复变函数(第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9781300237204

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《复变函数（第二版）》 本书旨在为读者系统性地介绍复变函数论的基本概念、理论和方法。内容涵盖了复数及其运算、复变函数、复变函数的极限与连续、解析函数、柯西-黎曼方程、复变函数的积分、柯西积分定理、柯西积分公式、幂级数、泰勒级数、洛朗级数、留数及其应用、保角映射等核心章节。 第一部分：复数与复变函数的初步 复数与复平面： 本章将详细阐述复数的概念，包括代数形式、三角形式和指数形式。我们将深入理解复数的几何意义，并在复平面上进行各种运算，如加法、减法、乘法、除法以及复共轭、模、辐角等。此外，还将介绍复数的代数性质以及高阶根的概念。 复变函数： 本章开始进入复变函数的范畴。我们将定义复变函数，并讨论其定义域、值域的概念。通过实例，读者将学习如何表示复变函数，例如 $w = f(z)$。理解复变函数的几何映射是后续学习的基础，本章将引入直线、圆周在映射下的变化等基本概念。 复变函数的极限与连续： 严格的极限定义是理解函数行为的关键。本章将给出复变函数极限的 $epsilon-delta$ 定义，并探讨极限存在的条件。在此基础上，我们将定义复变函数的连续性，并通过实例分析连续函数的性质。 第二部分：解析函数的核心理论 解析函数： 解析函数是复变函数论的灵魂。本章将引入可导的概念，并给出复变函数可导的充要条件——柯西-黎曼方程。我们将详细推导和应用柯西-黎曼方程，并识别哪些函数是解析的。同时，本章还将讨论解析函数的性质，如解析函数的和、差、积、商的解析性。 初等复变函数： 在掌握了解析函数的定义后，本章将着重介绍一些重要的初等复变函数，包括复指数函数、复对数函数、复三角函数和复双曲函数。我们将分析它们的定义域、性质以及在复平面上的几何表示。这些函数在许多科学和工程领域都有广泛应用。 第三部分：复变函数的积分与级数 复变函数的积分： 复变积分是本学科的重要工具。本章将定义沿曲线的复变积分，并讨论其基本性质。我们将详细介绍柯西积分定理，它表明在单连通区域内，解析函数沿任意闭合曲线的积分恒等于零。在此基础上，我们将推导出更为强大的柯西积分公式，它能够通过积分来计算解析函数在某点的值以及其各阶导数的值。 幂级数与泰勒级数： 幂级数是函数展开的重要手段。本章将讨论复系数幂级数的收敛性，并介绍收敛域的概念。我们将详细阐述泰勒级数，它能够将解析函数在某点展开成一个幂级数。读者将学习如何求出函数的泰勒展开式，并利用泰勒级数来研究函数的性质。 洛朗级数： 洛朗级数是泰勒级数的推广，它允许函数在某点附近存在奇点。本章将介绍洛朗级数的概念和收敛性，并证明任何在环形区域内解析的函数都可以展开成洛朗级数。洛朗级数对于研究函数在孤立奇点附近的行为至关重要。 第四部分：孤立奇点与留数理论 孤立奇点： 孤立奇点是复变函数中需要特别关注的点。本章将根据洛朗级数的系数，将孤立奇点分为可去奇点、极点和本质奇点，并分析它们各自的特点。 留数： 留数是留数定理的核心概念。本章将定义函数在孤立奇点处的留数，并给出计算留数的几种方法，特别是利用洛朗级数系数来计算。 留数定理与应用： 留数定理是复变函数积分计算的强大工具。本章将详细阐述留数定理，并展示如何利用留数定理来计算各种类型的定积分和广义积分，这些积分在工程计算中具有实际意义。 第五部分：保角映射及其应用 保角映射： 保角映射是复变函数在几何上的一种重要应用。本章将定义保角映射，并探讨解析函数具有保角性的条件。我们将研究一些重要的保角映射，例如分式线性变换（莫比乌斯变换），并分析它对直线、圆周的映射性质。 保角映射的应用： 本章将介绍保角映射在解决物理问题中的实际应用，例如在稳态热传导、电势理论和流体力学中的应用。通过具体的例子，读者将体会到复变函数论在解决实际工程问题中的强大能力。 本书的编写力求逻辑严谨，概念清晰，并辅以丰富的例题和练习题，帮助读者巩固所学知识，掌握解题方法。通过本课程的学习，读者将能够理解复变函数论的基本理论，并具备运用其解决相关数学和工程问题的能力。

