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出版者:黑龙江教育出版社

作者:王朝银

出品人:

页数:176

译者:

出版时间:2007-4

价格:57.60元

装帧:

isbn号码:9787531646785

丛书系列:

图书标签:

• 高中数学
• 数学
• 教材
• G高中
• 三年级
• 上册
• 必修
• 函数
• 立体几何
• 解析几何

探索微积分的奥秘：高中数学选修模块进阶解析 适用对象： 已完成普通高中数学必修课程学习，并选择学习选修系列（如《普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）》或类似课程体系）的理科方向学生，以及对高等数学有初步兴趣的自学者。 本书特色： 本册教材深入系统地引入了微积分学的核心概念，旨在帮助学生搭建从初等代数和几何到高等数学的桥梁。内容聚焦于导数的概念、运算及其在函数分析中的应用，以及积分的初步认识和应用。全书结构严谨，逻辑清晰，注重理论与实践相结合，力求使抽象的数学思想变得具体而易于理解。 --- 第一部分：函数的极限与连续性（基础奠基） 本部分为后续导数和积分的学习打下坚实的理论基础，重点在于对“无限过程”的精确刻画。 1. 数列的极限 数列的极限概念的引入： 通过直观的例子（如无穷递缩的沙子、无限次分割的物体），引导学生理解数列趋近于一个确定的值的过程。 极限的严格定义（ε-N语言的初步接触）： 介绍“无论给定的 $varepsilon$ 多小，总能找到一个 $N$，使得从第 $N$ 项起，所有项都与极限的差的绝对值小于 $varepsilon$”这一精确描述。 极限的性质与计算法则： 学习极限的保序性（极限的加减乘除法则），以及夹逼定理（三明治定理）在求复杂数列极限中的应用。 无穷数列的极限存在性定理： 重点讲解单调有界数列必有极限的定理，这是后续分析实数性质的关键。 2. 函数的极限 函数极限的概念： 将数列极限的概念推广到函数上，讨论自变量 $x$ 趋近于一个常数 $a$ 时，函数值 $f(x)$ 的变化趋势。同时引入 $x o infty$ 时的函数极限。 左右极限与极限存在的关系： 理解函数在某点极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等。 无穷大与无穷小： 区分“函数值趋向于无穷大”和“函数值趋向于零”这两种不同的极限情况，并探讨无穷大与无穷小的相互关系。 3. 函数的连续性 连续性的直观理解与形式化定义： 引入“函数的图像在某点是否可以不间断地画出”这一直观概念，并将其转化为极限语言 $lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)$。 间断点的分类： 识别和区分可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。 闭区间上连续函数的性质： 深入探讨有界性定理、最值定理（最大值和最小值一定能取到）以及介值定理（函数值在区间内可以取到其端点值之间的任何值），这些性质是微积分应用的重要基石。 --- 第二部分：导数——变化率的精确度量 本部分是微积分的核心内容之一，从运动的瞬时速度问题切入，揭示导数的本质。 1. 瞬时变化率与导数的概念 平均变化率到瞬时变化率： 通过汽车行驶中的速度问题，探讨割线斜率如何过渡到切线斜率。 