Geometry (Geometry, Teachers Wraparound Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:G;encoe Mathematics

作者:johnna J Bolyard

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780078667794

丛书系列:

图书标签:

• Geometry
• Mathematics
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代数与解析几何：深入探索空间与形式的交织 本书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的代数与解析几何学习体验，涵盖了从基础概念到高级应用的全方位知识体系。它不仅仅是一本教材，更是一部引导读者理解和掌握数学核心思想的工具书。本书的结构精心设计，力求在严谨的数学逻辑与直观的几何理解之间搭建坚实的桥梁，使复杂的概念变得清晰易懂。 第一部分：代数基础与结构 本书的开篇部分专注于代数的基础构建，为后续的几何学习打下坚实的理论基础。 1.1 集合论与逻辑基础 我们从集合论的基本概念入手，包括集合的定义、运算（并、交、差、补）以及笛卡尔积。在此基础上，我们将引入数学逻辑的基本元素，如命题、量词（全称量词与存在量词）以及证明的基本方法（直接证明、反证法、数学归纳法）。这种严谨的开端确保了读者在处理后续的抽象概念时，能够具备清晰的逻辑推理能力。 1.2 数系扩展与性质 本书详细回顾了有理数、实数以及复数的性质。重点探讨了实数系的完备性，以及复数在平面上的几何表示（代数与几何的初步联系）。复数的代数运算、共轭复数、模以及极坐标形式的引入，为后续的旋转和变换奠定了代数基础。对多项式的讨论，包括因式定理、余数定理以及高次方程的解法，也在此部分得到详尽阐述。 1.3 线性代数初探 线性代数是连接代数与几何的强大工具。本章首先介绍矩阵的运算规则（加法、乘法、转置、逆矩阵）。随后，我们深入探讨线性方程组的求解，重点介绍高斯消元法及其背后的理论支撑。向量空间的概念被引入，包括线性相关性、基和维数，这为理解高维空间中的几何结构提供了必要的代数框架。特征值和特征向量的计算及其在对角化中的应用，揭示了线性变换的本质特性。 第二部分：解析几何的核心——平面与空间 在代数工具准备就绪后，本书转向解析几何的核心领域，探索如何用代数语言描述几何对象。 2.1 直线与圆的解析表示 我们从二维笛卡尔坐标系开始，详细分析了直线的一般方程、点斜式、斜截式和两点式。斜率的概念被赋予几何意义（方向角）。圆的方程（标准式与一般式）的推导，强调了圆心和半径在方程中的直观体现。点到直线的距离公式以及两圆的位置关系，都通过代数计算得到精确描述。 2.2 轨迹与参数方程 本节重点讨论如何根据几何性质确定点的轨迹方程。通过设定变量之间的代数关系，反推出描述该轨迹的函数形式。此外，我们引入参数方程来描述曲线，特别是针对那些难以用单一函数表示的曲线，如摆线等。参数方程在描述运动轨迹方面展现出强大的灵活性。 2.3 二次曲线的统一视角 圆锥曲线是解析几何的经典主题。本书采用统一的代数方法来处理椭圆、双曲线和抛物线。我们首先从标准的定义（焦点、准线）出发，推导出它们的一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。通过对判别式 $Delta = B^2 - 4AC$ 的分析，读者可以判断曲线的类型。重点讨论了二次曲线的平移和旋转变换，特别是如何通过坐标系的旋转消除 $xy$ 项，将曲线化为标准形式，从而揭示其本质几何特征（如长短轴、离心率）。 2.4 三维空间中的几何 我们将坐标系扩展到三维空间。向量在三维空间中的运算，特别是点积（内积）和叉积（外积）的几何意义被深入探讨。点积用于计算投影和夹角，而叉积则提供了同时垂直于两个向量的新向量，这在计算平面法向量时至关重要。 2.5 空间直线与平面 空间直线通过方向向量和空间中一点来定义，其参数方程和对称方程形式被详尽介绍。空间平面的方程（法式方程）的推导，强调了法向量在确定平面位置中的核心作用。点到平面的距离公式、两平面的夹角、线面关系等关键问题，均通过向量代数得到优雅的解答。 第三部分：高级主题与几何变换 本书的后半部分侧重于将代数和解析几何的概念提升到更抽象的层次，并探讨几何变换的代数基础。 3.1 曲线的极坐标表示 极坐标系为描述某些具有旋转对称性的图形提供了更简洁的方式。本书系统地介绍了极坐标与直角坐标之间的转换公式。通过极坐标，读者将能够轻松地表示和分析螺旋线、心形线等复杂的曲线，并学习如何求出极坐标曲线的切线斜率。 3.2 向量代数在几何中的应用 向量代数被进一步深化，作为研究几何问题的强大工具。本书应用向量方法来证明几何定理，例如三角形共面性、四面体的体积计算，以及空间中线段的最短距离问题。 3.3 仿射变换与刚体运动 在继承了线性代数的基础上，本章引入仿射变换的概念，这是描述几何变换（如平移、缩放、剪切、旋转）的通用代数框架。矩阵乘法直接对应于几何变换的复合。我们特别关注刚体运动（保持距离不变的变换），这些变换可以通过正交矩阵和位移向量来表示。理解这些变换的代数表示，是深入理解几何学与现代图形学、物理学之间联系的关键。 3.4 曲线的曲率与法线 对于更精确的几何描述，我们引入了微积分（仅涉及基本导数概念）来分析曲线的局部弯曲程度——曲率。曲率的计算不仅揭示了曲线的几何特征，也展示了代数工具如何与变化率的概念相结合，提供更细致的几何洞察。 总结 本书的编写哲学是：代数是几何的语言，几何是代数的直观体现。通过对线性代数、向量运算和坐标系转换的系统性学习，读者将能够熟练地运用代数工具解决复杂的空间问题，并建立起对几何形式的深刻直觉理解。本书内容结构严谨，覆盖面广，旨在为后续深入学习微分几何、拓扑学乃至高等数学的专业领域做好充分的准备。

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