Numerical Methods for Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Wiley

作者:John C. Butcher

出品人:

页数:482

译者:

出版时间:2008-6

价格:1396.00元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780470723357

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 常微分方程
• ODE
• 数值分析
• 科学计算
• 数学
• 工程
• 算法
• 计算数学
• 微分方程

深入探究：非数值解法在常微分方程中的应用 本书旨在为读者提供一个关于常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的非数值解法理论与实践的全面视角。不同于侧重于近似计算的数值方法，本书将聚焦于那些能够导出精确解析解或能够揭示方程内在结构和特性的分析技术。通过深入剖析这些方法，读者将能够更深刻地理解常微分方程的性质，并掌握在何种情况下可以获得精确的解决方案。 第一部分：线性常微分方程的精确求解 本部分将系统性地梳理和阐述各类线性常微分方程的解析求解技术。 一阶线性常微分方程： 我们将从最基本的一阶线性方程入手，详细介绍积分因子法，并探讨其理论基础和推导过程。通过丰富的示例，读者将学会如何识别可积因子，并将其应用于求解各种形式的一阶线性方程，包括齐次与非齐次情况。 高阶线性常微分方程（常系数）： 重点将放在常系数线性方程的求解上。我们将深入讲解特征方程法，包括实根、重根和复根的情况，并详尽解析如何根据特征方程的解构造通解。此外，还将介绍待定系数法和常数变易法，这些方法在处理非齐次项时尤为重要，我们将通过具体的案例展示其应用技巧和解题策略。 高阶线性常微分方程（变系数）： 这一部分将转向更具挑战性的变系数线性方程。虽然这类方程的解析解通常难以获得，但我们将介绍一些特殊情况下的求解方法，例如欧拉-柯西方程，并分析其解的性质。我们还将简要探讨降阶法在某些变系数方程中的应用潜力。 幂级数解法： 对于一些系数不为常数的线性方程，幂级数解法是一种强大的解析工具。我们将详细讲解如何寻找方程的幂级数解，包括确定幂级数的收敛性、推导递推关系以及构造通解。特别地，我们将讨论富兰克尔法（Frobenius method）用于求解具有正则奇点的方程。 第二部分：非线性常微分方程的分析方法 与线性方程相比，非线性常微分方程的解析求解更加困难，但也因此更具挑战性。本部分将聚焦于能够揭示非线性方程行为的分析技术。 守恒律与第一积分： 守恒律是物理学和工程学中普遍存在的现象，它对应于常微分方程中的第一积分。我们将介绍如何识别和构造第一积分，以及它们如何帮助降低方程的阶数甚至直接得到解析解。我们将探讨能量守恒、动量守恒等在不同方程模型中的体现。 奇点分析与相平面分析： 对于自治系统（即方程不显含自变量t），相平面分析提供了一种强大的可视化工具来理解其解的行为。我们将详细讲解如何绘制相轨迹，识别平衡点（奇点），并根据奇点的类型（节点、鞍点、焦点、中心）判断解的长期行为。我们将深入分析奇点附近的线性化方法，以及它如何揭示非线性系统的局部特性。 线性化与稳定性分析： 即使是非线性方程，在平衡点附近通过线性化也可以获得重要的信息。我们将详细讲解如何对非线性系统进行线性化，并利用线性化后的系统分析平衡点的稳定性。这一技术对于理解系统的长期演化趋势，如吸引子、排斥子等至关重要。 等速曲线法： 对于某些特殊的二阶自治方程，等速曲线法（Isoclines method）可以提供另一种辅助分析相轨迹的方法。我们将介绍其基本原理和应用场景。 特定类型的非线性方程求解： 本部分还将介绍一些具有特殊结构和解析解法的非线性方程，例如伯努利方程、Ricatti方程等，并提供具体的求解策略和案例。 第三部分：特殊函数与积分变换在常微分方程中的应用 在求解许多常微分方程时，不可避免地会遇到或导出一些特殊的函数。本部分将介绍这些特殊函数及其在方程求解中的作用，并探讨积分变换作为一种强大的求解工具。 特殊函数简介： 我们将介绍一些在常微分方程理论中常见的特殊函数，如贝塞尔函数、勒让德函数、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等。我们将简要介绍它们的定义、性质以及它们作为某些方程（如振动方程、薛定谔方程等）的本征解的出现。 积分变换法： 拉普拉斯变换和傅里叶变换是求解常微分方程的两种核心积分变换方法。我们将详细讲解如何利用拉普拉斯变换将常微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程，尤其适用于初值问题。傅里叶变换则常用于求解边界值问题和偏微分方程，本书将侧重其在常微分方程中的应用。我们将通过具体示例展示这两种变换的强大威力。 本书的特点： 强调理论推导与直观理解： 本书在介绍各种方法的同时，注重对其理论基础的深入阐述，力求让读者不仅知其然，更知其所以然。 丰富多样的例题： 每一章节都配有大量精心设计的例题，涵盖了不同类型和难度的方程，帮助读者巩固所学知识，并掌握解题技巧。 清晰的结构与逻辑： 内容组织严谨，层层递进，从基础的一阶方程到复杂的非线性系统，再到特殊函数与积分变换的应用，形成完整的知识体系。 注重数学严谨性： 严格遵循数学推理的逻辑，确保推导过程的准确性。 通过阅读本书，读者将能够掌握一套系统的、精确的常微分方程求解工具箱，这对于从事科学研究、工程设计以及任何需要深入理解动态系统行为的领域都将具有重要的指导意义。本书旨在培养读者独立分析和解决常微分方程问题的能力，为进一步深入学习更高级的数学和工程问题打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本《Numerical Methods for Ordinary Differential Equations》的出现，简直是为我这种常年与非解析解打交道的工程师和科研人员打开了一扇新的大门。我记得最开始接触常微分方程（ODEs）时，课本上那些漂亮的解析解公式仿佛是数学殿堂里的艺术品，美则美矣，但在实际工程问题中，一旦方程组的耦合度稍高、非线性稍强，解析解就成了遥不可及的幻想。这本书恰恰填补了这一空白。它不是那种只罗列公式的枯燥手册，而是深入浅出地探讨了数值方法的内在逻辑和适用边界。比如，对于刚性（Stiff）问题，书中的详细论述和对比分析，让我彻底理解了为什么像Runge-Kutta这类显式方法在某些情况下会失效，以及为什么像BDF（Backward Differentiation Formulas）这类隐式方法，尽管需要额外的迭代求解步骤，却在稳定性上有着决定性的优势。作者在讲解时，总是能巧妙地将抽象的数学概念与实际的计算效率、误差控制紧密联系起来，这一点对于我们追求实用性的工作来说至关重要。我尤其欣赏它对局部截断误差、全局误差以及稳定域的深入剖析，这使得我们在面对特定物理模型时，能够更有针对性地选择最优的数值积分器，而不是盲目地套用教科书上第一个出现的公式。这种对“为什么”和“如何选择”的深刻解答，远比单纯的“是什么”更有价值。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的阅读体验就像是与一位经验丰富、学识渊博的导师进行了一场深入的学术对话。它并没有停留在基础的欧拉法或者梯形法则这种入门级别，而是迅速将读者带入了现代数值分析的核心领域。我最近在处理一个涉及流体力学边界层分离的课题，模型简化后产生了一个高雷诺数下的非线性二阶ODE。面对这个挑战，我翻阅了书中关于“半隐式方法与预测-校正策略”的章节，那里的论述极为精辟。作者不仅清晰地阐述了如何构建一个高效的预测器（比如使用更高阶的显式方法）和一个稳定的校正器（比如使用简化版的隐式方法），更重要的是，它还提供了关于收敛性分析的理论框架。这种理论与实践的无缝衔接，让原本让人头疼的刚性问题变得清晰可控。我必须承认，这本书的图表设计和例子选择也极为用心，它们并非随便找来的玩具问题，而是直击实际应用中的痛点，比如对周期性边界条件的保持性方法（如辛积分器，虽然可能在特定章节略有提及，但其思想的渗透是显著的），这对于长期跟踪能量守恒或相空间结构的研究者来说，简直是雪中送炭。它教会我如何构建“正确”的数值方案，而不仅仅是“能跑起来”的方案。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的启发在于它对“数值逼近”这一概念的哲学性探讨。我们都知道，任何数值解都是对真实解的一种逼近，但如何量化这种逼近的“好坏”是关键。这本书在这一点上展现了极高的水准。它不仅仅关注于如何减小离散化误差，更深入地探讨了舍入误差（Round-off Error）在迭代求解中的累积效应。特别是在讨论隐式方法的求解步骤时，书中对牛顿法及其变体的应用进行了详尽的分析，并明确指出了在数值精度受限的情况下，过分追求高阶精度反而可能因为舍入误差的放大而导致整体精度下降的悖论。这种对计算资源的敏感度和对误差源头的全面审视，是很多初级教材所缺失的。它教会我，在数值计算的世界里，最完美的方法往往不是数学上最优的那个，而是能在给定计算环境下，以可接受的成本，达到预定精度要求的那个。这种务实而深刻的洞察力，使得这本书成为我书架上不可或缺的参考工具，尤其是在需要对现有数值模拟结果进行严格验证和误差归因时，它的理论深度总能提供坚实的后盾。

