数学分析选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:29.00

装帧:

isbn号码:9787113088293

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续性
• 微分
• 积分
• 数学

《代数拓扑基础》：从几何直觉到抽象结构的桥梁 本书导言： 在数学的宏伟殿堂中，几何与分析的交汇点往往孕育出最深刻的洞察。《代数拓扑基础》旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接直观的几何图像与严谨的代数结构。本书聚焦于代数拓扑学的核心思想——如何用代数工具（特别是群论）来区分和研究拓扑空间，从而揭示空间深层的、不变量的性质。与传统的分析课程侧重于极限、连续性和收敛性不同，本书将视角转向空间的“形状”和“洞”，探讨这些形状在连续形变下保持不变的量度。 本书结构与核心内容： 本书分为六个主要部分，层层递进，确保读者在掌握基础概念后，能够逐步深入到更复杂的理论构建中。 第一部分：拓扑空间回顾与基础概念的引入 本部分首先对读者熟知的度量空间和拓扑空间进行必要的、侧重于代数拓扑视角的复习。我们强调开集、闭集、紧致性、连通性这些拓扑性质，但更重要的是，我们引入同胚（Homeomorphism）这一核心等价概念。我们将详细讨论为什么拓扑性质（如连通性和紧致性）是同胚不变量，这为后续使用代数工具来证明“两个空间不同胚”奠定了基础。此外，本部分将引入形变收缩（Retraction）和形变形痕（Homotopy）的概念，这是理解如何构造代数不变量的基石。我们将通过直观的例子（如圆盘与圆周的区分）来激发读者对“拓扑等价性”的深入思考。 第二部分：基本群：测量“洞”的第一个代数工具 基本群（Fundamental Group, $pi_1(X, x_0)$）是代数拓扑中最古老、最直观的不变量之一。本部分将详细构建基本群的定义、运算（路径乘法）以及其群结构。我们将证明 $pi_1(X, x_0)$ 是一个群，并着重讨论它与基点 $x_0$ 的选择关系——通过证明基本群的同构性，说明它实际上是空间的内在属性。 关键内容包括： 1. 覆叠空间理论的初步应用： 我们将利用覆叠空间来计算特定空间的 $pi_1$，特别是圆周 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$ 的精妙证明。 2. 霍普夫定理（Hopf's Theorem）的直观阐述： 探讨映射的度数（Degree of a Map）概念，并展示如何利用它来证明某些映射的拓扑性质。 3. 范畴论的初步视角： 将基本群视为一个函子，从拓扑空间范畴映射到群范畴，这有助于读者理解代数拓扑学的整体框架。 第三部分：同调论的兴起：从路径到链复形 基本群虽然强大，但其非交换性（在一般情况下）使得计算异常困难。因此，本书转向更强大的工具——同调论（Homology Theory）。本部分从链复形（Chain Complexes）的代数结构入手，建立奇异同调群（Singular Homology Groups） $H_n(X)$ 的严格定义。 我们将详细阐述： 1. 链、边界算子和循环群： 定义 $C_n(X)$、 $partial_n$ 算子，并证明 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$。 2. 同调群的构造： 定义 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$，并解释其作为“洞”的代数描述。 3. 拓扑不变量性： 证明同调群是同胚不变量，这是代数拓扑的核心价值所在。 第四部分：链复形的性质与计算 本部分致力于将理论转化为实践，教会读者如何计算实际空间的同调群。 1. 小空隙定理（Mayer-Vietoris Sequence）： 这是计算复杂空间同调群的强大工具。我们将详细推导该序列，并用它来计算球面 $S^n$ 的同调群，以及楔和（Wedge Sum）的同调群。 2. 相对同调： 引入相对同调群 $H_n(X, A)$ 来研究子空间 $A$ 在空间 $X$ 中的结构。 3. 同伦不变性： 严格证明同伦等价的拓扑空间具有同构的同调群，这是对第二部分基本群概念的推广和深化。 第五部分：经典拓扑空间与拓扑定理的应用 在掌握了基础的同调计算工具后，本部分将这些工具应用于著名的拓扑空间和经典定理的证明中。 1. 球面同调的深入分析： 证明高阶球面的同调群结构。 2. 布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的同调证明： 利用 $H_1$ 结构，清晰地展示代数工具如何解决看似属于分析或几何的问题。 3. 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 引入链复形上的线性函数 $chi$，并利用交替和公式证明欧拉示性数是同调群的线性组合，从而证明它是拓扑不变量。 第六部分：从奇异同调到更高级结构（简述） 本部分简要介绍代数拓扑的进一步发展方向，作为本书的展望。 1. 系数域的改变： 讨论如何利用矩阵变换将系数域从 $mathbb{Z}$ 推广到 $mathbb{Q}$ 或 $mathbb{R}$，以及这在层析中起到的作用。 2. CW复形与简化计算： 介绍 CW复形（Cellular Complex），并展示其同调群的计算远比奇异同调简洁。 3. 微分形式与德拉姆上同调的初步联系： 简要提及微分拓扑中的德拉姆上同调，点明其与奇异同调的深层关系（De Rham's Theorem），为未来进阶学习指明方向。 本书特色： 本书的编写风格力求在严谨的数学推理和清晰的几何直觉之间取得平衡。我们避免了过早地引入范畴论的抽象语言，而是首先通过具体的空间例子（如圆、环面、球面）来建立读者的“拓扑直觉”。大量的习题穿插在各个章节中，旨在强化代数计算技能和对拓扑概念的理解。本书适合具备扎实的实分析和抽象代数（群论）基础的数学系高年级本科生及研究生阅读。它不是关于极限的课程，而是关于如何用代数“形状”来刻画拓扑空间的本质。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的风格完全不像一本严肃的数学专著，更像是一本关于数论思想史的散文集，引人入胜。它并没有试图系统地教授代数数论的全部工具，而是围绕费马大定理的发展脉络，串联起了环论、理想理论、模形式乃至椭圆曲线的关键思想节点。作者的叙事技巧高超，他将丢番图、欧拉、高斯、库默尔，直到怀尔斯等数学巨匠的研究历程描绘得栩栩如生，让你感受到数学发现并非一蹴而就，而是充满反复、挫折与灵感的交织。比如，在讨论库默尔如何通过引入理想数来解决“因子唯一性”问题时，作者并没有直接给出环的结构定义，而是先从库默尔解决特定指数方程失败的案例切入，让读者亲身体会到“缺了点什么”的困境，从而自然地引入“理想”这一救星。这种“问题驱动”的讲解方式，极大地激发了我对数论历史的好奇心。虽然对于纯粹的公式推导爱好者来说，可能会觉得深度不够，但对于想理解数论核心思想和其背后美学的人来说，这本书绝对是绝佳的选择，它让人感受到数学研究的浪漫与伟大。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是理论物理爱好者的福音！作者对量子场论的阐述深入浅出，即便是初次接触这个领域的读者也能被其清晰的逻辑所吸引。尤其欣赏他对规范场和拓扑结构结合的细致剖析，这部分内容往往是其他教材中一带而过或过于简化的。书中大量的图示和例子，将抽象的数学概念具象化，让原本枯燥的计算过程变得生动起来。比如，在处理费曼图的重整化时，作者并没有仅仅给出公式，而是详细推导了每一步的物理意义，这对于理解为何需要引入重整化这个关键步骤至关重要。此外，对非阿贝尔规范场群的讨论也相当到位，作者巧妙地运用了纤维丛的语言，使得迪拉克算符和杨-米尔斯理论的联系得以清晰展现。我个人认为，这本书的价值不仅在于其作为一本参考手册的详实性，更在于它提供了一种思考现代物理问题的高级视角，它培养的不是解题技巧，而是对物理本质的深刻洞察力。对于希望从经典场论过渡到现代粒子物理领域的研究生或资深爱好者来说，这本书无疑是一份不可多得的宝藏，值得反复研读。

