B六年制数学6下/学王一拖三.练王 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787537134507

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好的，这是一本旨在提供深入、系统化数学知识与技能的教材的简介。 --- 《高等代数与数论基础精讲》 内容概要与特色 本书是一部为高等院校数学专业本科生及对数学有浓厚兴趣的读者精心编撰的教材。它旨在系统、深入地介绍高等代数和数论这两个数学分支的核心概念、基本理论和重要方法。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严谨性的同时，兼顾教学的直观性和启发性，引导读者建立起坚实的数学思维框架。 第一部分：高等代数核心 本部分内容涵盖了现代抽象代数的基础，从向量空间这一核心概念出发，逐步深入到线性变换、特征值理论以及经典代数结构。 第一章：域与环的初步探讨 本章首先从集合论的基础出发，回顾了群论的基本概念，如子群、陪集、同态与同构。重点深入探讨了域（Field）和环（Ring）的结构。我们详细阐述了整环、主理想域（PID）和唯一因子域（UFD）的定义、性质及其相互关系。特别地，我们对多项式环 $F[x]$ 进行了细致的分析，包括带余除法、最大公约式，并引入了域的扩张概念，为后续的伽罗瓦理论奠定基础。对于有限域（Galois Field），本书提供了构造性的例子和重要的结论，如有限域的存在性和唯一性定理。 第二章：向量空间与线性映射 向量空间是代数结构研究的中心舞台。本章首先建立了向量空间的公理化体系，并详述了基、维数、子空间、商空间等基本概念。随后，将研究线性的映射（线性变换）。我们重点分析了线性变换的矩阵表示，包括相似变换和合同变换。行列式的计算及其在几何上的意义（如面积和体积的伸缩因子）得到了深入的阐述。本章的难点在于处理抽象向量空间上的操作，因此书中包含了大量的具体实例（如函数空间、矩阵空间）来帮助读者理解抽象定义。 第三章：特征值理论与对角化 特征值与特征向量是理解线性变换性质的关键。本章详细讲解了特征多项式、特征值、特征空间的概念。我们系统地讨论了矩阵的对角化问题，包括相似对角化和若尔当标准型（Jordan Canonical Form）。对于非对角化的情况，若尔当块的结构及其唯一性被严格证明。此外，我们还引入了双线性型、二次型，并讨论了实对称矩阵的正交对角化，以及它们的几何意义——二次曲面的分类。对规范形（如拉格朗日规范形）的推导过程清晰可见。 第四章：模与更高层级的结构 在群、环、域的基础上，本章引入了模（Module）的概念，作为向量空间在环上的推广。我们探讨了模的基本性质，特别是自由模和有限生成模的概念。对于主理想域上的模，我们详细展示了结构定理，这在研究有限生成阿贝尔群时尤为重要。最后，本章简要介绍了伽罗瓦理论的基本思想，包括域扩张的次数、正规扩张和可分扩张，以及伽罗瓦群在求解多项式方程中的核心作用。 --- 第二部分：初等数论与代数数论引言 本部分内容侧重于整数的性质，并为进入更高级的代数数论打下坚实的基础。 第五章：整除性、同余与线性方程 本章从最基本的整数环 $mathbb{Z}$ 出发，复习了欧几里得算法和最大公约数。核心内容是同余关系 $equiv pmod{n}$，以及相关的数论函数，如欧拉 $phi$ 函数、莫比乌斯 $mu$ 函数。我们详细分析了线性同余方程 $ax equiv b pmod{n}$ 的解的存在性与求解方法。费马小定理和欧拉定理作为基础工具，被广泛应用于密码学和原根的讨论中。中国剩余定理的构造性证明及其在求解复杂同余系中的应用是本章的亮点。 第六章：二次剩余与二次互反律 本章深入到模 $p$ 意义下的平方问题。勒让德符号和雅可比符号被引入，用于判断一个整数是否是模 $p$ 的二次剩余。欧拉判别式被用于计算勒让德符号。本章的重头戏是高斯提出的二次互反律，我们提供了其详细的证明，并展示了如何运用该定律简化复杂二次剩余的判断问题。布居定理（Sums of two squares theorem）的证明也包含在内，揭示了整数的加法结构与乘法结构之间的深刻联系。 第七章：丢番图方程基础 本章关注具有整数解的方程，特别是丢番图方程。我们重点分析了佩尔方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的无穷多解的构造问题，使用连分数展开法求解该方程，这体现了代数与分析方法的巧妙结合。此外，对一些简单的三次丢番图方程，如费马大定理的某些特殊情况（如 $n=3, 4$ 的情况），也提供了欧拉或费马的证明思路，旨在培养读者解决方程问题的能力。 第八章：算术函数与渐近分析 数论的研究往往需要依赖于对大量整数性质的统计分析。本章引入了重要的算术函数，如除数函数 $sigma_k(n)$ 和 $ au(n)$。我们探讨了这些函数的基本性质（如积性），并利用狄利克雷级数和狄利克雷卷积来研究它们的性质。最后，本章对素数分布进行了初步探讨，介绍了素数计数函数 $pi(x)$ 的性质，并阐述了素数定理的意义，展示了数论研究的广阔前景。 --- 适用对象 本书适合于数学专业大二或大三学生作为主教材使用，也可作为研究生进行基础知识复习和拓展的参考书。对于希望通过自学掌握现代代数和数论核心思想的理科生，本书提供了详尽的论证和丰富的习题，确保学习的连贯性和深入性。 教材特点总结 1. 理论深度与广度兼备： 覆盖了高等代数从基础结构到若尔当标准型的完整内容，并兼顾了数论的基础与代数数论的萌芽。 2. 证明的严谨性： 所有核心定理均提供完整的、可复现的证明过程，强调数学逻辑的训练。 3. 习题设计精妙： 每章后附有分层次的习题，从基础概念的巩固到复杂理论的应用，确保读者能够将理论知识转化为实际的解题能力。 4. 概念的衔接： 特别注重向量空间、环、模以及域扩张之间的内在联系，帮助读者构建统一的代数观。 通过对本书内容的系统学习，读者将不仅掌握必要的数学工具，更重要的是，能够培养出严谨的逻辑推理能力和高度抽象的数学思维。

