Group Analysis of Differential Equations with Applications to Mechanics and Physics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Klimov, D. M.; Mares, David R.; Klimov, Klimov

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2002-8

价格:$ 142.32

装帧:

isbn号码:9780415298636

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 群分析
• 力学
• 物理学
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 对称性
• 不变性
• 数学物理
• 应用数学

《群论在微分方程中的应用：力学与物理学视角》 内容提要 本书深入探讨了群论作为一种强大数学工具，在处理和求解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）中的核心作用，并将其与力学和物理学中的实际问题紧密结合。全书结构严谨，从基础概念入手，逐步过渡到复杂应用，旨在为读者提供一个系统、深入的视角，理解对称性如何指导方程的简化、求解和性质分析。 第一部分：基础与方法论 第一章：微分方程的对称性与李群基础 本章首先回顾了经典常微分方程和偏微分方程的分类与基本解法，为引入更高级的对称性分析打下基础。随后，详细介绍了李群（Lie Group）的基本概念，包括局部微分同胚、单参数李群的生成元（Infinitesimal Generator）。重点阐述了如何通过李群的构造来识别和描述微分方程的连续对称性。引入了微分方程的作用（Action）概念，这是后续分析的关键桥梁。 第二章：李群作用与不变性原理 本章专注于李群作用在微分方程解空间上的具体实现。讲解了如何构造和计算微分方程的延拓群（Extended Group），特别是二阶导数的延拓，这是求解二阶ODE和PDE对称性的核心技术。深入分析了诺特定理（Noether's Theorem）在变分原理中的应用，阐明了守恒量与时间平移对称性之间的深刻联系，这在经典力学中至关重要。 第三章：对称性代数与求解策略 本章侧重于李代数（Lie Algebra）的运用。通过计算方程的无穷小生成元集合，构建出方程的对称性代数。详细介绍了利用对称性代数进行降阶（Reduction of Order）的方法，特别是对于二阶常微分方程，如何找到恰当的对称性操作符来减少方程的阶数，从而简化求解过程。此外，探讨了如何通过对称性将非线性方程转化为线性方程，或将高维问题转化为低维问题。 第二部分：常微分方程的群分析 第四章：一阶与二阶常微分方程的完备系统 本章聚焦于一阶和二阶ODE的系统化群分析。对于一阶方程，分析了其所有的局部李对称性，并展示了如何利用这些对称性将任意一阶方程转化为简单的可分离或线性形式。对于二阶ODE，引入了著名的叶夫列莫夫（Ovsiannikov）和平原（Bluman-Kolchin）的判据，用于判断一个二阶方程是否拥有足够多的对称性进行降阶。通过大量实例，演示了如何系统地找到所有可能的单参数群，并基于此找到特解或通解。 第五章：耗散系统与守恒律的群判据 本章将群论与耗散和保守系统联系起来。分析了在力学系统（如哈密顿系统）中，Hamiltonian或Lagrangian的特定对称性所对应的守恒量。深入探讨了系统的守恒律（如质量、能量、动量守恒）如何通过特定的时间或空间平移群来确定。对于非保守（耗散）系统，本章引入了扩充李群的概念，用于识别与能量耗散或增长相关的对称性。 第三部分：偏微分方程的群分析 第六章：线性偏微分方程的对称群 本章转向PDE，首先分析线性方程的对称性。重点讨论了线性算子的内禀对称群。阐述了如何利用这些对称性来构造线性方程的完备解集，例如利用对流方程和波动方程的平移和旋转对称性来构建基础解。引入了相似性解（Similarity Solutions）的概念，这是群分析在非线性PDE中最强大的应用之一。 第七章：非线性偏微分方程的相似性方法 本章是本书的难点与重点，集中于非线性方程的群不变解。详细介绍了如何通过斯皮瓦克（Spivak）或安德森（Anderson）的方法，筛选出使得特定PDE（如KdV方程、Burger方程、非线性薛定谔方程）保持不变的特定函数族。通过对生成元的运算，将高维PDE通过相似性变量代换，转化为阶数降低的常微分方程组，从而实现求解。详细分析了KdV方程的Bäcklund变换与群的联系。 第四部分：物理学与力学中的具体应用 第八章：经典力学中的旋转与平移不变性 本章具体考察牛顿力学和拉格朗日力学中的应用。利用三维空间中的刚体运动群（欧几里得群 $E(3)$）的对称性，导出了角动量守恒和线性动量守恒定律，避免了对具体力函数形式的依赖。探讨了在势场问题中，如中心力问题，角度旋转不变性如何直接导致了角动量守恒，并简化了二体问题的求解。 第九章：场论与规范不变性 本章将群论提升到更抽象的场论层面。重点阐述了电磁场和量子场论中的规范不变性（Gauge Invariance）。分析了电磁学中洛伦兹群（Lorentz Group）作为时空对称性的角色，以及它如何决定了麦克斯韦方程组的协变形式。最后，简要介绍了杨-米尔斯理论中非阿贝尔群在描述基本粒子相互作用中的关键作用，展示了群结构如何直接编码了物理定律的内在结构。 第十章：波动现象与扩散过程的群结构 本章探讨了热传导方程和波动方程的群分析。对于热方程，分析了时间尺度和空间尺度的耦合不变性，这可以导出其自身的相似性解。对于线性波动方程，群结构（如洛伦兹群的作用）决定了波的传播特性和因果结构。本章还涉及非线性扩散方程的收缩对称性，以及如何利用这些对称性来分析解的有限时间奇性或无限时间扩散行为。 结论 本书的最终目标是证明群论不仅仅是一种分类或描述对称性的工具，更是求解微分方程，特别是那些源于物理世界中基本对称原理的方程的核心计算方法。通过系统地应用李群理论，读者将掌握一种跨越力学、物理学和纯数学的统一、强大的分析框架。

