高中数学必修4(北师)/非常讲解(05) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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《深入理解微积分：从基础到应用》 前言：开启数学思维的全新篇章 本书旨在为理工科学生、数学爱好者以及所有希望系统性掌握微积分核心概念的读者提供一本既严谨又富有启发性的学习指南。我们深知，微积分作为现代科学的语言，其重要性不言而喻。然而，许多学习者在初次接触时，往往会陷入繁复的符号运算和抽象概念的泥沼。本书的宗旨正是要打破这种壁垒，通过清晰的逻辑构建、丰富的实例解析和贴近现实的思考引导，帮助读者真正“理解”微积分，而非仅仅“记住公式”。 本书的编写严格遵循循序渐进的原则，内容覆盖了微积分的极限、导数、积分三大核心支柱，并辅以必要的预备知识回顾与高等代数基础的必要补充，以确保不同背景的读者都能顺利衔接。我们聚焦于概念的内在联系与几何意义，强调数学思想方法的培养，而非简单的应试技巧。 --- 第一部分：微积分的基石——极限与连续性 本部分是整个微积分大厦的奠基工程。我们没有将极限视为一个冷冰冰的定义，而是将其置于一个历史发展的脉络中进行阐释。 第一章：变量、函数与无穷小量 函数概念的再审视： 从集合论的角度重温函数的严格定义，讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）。 无穷小与无穷大： 详细分析它们作为极限过程中关键角色的地位。我们引入了“比阶”的概念，这对于后续处理不定式和级数至关重要。通过对比 $(ln(1+x))$ 和 $(x^2)$ 在 $x o 0$ 时的行为，直观展示了不同量级无穷小的差异。 数列的极限： 引入 $epsilon-N$ 语言，并辅以大量图示来解释其几何意义——“N 足够大时，数列项与极限的距离可以任意小”。重点探讨有界性和单调性定理在求极限中的强大作用。 第二章：极限的严格定义与运算 函数的极限 ($epsilon-delta$ 语言)： 这是本章的难点，也是理解微积分严谨性的关键。我们使用大量的几何例子（如直线逼近曲线）来解释 $delta$ 如何依赖于 $epsilon$。避免单纯的公式套用，强调“对于任意给定的精度 $epsilon$，总能找到一个区间 $delta$ 使得函数值落入目标范围”。 极限的运算法则： 熟练掌握四则运算、复合函数的极限法则。特别讨论了当分母极限为零时的处理方法。 重要极限的推导与应用： 重点推导 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 和 $lim_{x o 0} (1+x)^{1/x} = e$。我们不仅仅是给出结论，而是结合三角函数和复利模型，深入剖析 $e$ 的本质。 第三章：连续性与间断点 函数在一点的连续性： 连接极限与函数值的桥梁。通过图像的“不中断”来形象化连续性的含义。 闭区间上的性质： 深入探讨介值定理（零点定理）和最大值最小值定理。这两个定理的理论意义远大于其实际计算，它们保证了在某些条件下，最优解或根的存在性。 常见间断点的分类： 可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。通过实例分析，使读者能够准确判断和处理这些不连续点。 --- 第二部分：变化率的度量——导数与微分 本部分将抽象的“变化”概念转化为可计算的“斜率”和“速率”。 