评分☆☆☆☆☆

作为一名偏爱微分几何在经典力学中应用的工程师，我一直在寻找一本既能扎实讲解李群理论，又不会过度沉溺于纯数学形式主义的教材。这本书《几何力学与对称性原理》恰好填补了这个空白。它的开篇对拉格朗日力学和哈密顿力学的回顾，就带着一种几何的视角，迅速将读者带入到流形上的微分形式世界。作者对李括号和守恒量的联系（诺特定理的几何表述）的阐述尤其精彩，通过对李导数和内导数的精确处理，完美地展示了无穷小对称变换如何直接导向守恒量。我最欣赏的一点是，书中并未将庞加莱群或洛伦兹群仅仅视为对称性的集合，而是将其置于闵可夫斯基时空的光锥结构中进行分析，这极大地增强了理论的物理直观性。尽管某些章节涉及高阶微分几何概念，但作者总能及时提供物理背景支撑，避免了数学术语的堆砌。这本书的排版和插图也极具现代感，清晰地划分了核心理论与可选的进阶主题，非常适合工程背景的研究人员进行自我提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“笔触”非常细腻，我几乎能感受到作者在尝试将一个复杂、多层次的分析概念剥茧抽丝地展现给读者。它聚焦于勒贝格积分理论的构建，但其深度远超一般入门教材。作者没有急于抛出 $sigma$-代数和测度空间的定义，而是先花了大量篇幅讨论黎曼积分的局限性——从序列的逐点收敛性与积分运算的可交换性之间的矛盾入手，巧妙地揭示了引入新积分理论的必要性。在定义测度时，作者对外部测度和可测集的构造过程进行了极其耐心的铺陈，尤其是对Borel $sigma$-代数的引入，每一步的动机都解释得清清楚楚。我特别喜欢它对$L^p$空间的讨论，不同于教科书直接给出范数定义，本书通过一系列构造性的例子（如简单函数序列的极限），来展示这些空间的完备性是如何被“保证”的。读完后，你会发现自己对“几乎处处”这个概念的理解不再停留在字面，而是真正理解了它在数学分析框架中的稳固性。这本书的难度不低，但它提供的思维训练价值是无价的。

评分☆☆☆☆☆

我是在准备高等代数期末考试时偶然翻开这本《抽象代数：群、环与域的结构探索》，结果一发不可收拾。这本书的叙事方式非常“人性化”，它不像很多教科书那样只是冷冰冰地罗列定义和定理，而是更像一位经验丰富的老教授在跟你娓娓道来数学家们是如何一步步建立起这些抽象体系的。作者在引入每一个新概念时，都会先从具体的例子，比如整数环、多项式环甚至矩阵群出发，引导读者自然而然地感受到“抽象化”的必要性和优越性。特别是在讲授同构和商结构时，作者采用了大量的类比和几何直观来辅助理解，这对于我这种需要多感官刺激才能掌握抽象概念的学习者来说，简直是及时雨。书中的习题设计也十分精妙，它们不是简单的计算题，而是引导你去探索定理边界和新概念之间联系的“思维探针”。做完一套习题，你会有一种豁然开朗的感觉，仿佛自己真的参与了代数理论的构建过程。我强烈推荐给那些觉得抽象代数“高深莫测”的同学，这本书会帮你打通思维的壁垒，让你真正爱上这种纯粹的逻辑美感。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