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这本书的封面设计是一种极简主义风格，没有任何多余的装饰，只有书名和作者姓名，却散发出一种强大的学术气息。这让我联想到那些经典而重要的学术著作，它们往往以朴实的风格呈现最精华的内容。我猜想，这本书的作者一定是一位在该领域有着深厚造诣的专家，能够将如此抽象和复杂的数学概念，以一种清晰而富有洞察力的方式呈现出来。我一直对数学与物理学之间千丝万缕的联系感到好奇，尤其是在描述动态系统时，微分方程的威力是毋庸置疑的。而“Group Analysis”这个术语，更是让我眼前一亮，它预示着一种能够深入挖掘方程内在对称性，从而简化问题、发现新解法的方法论。我期待这本书能够带领我探索，如何运用群的思维来理解和解决力学和物理学中的各种挑战，例如非线性方程的求解，或者复杂系统的稳定性分析。我希望这本书不仅仅是理论的堆砌，更能提供实际的案例和启发性的思考，让我能够将学到的知识融会贯通，并尝试应用于自己感兴趣的领域。这是一种对知识的追求，也是一种对解决问题能力的提升。

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这本书的厚度本身就传递了一种信息：它并非泛泛而谈，而是深入钻研某一个特定领域的力作。封面设计虽然简洁，却透露出一种学术的严谨和内容的丰富。我猜测，书中会涉及到大量令人费解的数学公式和复杂的推导过程，这对于我来说，既是挑战，也是机遇。我一直认为，真正理解一个学科，必须能够驾驭其语言，而数学无疑是物理学和力学最核心的语言。这本书的出现，或许能够帮助我跨越理解的障碍，用一种更系统、更深刻的方式来认识那些曾经让我望而却步的数学工具。我脑海中浮现出那些物理学史上的伟大时刻，伽利略的落体实验，牛顿的万有引力定律，爱因斯坦的相对论，这些都离不开微分方程和数学模型的支持。我好奇，这本书是否会回溯这些经典理论的数学根源，是否会展现出群论在这些理论形成过程中的潜在影响。我也在期待，它能够引导我如何运用群分析的方法，去解决一些现实中的力学或物理问题，例如流体力学的复杂模拟，或者量子力学中的对称性原理。这是一种对知识探索的渴望，也是对自身能力提升的期盼。