第四章：导数的概念与几何意义 瞬时变化率的引入： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，自然地引出导数的定义——切线斜率。 导数的几何意义： 导数是曲线在某点处的切线斜率，这为后续的优化问题提供了直观基础。 可导性与连续性的关系： 严格证明“可导一定连续，但连续不一定可导”（例如 $|x|$ 在 $x=0$ 处）。 第五章：导数的运算法则与基本初等函数的求导 求导法则的系统梳理： 和差、乘积、商的求导法则。 链式法则（复合函数求导）： 这是本章的重中之重。我们使用“套娃模型”来讲解链式法则，确保读者能够处理任意复杂程度的复合函数。 基本初等函数的导数表： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的求导公式的推导过程，强调其背后的函数关系。 第六章：微分与高阶导数 微分的概念： 区分“导数”和“微分”。微分 $dy$ 是对实际变化量 $Delta y$ 的线性近似，它在近似计算中有重要应用。 中值定理： 罗尔定理： 最简单的特例，为其他定理铺路。 拉格朗日中值定理： 核心思想是“在某点，瞬时变化率等于平均变化率”。 柯西中值定理： 为洛必达法则的严谨证明奠定基础。 高阶导数： 讲解二阶导数在判断曲线凹凸性、寻找拐点中的应用。 第七章：导数的应用 函数的极值与最值： 利用一阶导数判断极值点，利用二阶导数判断极值类型。 曲线的定性分析： 利用导数研究函数的单调区间、凹凸区间、拐点，并完整绘制函数的图形。 实际应用问题： 涉及物理中的速度、加速度，经济学中的边际量，以及经典的优化问题（如最小表面积问题等）。 --- 第三部分：积累与累积——定积分与不定积分 本部分将变化率的“逆运算”——积分——引入体系。 第八章：不定积分与积分法 不定积分的概念： 作为导数的反运算。 积分的线性性： 与导数的加减法性质一致。 基本积分法： 换元积分法（变量代换）： 分为第一类（凑微分）和第二类（变量替换），重点在于如何选择恰当的代换 $u=g(x)$。 分部积分法： 核心公式 $int u , dv = uv - int v , du$ 的推导与应用，尤其适用于乘积形式的函数。 第九章：定积分的概念与计算 定积分的引入： 从求解曲边梯形的面积问题出发，引入黎曼和的概念。清晰阐述积分是极限过程，而非简单的代数运算。 牛顿-莱布尼茨公式 (微积分基本定理)： 这是连接微分与积分的里程碑。它揭示了求面积（积分）的有效途径是通过寻找原函数（反导数）。公式的推导与应用是本章的重点。 定积分的性质： 积分区间、可加性、不等式性质。 定积分的计算技巧： 再次应用换元法和分部积分法，但需注意在定积分中变量替换后上下限的相应变化。 第十章：定积分的应用 几何应用： 面积（直线、曲线、旋转体）、弧长、旋转体的体积。这些应用为抽象的定积分赋予了具体的空间意义。 物理应用： 计算功、质心、压力等。 广义积分（选讲）： 介绍无穷区间上的积分和无界函数上的积分，初步了解收敛性的概念。 --- 全书特色与学习建议 本书在内容组织上，始终坚持“先直观理解，后严格证明”的路径。每章的理论推导后，都配有大量的“例题精讲”和“易错点分析”，旨在提前预警学生可能遇到的认知障碍。我们相信，数学的学习如同建筑，只有地基打得扎实，上层结构才能巍峨。掌握极限的严谨性，才能真正领会微积分的威力。本书并非仅供应试，更是为未来更深入的数学学习（如多元微积分、微分方程等）做好坚实的思想和技能准备。 推荐读者： 高等院校理工科专业学生、准备参加数学竞赛的进阶学习者，以及希望重塑微积分知识体系的在职工程师。