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说实话，我以前对这种“6年制”的数学课程体系总抱有一种将信将疑的态度，觉得可能为了凑时长，内容会注水或者难度跳跃性太大。但这本书的知识点串联逻辑严密得让人拍案叫绝。它不像有些教材那样，把知识点零散地扔给你，而是构建了一个完整的知识网络。你会清晰地看到前一个章节的结论是如何自然而然地推导出下一个章节的复杂定理的，那种“原来如此”的顿悟感贯穿始终。尤其是对一些易错点和经典陷阱题的解析，简直是庖丁解牛，精准地找到了学生思维的卡点，然后给出最简洁有效的突破口。这种编排方式，极大地提高了学习效率，让我在攻克难题时不再感到迷茫和无助。

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这本数学书的排版真是让人眼前一亮，完全颠覆了我对传统教材那种刻板印象的认知。色彩搭配得既鲜明又和谐，每一个公式和例题的呈现都像精心设计的艺术品，让人在学习枯燥的代数和几何时，心情都跟着愉悦起来。特别是那些几何图形的立体感设计，简直是教科书级别的示范，即便是最抽象的概念，通过这些精美的插图也能迅速在大脑中形成清晰的图像。而且，它的字体选择非常人性化，大小适中，间距合理，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。感觉作者在设计这本书的物理形态上，花了远超乎寻常的心思，这绝对不是一本随便印印就完事的书，它散发着一种对知识传播美学的执着追求。

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最让我欣赏的是，它在保持学术严谨性的同时，完全没有放弃对现实世界的关照。书中融入的许多数学应用案例，都非常贴近我们日常生活和现代科技的脉搏。比如涉及到资金复利计算的部分，讲解得极为细致，甚至连一些金融术语都做了普及，这让我意识到数学不只是黑板上的符号，更是驱动现代社会运转的底层逻辑。这种理论与实践相结合的教学理念，极大地激发了我学习的内在动力——因为我真真切切地看到了这些知识“有什么用”。它让我对未来可能要面对的更复杂的应用场景充满信心。

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从作者的遣词造句中，能感受到一种深厚的教育情怀，但这绝非空泛的说教，而是体现在对学生学习路径的细致体察上。对于那些基础稍弱的同学，书里设置了不同难度的“阶梯式预备知识回顾”，确保没有人会因为起点不同而被落下。而对于学有余力的同学，则有大量的“挑战者专区”，鼓励他们探索更前沿的课题。这种无微不至的关照，让这本书的使用体验非常人性化，它更像是一位耐心、智慧且经验丰富的导师，而非冷冰冰的知识搬运工。它真正做到了因材施教，在同一个载体里，满足了不同层次读者的需求。

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这本书的难度设置和习题广度，绝对是为那些真正想在数学上有所建树的学生量身定做的。它不只是停留在基础知识的简单重复训练上，更注重培养学生的数学思维的深度和广度。里面的变式训练量非常惊人，同一个知识点，能用十几种不同的角度去考察，让你不得不去思考其背后的本质原理，而不是死记硬背解题套路。对于我这种追求极致理解的读者来说，这种“不放过任何一个角落”的深度挖掘，简直是福音。做完一套题下来，感觉自己的“数学肌肉”得到了全方位的锻炼，那种扎实感是其他轻量级资料无法比拟的。

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