评分☆☆☆☆☆

初次接触这本书时，我有些担心其内容的专业性会不会导致阅读门槛过高，毕竟ODE的数值解法涉及大量的线性代数和实分析背景。然而，作者的行文风格却出乎意料地流畅且具有引导性。他们似乎深知读者的知识背景，总是在引入新概念时，先给出直观的物理或几何解释，然后再逐步推导严谨的数学证明。例如，在讨论稳定性域（Stability Region）时，它并非简单地给出一个复平面的图形，而是会追溯到最简单的指数衰减方程，解释为什么某些方法在外推时会产生振荡或发散。这种循序渐进的教学法，极大地降低了理解复杂概念的难度。此外，这本书的排版和符号系统也做得非常规范和清晰，这在处理复杂的矩阵运算和向量方程时显得尤为重要。很多时候，阅读一本好的教材，阅读体验本身就是学习过程的一部分，而这本著作在这方面做得非常出色，让你在攻克一个又一个技术难关时，始终保持清晰的思路和学习的动力，而不是被密集的符号和晦涩的论证所劝退。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的结构安排和内容的广度感到非常满意，它显然是为专业人士量身定制的进阶读物。许多同类书籍往往会偏向于某个特定方向，比如偏重于离散化方法，或者过分强调理论证明。然而，这本《Numerical Methods for Ordinary Differential Equations》做到了出色的平衡。从最基础的单步法（如龙格-库塔族的全面覆盖）到多步法（Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF的详细对比），再到针对特定方程类型的解法（例如对Hamiltonian系统的辛积分方法讨论，尽管可能需要读者自行延伸阅读）。更值得称赞的是，它对误差估计和步长自动控制算法的讲解非常详尽。我特别关注了书中关于局部误差估计和自适应步长控制的章节，它详细解释了Dormand-Prince方法中伴随误差估计的原理，这使得我在编写自己的ODE求解器时，能够精确地控制计算资源的投入与解的精度之间的权比。这种深度和广度，使得这本书不仅仅是一本工具书，更是一本能够提升读者数值建模思维深度的教科书。它迫使读者跳出固定的思维框架，去思考不同方法背后的数学本质和计算成本。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