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这本书的排版和细节处理真的体现了编写者的用心良苦。我最欣赏的是它在每节内容结束后，设置的“易错点剖析”和“能力提升阶梯”这两个板块。那些易错点往往都是我在平时的练习中反复跌倒的陷阱，比如三角函数的图像与性质的判定中，对周期性和对称性的混淆，作者用非常直观的对比图清晰地指出了区别，甚至给出了一个口诀来帮助记忆，虽然口诀本身不一定高深，但它提供了一个记忆锚点。而“能力提升阶梯”的设计更是精妙，它不是那种简单粗暴地增加题目难度，而是循序渐进地引入新思维。比如从基本的正弦定理、余弦定理的应用过渡到三角形面积公式的灵活运用，每一步都有明确的铺垫，让你感觉自己是在“攀爬”知识的高峰，而不是被“推上去”的。这种结构设计，让学习过程充满了掌控感和成就感，而不是单纯的题海战术带来的压迫感。这种精心设计的学习路径，对于自学者尤其友好，它就像一位经验丰富的私教，知道你下一步该看什么，该练什么。

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阅读体验方面，这本书的语言风格简直是一股清流。它不像某些教辅书那样，通篇都是冷冰冰的术语堆砌，让人望而生畏。作者的文字里透露着一种对数学的热爱和一种平易近人的幽默感。比如在讲解到反三角函数这一相对绕口的章节时，作者竟然用了一个生活中的比喻来解释定义域和值域的对应关系，虽然有点幼稚，但一下子就把我从那种“背定义”的枯燥状态中拉了出来。此外，书中的插图并非为了美观而存在，每一张图都有明确的指向性，比如在讲解三视图和空间几何体的截面时，那些辅助线和投影的绘制得极其清晰，甚至连光影的表达都很到位，这对于培养空间想象能力至关重要。这种润物细无声的引导，让我感觉自己不是在啃一本厚重的教科书，而是在和一位耐心博学的老师进行一次深入的交流。

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对于我们这些急需在短时间内提分，但又不想牺牲理解深度的学生来说，选择资料是个技术活。《高中数学必修4(北师)/非常讲解(05)》的实用性远超我的预期。它的章节安排非常贴合北师大版的教学进度，这意味着我不用费心去调整学习顺序，可以完全同步学校的课程节奏。更重要的是，它提供的例题和课后练习的选择非常具有代表性，既涵盖了考试大纲的硬性要求，又适度地包含了竞赛的影子，让人在准备日常考试的同时，视野也能稍微拓宽一些。我尤其赞赏它对“专题突破”的处理，比如专门开辟了一小节讲解如何系统地处理含有绝对值符号的三角函数问题，这种针对性的训练，比漫无目的地做题效率高太多了。总而言之，这本书不只是提供了答案和步骤，它更像是一份精心绘制的“学习地图”，指引我高效地穿梭于复杂的数学知识体系之中。

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拿到这本《高中数学必修4(北师)/非常讲解(05)》的时候，我其实是带着一种将信将疑的心态的。毕竟市面上讲解高中数学的资料多如牛毛，真正能做到“非常讲解”的凤毛麟角。我高二的数学基础一直不算扎实，尤其是在处理三角函数和平面向量这些抽象概念时，总感觉隔着一层纱，看懂了例题，但自己上手就抓瞎。这本书的封面设计比较朴素，没有太多花哨的图形，反而让我觉得它更专注于内容本身。翻开目录，发现它对每一个知识点的划分都非常细致，不像有些教材那样只是简单地罗列公式。它似乎更侧重于“为什么”而不是仅仅“是什么”。我特别留意了它对向量加减法几何意义的阐述，那段文字没有用生硬的数学语言堆砌，而是用了一种类似讲故事的方式，描绘了位移的合成与分解，让我一下子豁然开朗，原来向量的运算不仅仅是坐标点的加减乘除，它背后蕴含着空间想象。这种注重概念构建和思维导向的讲解方式，对于我这种需要“打地基”的学习者来说，简直是雪中送炭。它没有急于抛出复杂的定理，而是耐心地引导你走完思考的每一步，这让我对后续的学习充满了信心。

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坦白说，我之前买过几本声称是“名师精讲”的资料，结果内容要么过于学术化，要么就是把课本内容换了个字体重新印一遍，没什么实质帮助。但《非常讲解》系列（我特意去查了其他几本，发现风格很统一）在处理那些经典难题时，展现出一种独特的“解构”能力。拿一道涉及到函数与方程交点个数的题目来说，很多书直接套用判别式或者利用导数求解。而这本书则会先引导你思考：这类问题本质上是在考察什么？是函数图像的交点，还是参数范围对解的影响？它会先用最基础的几何意义来分析问题，然后再引入代数工具，这样一来，即使用不同的参数变化，我都能找到不变的解题内核。这种由表及里的分析，极大地提升了我对数学问题的洞察力。它不仅仅是教你如何解开一道题，更是教你如何“看透”一道题背后的数学思想，这才是真正有价值的“讲解”。

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