式堆砌： 每引入一个代数工具，都伴随着一个明确的几何或结构解释，确保知识的深度理解。 2. 跨学科思维训练： 成功地将解析几何、线性代数预备知识和数论基础融为一体，培养学生从不同角度审视数学问题的能力。 3. 丰富的例题与深度习题： 每一章末均包含“概念检验题”、“计算挑战题”和“几何证明题”三类习题，满足不同层次的学习需求。 4. 历史与应用透视： 穿插了关于笛卡尔、欧拉、高斯等数学家在这些领域的发展贡献的简短历史插叙，激发学习兴趣。 适合读者： 已经完成基础代数学习，计划深入学习微积分、线性代数或计算机科学中涉及离散数学和加密学的高年级高中生、大一/大二学生，以及希望系统回顾和深化代数几何基础的自学者。 本书将为您打开一扇通往更高级数学世界的门，让您在代数的精确与几何的直观之间，找到属于您自己的数学和谐。

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这本书给我的感觉，就像是在走进一个精心布置的数学花园。每一章的内容，都像是一片精心修剪过的区域，既有规律可循，又充满了探索的乐趣。我特别喜欢书中那些精美的插图和图表，它们不仅仅是为了美观，更是为了帮助我理解抽象的数学概念。比如，在讲解函数图像的变换时，书中提供了大量的不同变换下图像的变化过程，这让我能够直观地感受到“平移”、“伸缩”、“对称”等操作对函数图像的影响。我甚至觉得，很多时候，一个好的图表比冗长的文字描述更能说明问题。而且，书中的练习题设计也相当有代表性，涵盖了各种题型和难度，能够帮助我全面地检验自己的学习成果。我曾在一个周末，将书中关于“指数和对数函数”的章节进行了系统的复习，并完成了所有的练习题，感觉自己对这一部分的掌握程度有了质的飞跃。

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坦白说，我一直觉得数学的学习过程，就像是在攀登一座高山，每一座山峰都代表着一个重要的知识点，而那些连接山峰的小径，就是我们学习过程中需要克服的困难和挑战。这本《Precalculus》就像是一位经验丰富的登山向导，它不仅指明了前进的方向，更重要的是，它为我提供了扎实的装备和实用的技巧，让我能够更加自信地去攀登。我特别喜欢书中那些“提示”和“注意”的部分，它们往往能够点醒我，让我避免一些常见的错误，或者看到一些容易被忽略的细节。比如，在讲到多项式函数零点的时候，书中特别提醒要注意根的重数对函数图像的影响，这一点对于理解函数图像的形状至关重要。此外，我还发现，这本书在讲解一些需要数学工具辅助理解的概念时，非常注重几何可视化。例如，在讲解复数和指数函数时，书中给出了大量的复平面上的图像，让我能够直观地看到这些抽象概念的变化规律。这种图文并茂的学习方式，极大地提升了我的学习效率和兴趣。

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这本书在逻辑结构的安排上，可以说是环环相扣，层层递进。从最基础的代数运算，到函数、指数、对数、三角函数，再到更复杂的数列和级数，每一个章节都像是一个精心搭建的积木，在前一个章节的基础上，又为下一个章节打下了基础。我尤其欣赏它在引入新概念时，总是会回顾之前学过的相关知识，让我能够清晰地看到知识点之间的内在联系。例如，在学习指数函数的时候，书中会先回顾指数运算的性质，然后自然地过渡到指数函数的定义和性质，这种“温故知新”的方式，让我对知识的掌握更加牢固。而且，书中的每一部分内容，似乎都为后续更深入的学习做了充分的铺垫。我能感觉到，当我掌握了这本书中的内容后，再去看更高级的微积分或者线性代数，应该会感到轻松很多，因为这本书已经为我打下了坚实的“Precalculus”基础。

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这本书的封面设计，首先就给我一种严谨又充满活力的感觉。沉稳的蓝色为主色调，点缀着抽象的数学符号和图形，它们仿佛在诉说着数学的奥秘，又好像在跳跃着思维的火花。拿到手时，纸张的质感也相当不错，不是那种廉价的、容易泛黄的纸，而是略带磨砂感，翻阅起来声音也很舒服，不会觉得刺耳。我一直对数学抱有一种既敬畏又好奇的态度，觉得它是一门非常基础却又极其强大的学科。而“Precalculus”这个名字，就预示着它将带领我进入一个更深层次的数学世界，为我未来的学习打下坚实的基础。我尤其喜欢书页的排版，字迹清晰，间距适中，不会让人觉得拥挤。数学公式的处理更是恰到好处，不会因为排版问题而显得杂乱无章。我想，一本好的教材，不仅仅是内容的深度，更在于它能否以一种令人愉悦的方式呈现出来，而这本“Precalculus”显然在这方面做得相当出色。每一个章节的划分都显得有条理，让我能清楚地看到学习的脉络，知道自己将要掌握哪些知识点，以及这些知识点之间是如何关联的。我甚至能想象到，在某个阳光明媚的下午，我坐在窗边，伴着咖啡的香气，慢慢翻阅这本书，享受着知识一点点被点亮的过程。这种期待感，在很多教材中是难以获得的。