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这本书的封面设计着实吸引了我，那是一种低调而内敛的风格，没有张扬的色彩，却有一种沉静的力量，仿佛在诉说着它所承载的深邃知识。我尤其喜欢封面上那种复杂的几何图案，它们以一种精巧的方式交织在一起，让我想象着书中可能存在的那些严谨的数学结构和逻辑推理。拿到书的瞬间，那厚重感便扑面而来，纸张的质地温润，散发着淡淡的书香，这是一种久违的阅读体验，不同于电子书冰冷的屏幕，实体书带来的温度和触感，总能让我更加投入。我迫不及待地翻开第一页，虽然还未深入阅读，但仅凭这封面和触感，我已经对它充满了期待，仿佛已经置身于一个由数学和力学构筑的奇妙世界。我一直在寻找一本能够真正激发我对抽象概念理解的书，一本能够将看似遥不可及的数学理论与我们赖以生存的物理世界紧密联系起来的书。这本书的标题“Group Analysis of Differential Equations”就让我眼前一亮，群论本身就充满了优雅和力量，而将其应用于微分方程，更是将这种力量推向了一个新的高度。我设想着，书中是否会揭示出某些隐藏在自然现象背后的对称性原理，是否会用群的语言来解读那些描述宇宙运行规律的方程。而“Applications to Mechanics and Physics”则让我更加确信，这并非一本纯粹的理论书籍，它将带领我探索那些在现实世界中具有实际意义的应用，无论是宏观的力学定律，还是微观的物理现象，都可能在这本书的视角下展现出全新的面貌。这种理论与实践的结合，正是吸引我的核心所在。

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当我第一次注意到这本书时，它就如同一块沉寂的宝石，散发着内敛却不容忽视的光芒。标题中的“Group Analysis”让我立刻联想到数学中那些优美而严谨的群论概念，而将其与“Differential Equations”结合，更是预示着一种将抽象数学工具应用于具体问题解决的深刻洞察。我一直以来都对数学在描述自然现象中所扮演的角色感到着迷，尤其是在力学和物理学的领域，微分方程无疑是构建理论框架的基石。我猜想，这本书将会以一种非凡的方式，揭示出群的对称性原理如何在这些微分方程的解法和性质分析中发挥关键作用。这就像是为理解复杂的物理系统提供了一把“万能钥匙”，能够解锁隐藏在方程结构中的规律。我渴望了解，作者将如何循序渐进地引导读者，从基础的群论概念过渡到复杂的微分方程分析，再到最终在力学和物理学中的具体应用。我期待它能够提供清晰的阐释，即使是对于那些对群论和微分方程不甚熟悉的读者，也能逐步领会其中精髓。它可能不仅仅是一本教材，更可能是一扇窗口，让我窥探到科学研究的深层逻辑和创造性思维。

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当我第一次看到这本书的标题时，一股莫名的好奇心便涌上心头。虽然我并非数学或物理领域的专业人士，但我一直对那些能够解释世界运作规律的深层原理充满着浓厚的兴趣。这本书的书名，尤其是“Group Analysis”这个词，对我来说颇具神秘感。我联想到数学中的群论，一种研究对称性和抽象代数结构的强大工具。我很好奇，这种抽象的数学概念是如何被用来分析那些描述物理现象的微分方程的。这听起来就像是在用一种全新的语言来解读宇宙的奥秘，一种能够揭示出隐藏在复杂公式背后的深刻规律的语言。而“Applications to Mechanics and Physics”更是让我对这本书充满了期待。我设想，这本书或许能够帮助我理解，那些看似枯燥的数学公式，是如何精确地描述了诸如物体的运动、能量的传递、以及各种物理场的行为的。我希望这本书能够以一种清晰易懂的方式，将这些复杂的概念呈现出来，即使对我这样的非专业读者来说，也能够有所领悟。我希望它能为我打开一扇窗，让我窥探到科学研究背后严谨的思维方式和创新的探索精神，让我对那些支撑着我们现代文明的科学基石有更深入的理解。

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