导数的定义： 给出函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数的精确定义： $$f'(x_0) = lim_{Delta x o 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x}$$ 几何意义： 导数就是函数图像在某点处的切线斜率。 导数的物理意义： 导数是瞬时速率、瞬时加速度等物理量的数学表达。 2. 导数的运算 基本初等函数的导数公式： 系统推导并记忆幂函数 $left(x^n ight)' = nx^{n-1}$、指数函数 $left(a^x ight)' = a^x ln a$、对数函数 $left(log_a x ight)' = frac{1}{x ln a}$ 以及三角函数 $left(sin x ight)' = cos x$ 和 $left(cos x ight)' = -sin x$ 的导数。 导数的运算法则： 学习常数、和、差、积、商的求导法则。 复合函数的求导法则（链式法则）： 这是求复杂函数导数的关键工具，详细讲解如何“拆解”复合函数并逐层求导。 参数方程与隐函数的求导（选讲）： 初步介绍在不直接写出 $y=f(x)$ 形式时如何求导。 3. 导数的应用 函数的单调性判断： 利用导数的正负性来确定函数在区间上是递增还是递减。 函数的极值（极大值与极小值）： 寻找使一阶导数为零的点（驻点），并利用一阶导数判定法和二阶导数判定法判断这些点是否为极值点。 函数的凹凸性与拐点（选讲）： 利用二阶导数分析函数图像的弯曲方向。 利用导数解决实际问题： 求解最优化问题，例如求最大收益、最小成本、最大面积或最短距离等实际应用题。 --- 第三部分：积分——累积与面积的计算 本部分介绍积分学的基本思想，将导数的逆运算和求面积问题结合起来。 1. 不定积分（导数的逆运算） 原函数与不定积分的概念： 定义原函数，即求导后等于已知函数 $f(x)$ 的函数 $F(x)$。不定积分 $int f(x) dx = F(x) + C$。 基本积分公式： 系统列出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的原函数形式。 不定积分的运算法则： 学习积分的线性法则。 积分的常用方法： 换元积分法（代换法）： 重点讲解凑微分法，这是不定积分中最常用的技巧。 分部积分法： 针对乘积形式的函数积分，公式为 $int u dv = uv - int v du$。 2. 定积分与微积分基本定理 定积分的几何意义： 将曲线下的面积问题转化为黎曼和的极限，直观理解积分是“无限求和”的过程。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： 阐明了微分与积分之间的互逆关系： $$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$ 定积分的计算： 利用基本定理计算由基本初等函数或简单复合函数围成的平面图形的面积。 3. 定积分的应用 平面图形的面积计算： 计算直角坐标系下由函数曲线、坐标轴或直线围成的平面区域的面积。 旋转体的体积（初步）： 介绍用积分方法计算由曲线绕坐标轴旋转所形成的简单立体体积的初步思想。 --- 总结提升 本书通过严密的逻辑推导和丰富的例题解析，引导学生跨越基础代数和几何的藩篱，初步领略高等数学的精髓。学完本书，学生将能够熟练运用导数解决复杂的函数变化率问题，并掌握利用定积分解决积累和面积计算的能力，为未来在理工科领域的深入学习打下坚实的基础。 学习建议： 掌握极限语言是关键，多做应用题型（如最值问题）有助于巩固对导数几何意义的理解。积分部分的难点在于熟练运用换元法和分部积分法。