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我对于数学学习的理解，总是认为它不仅仅是记忆公式和解题技巧，更是一种思维方式的训练。而这本《Precalculus》在这一点上，给了我极大的惊喜。它不仅仅是罗列概念，而是通过大量的例题和讲解，引导读者去思考“为什么”，去理解公式背后的逻辑和几何意义。我记得有一章讲到三角函数，以往我对三角函数的理解就是一些单位圆上的坐标变化，但这本书却通过生动的图示和联系实际生活的例子，让我看到了三角函数在解决实际问题中的强大应用，比如测量高度、计算距离等等。这种“知其然，更知其所以然”的学习体验，让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地去探索和理解。书中的习题设计也很有梯度，从基础的巩固练习，到需要综合运用知识的挑战性题目，能够很好地满足不同层次的学习需求。我曾在一个周末，花了很多时间去钻研其中一道关于函数图像变换的题目，一开始觉得很困惑，但在反复尝试和结合书中的提示后，我终于找到了解题的关键，那种豁然开朗的感觉，真的非常棒。这不仅仅是解开了一道题，更是对整个函数概念有了更深刻的理解，也让我对数学的抽象思维有了更强的信心。

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我一直认为，学习数学不仅仅是掌握知识，更是提升逻辑思维能力的过程。这本《Precalculus》在这一点上，给我留下了深刻的印象。书中对每个概念的推导和证明，都遵循着严谨的逻辑顺序，层层递进，让我能够清晰地看到结论是如何一步步得出的。我记得在学习“数列的收敛性”时，书中就详细地解释了为什么需要引入“收敛”的概念，以及收敛的定义是如何保证数列的长期行为。这种对逻辑严谨性的追求，不仅让我理解了数学定理的本质，也潜移默化地提升了我的逻辑思维能力。即使遇到一些比较复杂的证明，我也会尝试着去理解每一步的逻辑依据，而不是囫囵吞枣。这种学习方式，让我感觉自己在不仅仅是在学习数学，更是在训练自己的思维。

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这本书的语言风格，让我觉得既专业又不失亲切。虽然是一本严谨的数学教材，但它的叙述并不生硬，反而有一种引导性。作者在解释一些概念时，会使用一些通俗易懂的比喻，或者从生活中的例子出发，这让原本抽象的数学概念变得更加具象化，也更容易被我所接受。我尤其喜欢书中的一些“思考题”，它们往往不是直接的计算题，而是需要读者发散思维，去探索数学规律。这些思考题，虽然有时会让我绞绞脑汁，但解决它们之后，总会有一种成就感，并且对相关知识点有了更深刻的理解。我觉得，一本好的教材，应该能够培养读者的自主学习能力和解决问题的能力，而这本《Precalculus》显然在这方面做得相当出色。它鼓励我去思考，去探索，而不是仅仅被动地接受。

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在阅读这本《Precalculus》的过程中，我发现它在处理一些易错点或易混淆的概念时，总是能够提供非常具有指导性的解释和区分。我印象最深刻的是关于函数单调性和奇偶性的讲解，很多时候，我们容易将这两个概念混淆，或者在判断时出现错误。而这本书，通过详细的图示和多种判断方法，将这两个概念的异同点梳理得非常清楚，并且提供了大量的练习题来帮助我们巩固。另外，书中在讲解不等式和方程组的解法时，也非常细致。它不仅展示了传统的代数解法，还会结合图像来辅助理解，让我能够从几何的角度来理解代数问题的本质。我曾在一个下午，因为一道关于函数方程的问题而卡住，反复尝试了几种方法都不得其解。最后，我翻回到书中关于函数图像性质的章节，结合书中的提示，重新审视了问题，终于找到了突破口。这种“疑难杂症”在书中总是能得到很好的化解，让我感觉到这本书就像是一位经验丰富的数学老师，总能在关键时刻给予我点拨。

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这本《Precalculus》给我最深刻的印象之一，就是它对于概念的解释的严谨性和清晰性。我一直认为，数学学习的根基在于对基本概念的准确把握，如果基础不牢，后续的学习就会举步维艰。这本书在这方面做得非常到位，每一个新概念的引入，都会伴随着详细的定义、性质以及相关的例子。举个例子，在讲解“极限”这个概念时，作者并没有上来就抛出复杂的数学语言，而是先从直观的例子入手，比如不断逼近一个数值的过程，然后才逐步引入 epsilon-delta 定义，这种循序渐进的方式，让原本抽象的“极限”概念变得容易理解和接受。我曾不止一次在学习其他数学书籍时，因为对某个概念的理解不够深入而感到沮丧，但在这本书里，我很少有这种感觉。即使遇到一些比较复杂的定理，作者也总是会用清晰的逻辑链条来解释其推导过程，并给出相应的几何解释，这让我能够更深入地理解定理的内涵，而不是死记硬背。我认为，这本教材能够培养出真正理解数学的读者，而不是仅仅掌握解题技巧的“套题机器”。

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从我个人的学习经历来看，一本好的数学教材，其价值不仅仅体现在它所包含的知识点，更在于它能否有效地激发读者的学习兴趣和探索欲望。这本《Precalculus》在这方面做得尤为突出。它不是那种干巴巴的、充斥着枯燥公式的教材，而是充满了“生命力”。我在阅读过程中，经常会遇到一些引人入胜的数学史小故事，或者是一些与现代科技、日常生活紧密联系的应用案例。例如，在介绍概率论相关内容时，书中就提到了扑克牌游戏中各种牌型的概率计算，以及在金融风险评估中的应用，这让我切实感受到数学的实用性和趣味性。我记得有一次，我被书中一个关于“斐波那契数列”和“黄金分割”的例子所吸引，那不仅仅是数学公式的堆砌，更是将数学的美学和自然界的普遍规律联系了起来，让我对数学有了全新的认识。这种将抽象的数学概念与现实世界巧妙结合的做法，极大地降低了我的学习门槛，也让我觉得数学不再是遥不可及的象牙塔，而是触手可及的、充满魅力的科学。

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