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这本书的装帧质量和纸张手感都非常出色，这对于需要长时间阅读和反复翻阅的工具书来说，是一个不可忽视的优点。但抛开这些硬件条件不谈，其内在的知识密度和组织结构才是真正值得称赞的。我发现，书中对理论的阐述是极其系统化的，从基础的复数域上的拓扑性质，到柯西积分公式的精妙运用，再到留数定理在计算定积分中的强大威力，每一步都衔接得天衣无缝，逻辑链条极其牢固，几乎没有跳跃感。最让我感到震撼的是，它在处理那些看似毫不相关的数学分支之间的联系时，展现出了惊人的洞察力。例如，它能巧妙地将实分析中的某些概念引入复变函数的讨论中，让读者感受到数学作为一个整体的内在和谐。阅读这本书的过程，更像是一场对数学美学的朝圣之旅，你会不自觉地被那种纯粹的、逻辑自洽的美丽所吸引，愿意花更多的时间去品味每一个推导过程，而不是急着翻到下一章。这绝对是一本值得反复研读的经典之作。

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这本书的编排逻辑简直像是一个精心设计的迷宫导览图，每走一步都能清晰地看到前方的路标，但又充满了解开谜题的惊喜。我尤其喜欢作者对基础概念的反复强调和不同角度的阐述。很多时候，一个概念你第一次看可能模模糊糊，但当作者换了一种情境、换了一种符号系统重新解释时，那种“原来如此”的感觉立刻就上来了。这说明作者深谙学习的规律，知道知识的吸收需要多渠道的输入和消化。更让我印象深刻的是，书中对于一些经典定理的证明，提供了不止一种路径，比如有的侧重于代数技巧，有的则侧重于几何直观。这种对比式的讲解，极大地丰富了我们对该定理的认识，也展示了数学证明艺术的多样性。如果你是那种喜欢追本溯源，弄清楚每一个步骤背后的“为什么”的读者，那么这本书绝对能满足你的求知欲。它不仅仅是知识的传递者，更像是一位耐心的导师，时时提醒你注意那些容易忽略的细节。

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作为一名非科班出身，但对纯粹的数学美感有强烈向往的业余爱好者，我通常在阅读高级数学书籍时会感到非常吃力，经常需要配合大量的网络搜索来补充背景知识。然而，这本《复变函数(第二版)》在很大程度上降低了我的阅读门槛。它对于前置知识的要求相对友好，即便你对某些高等数学的基础概念记忆有些模糊，书中的回顾性的小节也能迅速帮你找回状态。我发现，作者在处理“奇异点”这类容易让人头疼的问题时，采用了非常具象化的比喻，仿佛在描述一片水域的流动状态，而不是冷冰冰的数学运算，这种“翻译”工作做得非常到位。虽然我尚未完全掌握书中的所有高阶技巧，但仅仅是阅读前三分之一的部分，就已经让我对复变函数这一领域的恢弘和精妙有了初步的、扎实的认识。这本书的价值在于，它不仅教你“如何算”，更重要的是教会你“如何思考”——一种严谨而富有想象力的数学思维方式。

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老实说，我本来对这类偏理论性的书籍是抱持着十二万分的谨慎态度的，毕竟很多经典著作要么是佶屈聱牙，要么就是为了追求严谨性而牺牲了可读性。但这本书却成功地找到了一个绝妙的平衡点。它的语言风格非常朴实，没有过多花哨的辞藻，直奔主题，但同时又不失深度。我特别注意到作者在选择例题和习题时花的心思，那些习题不是简单的公式套用，而是设计得巧妙，能够真正检验读者是否真正理解了背后的原理，而不是死记硬背。特别是书后附带的那些“思考题”，往往能引导你进行更深层次的联想和拓展，让你在解决问题的过程中体验到一种“豁然开朗”的快感。我把这本书带到了一次学术研讨会上，发现同行们对其中某些章节的论述方式也颇有微词，他们认为作者在某些证明的简洁性上可以做得更好，但总的来说，它作为一本辅助教材或者自学入门读物，其价值是毋庸置疑的。它为我们提供了一个坚实的基础，让我们能够自信地迈入更前沿的数学领域。

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这本书简直是数学爱好者的福音，尤其是那些对高等数学充满好奇的读者。它不像教科书那样枯燥乏味，而是以一种非常生动有趣的方式将复杂的概念层层剥开，让人在阅读中仿佛跟随着一位经验丰富的向导在知识的迷宫中探索。作者在处理那些抽象的理论时，总能巧妙地穿插一些历史背景或者实际应用的小故事，这极大地增强了阅读的沉浸感。比如，在讲解某个定理的证明过程时，书中会穿插介绍提出这个理论的数学家当时面临的困境，这使得冰冷的公式顿时有了温度和故事性。我个人最欣赏的是它对直觉理解的重视，它不会一上来就抛出一堆公式，而是先引导读者构建一个清晰的几何图像或直观感受，然后再进行严谨的数学推导，这种循序渐进的方式对于初学者来说简直是太友好了，让人感觉高不可攀的知识点也变得触手可及。这本书的排版和图示设计也相当精良，那些精心绘制的插图和图表，完美地辅助理解那些需要空间想象力的部分，真正做到了“一图胜千言”。读完这本，感觉对数学的理解又上升到了一个新的高度，强烈推荐给所有想深入探索数学世界的朋友们。

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