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这本书的排版设计和装帧质量，真的不是一般的高中教辅能比的。每次翻开它，都感觉像是在阅读一本设计精良的艺术品。字体选用得非常舒服，深灰色的印刷搭配恰到好处的留白，长时间阅读也不会让人感到视觉疲劳。更值得称赞的是那些图示——那些关于立体几何的剖面图，或者解析几何中的轨迹图，都清晰到令人发指。它们不是那种粗糙的黑白线条，而是采用了柔和的色彩区分不同的向量或坐标轴，极大地降低了我们对复杂空间想象的门槛。我在做选择题时，经常可以依靠书上那些精确的草图，快速锁定问题的核心。而且，这本书的纸张手感也相当不错，拿在手里沉甸甸的，透露着一种“耐用”和“经典”的气质。我喜欢在空白处用铅笔做笔记，发现它吸墨性很好，不会洇开。总而言之，这本书在提升阅读体验上所下的功夫，已经到了近乎苛刻的程度，这无疑也侧面反映了编者对教材质量的极致追求。一本好的教材，不仅要内容扎实，连“皮囊”也得赏心悦目，这本书做到了。

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如果非要挑出一点改进的空间，或许是在某些特定运算效率的提升上，这本书的侧重点似乎更偏向于理解的深度而非速度的极致。当然，这可能是作者刻意为之，毕竟理解永远是第一位的。但是，对于一些像概率与统计中涉及大量排列组合的复杂计算，或者某些涉及复杂矩阵变换的预备知识，如果能增加一些现代计算工具（比如基础的编程思路辅助理解）的提示，可能会让学习曲线更加平滑一些。不过，这也许是我个人的偏好吧，毕竟它是一本偏向于打基础和培养思维深度的教材。总的来说，这本书在我心中已经占据了非常重要的地位，它不仅仅是一本合格的教材，更像是一位严谨而又不失风趣的私人导师，它引导我走出了高中数学的迷雾，让我感受到了逻辑推演的巨大魅力。我向所有对数学有认真学习态度的同学强烈推荐这本书，它会让你的数学学习之旅变得充实而有意义。

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坦率地说，我一开始对这本书抱持着一丝怀疑的态度，毕竟市面上数学书太多了，很多都徒有虚名。但当我深入学习了关于椭圆和双曲线性质的那几章后，我的看法彻底转变了。作者在处理圆锥曲线这部分时，并没有急于抛出那些复杂的标准方程和参数，而是从几何定义的角度——光线的反射特性和距离和的恒定性出发，一步步推导出来。这种“溯源”式的讲解，让我明白了参数的由来，而不是单纯地背诵公式。更妙的是，书中穿插了大量的“数学史话”和“思维拓展”小栏目，它们像一个个小小的休息站，让我们在紧张的公式推导中得以喘息，同时又接触到了数学家们最初发现这些规律时的心路历程。这极大地激发了我对数学探索的热情，让我意识到数学并非是一成不变的教条，而是一门充满生命力的学科。很多同学觉得圆锥曲线是高中的一个难点，但在这本书的引导下，它在我这里反而成了最有趣味的部分，因为它展现了数学的内在美感和逻辑的严密性。

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这本书的深度和广度都让我印象深刻，尤其是在处理那些看似复杂却蕴含精妙数学思想的题目时，作者的讲解方式简直是醍醐灌顶。我记得有一次被一个关于向量分解的难题卡住了好几天，翻遍了网上的各种教程都感觉抓不住要领，直到我开始啃这本书的相应章节。作者不仅仅是给出了公式，更是深入剖析了其几何意义，让我们理解“为什么”这样算，而不是死记硬背“怎么”算。那种豁然开朗的感觉，只有真正经历过的人才能体会到。书中对概念的界定极其严谨，对于那些容易混淆的定义，比如空间直角坐标系和向量的内积外积的几何意义，作者都通过精妙的图示和循序渐进的推导，把它们雕琢得清晰可见。特别是选修内容的部分，虽然难度有所增加，但作者依然保持了极高的可读性，引导我们逐步构建起高阶思维的框架。这套教材，完全超越了我对传统高中数学教材的认知，它更像是一本精心打磨的数学思想导论，而非仅仅是知识点的堆砌。我尤其欣赏它在例题选择上的独到眼光，每道例题都像是精心挑选的棋子，不仅考察了某一知识点，更常常是多个知识点综合应用的典范，让人在解题的过程中不断反思和深化理解。

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这本书的配套练习和习题设计，可以说是对理论学习的完美补充。它不是那种只会设置大量重复性计算的“题海战术”，而是巧妙地将不同难度的题目进行分层设置。基础巩固题用来确保我们对基本概念的掌握，可以说是“温故而知新”的绝佳工具；而“综合探究”和“奥赛预备”部分，则真正考验了我们的分析能力和应变能力。我特别喜欢它对一些经典竞赛题的解析，它会先让我们尝试独立思考，然后在答案解析中展示出多种解法。比如，一道涉及空间向量与平面夹角的问题，书中同时展示了代数法、几何法以及向量法，并且详细比较了它们各自的优缺点和适用场景。这种对比性的解析，让我学会了在面对不熟悉的题目时，能够迅速评估出哪种工具箱里的工具最趁手。这种高阶的解题指导，远比单纯的“标准答案”要有价值得多，它培养的是一种灵活应变、举一反三的解题智慧，这对于未来进入大学学习任何理工科专业都是宝贵的财富。

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