线性代数（第二版）//高等工科院校数学改革系列教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787506628747

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几何之思，代数之基：现代数学的宏伟蓝图 本书旨在为读者构建一个坚实、直观且富有应用价值的线性代数知识体系。我们深知，线性代数绝非仅仅是一堆抽象的矩阵运算，它更是理解现代科学、工程、数据分析乃至经济学等诸多领域底层逻辑的钥匙。因此，本书的叙事主线将紧密围绕“向量空间”这一核心概念展开，辅以丰富的几何直觉和严谨的代数证明。 第一部分：基础构建——向量与线性组合的直观世界 第一章：初识向量与基础运算 本章从最贴近物理直观的几何向量（二维与三维空间中的箭头）出发，引导读者理解向量的本质——它们代表着方向和大小。我们将系统阐述向量的加法、数乘运算，并引入线性组合的概念，这是后续所有内容的基础。我们不会止步于简单的坐标表示，而是深入探讨向量运算的几何意义，例如，线性组合如何描绘出直线、平面乃至更高维度的子空间。本章还会引入基础的矩阵表示法，为后续的线性方程组打下铺垫。 第二章：线性方程组的求解艺术 线性代数的心脏之一在于高效、系统地求解线性方程组。本章将从最基础的二维、三维方程组入手，逐步过渡到一般性的 $m imes n$ 方程组。我们将详尽介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form），强调其操作的系统性和唯一性。重点将放在理解自由变量、基本变量的概念，以及如何利用行简化形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）清晰地表达所有解集。我们还会讨论解集的几何结构：解空间是点、线、面，还是仅仅是原点？ 第三章：矩阵：变换的语言 矩阵不再仅仅是数字的矩形排列，而是线性变换的载体。本章将深入探讨矩阵乘法的几何解释，即一个矩阵如何将一个向量空间中的元素“映射”到另一个空间中。我们将详细分析初等矩阵（Elementary Matrices）的作用，并展示如何利用它们来理解矩阵的秩（Rank）和可逆性（Invertibility）。本章会清晰界定列空间（Column Space）和零空间（Null Space）的定义、计算方法及其在方程求解中的关键作用，这也是理解矩阵变换“输入”与“输出”关系的桥梁。 第二部分：空间的本质——结构与维度 第四章：向量空间的抽象化 这是本书从具体计算迈向理论深度的关键一步。本章将向量空间的概念提升到公理化的层面，讨论满足封闭性、结合律等特定代数性质的任意集合。我们将举例说明函数空间、多项式空间等“非传统”空间，从而让读者领悟到线性代数普适性的强大力量。在这一抽象框架下，线性无关性、生成（Span）和基（Basis）的概念将被精确定义。基的选择如何影响我们对空间的描述将是本章的重点讨论方向。 第五章：维度与坐标变换 一旦确定了基，空间的维度就变得清晰而固定。本章系统地探讨了维度的定义及其与零空间、列空间维度的关系（秩-零化度定理）。随后，我们将讨论坐标系的重要性：如何从一个基切换到另一个基？坐标变换矩阵（Change of Basis Matrix）是如何构建的？这不仅是代数技巧，更帮助我们理解，在不同的视角下，同一个对象（如向量）如何呈现出不同的坐标表示。 第六章：内积空间与几何直觉的回归 为了在更高维空间中重建我们熟悉的长度、角度和投影概念，本章引入了内积（Inner Product）。我们将定义欧几里得空间中的标准内积，并推广到更一般的情况。基于内积，我们将学习正交性（Orthogonality）的概念——这是线性代数中最重要的关系之一。重点将放在施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），它不仅提供了一种构造正交基的算法，更揭示了任何子空间都可以被分解为正交的组成部分。 第三部分：核心应用——投影、分解与最优解 第七章：正交投影与最小二乘法 正交投影是解决“无解”问题的核心工具。当一个向量不在某个子空间内时，我们如何找到离它“最近”的点？本章将提供几何直观的证明，阐述正交投影的唯一性及其计算方法。基于此，我们将引出最小二乘法（Least Squares Method），这是数据拟合、回归分析等应用领域中处理超定线性系统的标准方法。我们将推导正规方程组（Normal Equations），并展示其与投影之间的深刻联系。 第八章：矩阵的对角化与特征值理论 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是理解线性变换“本质行为”的关键。本章将系统地讲解特征值的代数意义（方程 $Av = lambda v$）和几何意义（变换下方向不变的向量）。我们将介绍如何通过计算特征多项式来求得它们，并深入讨论矩阵对角化的条件和意义——如何用一组特征向量作为新的基，使得变换矩阵变成一个简单的对角矩阵。这将极大地简化高次幂矩阵的计算。 第九章：对称矩阵与谱定理 本章将聚焦于特殊但极其重要的矩阵类型——对称矩阵。我们将证明对称矩阵具有实数特征值和相互正交的特征向量。随后，我们将引入谱定理（Spectral Theorem），该定理揭示了对称矩阵在正交基下可以被对角化的美妙性质。这不仅为理解二次型奠定了基础，也为数据降维（如主成分分析PCA的前置知识）提供了理论保障。 第四部分：结构的深化与拓展 第十章：线性变换的深入分析 本章将超越特征值的简单计算，从更抽象的角度审视线性变换的结构。我们将引入相似性（Similarity）的概念，理解为什么不同基下的矩阵可以描述同一个变换。我们将探讨若尔当标准型（Jordan Canonical Form），这是对角化的最终完善，用于处理那些不能完全对角化的矩阵。通过若尔当块，我们将能精确描绘出那些“近乎”对角化的变换的完整结构。 第十一章：二次型与正定性 二次型是形如 $x^T A x$ 的函数，它们是理解二次曲线、二次曲面（如椭圆、抛物面、双曲面）几何形态的关键。本章将展示如何利用矩阵的特征值和正交变换将二次型化为标准形。正定性（Positive Definiteness）的判定及其在优化问题中的重要性将得到详尽论述，帮助读者区分鞍点、极小值和极大值。 第十二章：线性代数在应用中的进阶主题 本章将作为通往更专业领域的桥梁，简要介绍线性代数在现代学科中的应用概览： 1. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：作为最强大的矩阵分解之一，它超越了对角化的限制，适用于任意矩阵，是图像处理、推荐系统等领域的核心工具。 2. 迭代法简介：对于特大型稀疏矩阵，直接求解往往不可行。本章会介绍如雅可比法（Jacobi）或高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）等迭代方法的思想，它们在数值计算中的实践意义。 本书的整体结构，是从直观的几何运算逐步过渡到抽象的代数结构，再回归到强大的应用分解技术。我们力求在严谨性与可理解性之间找到最佳平衡点，确保读者不仅能“会算”，更能“理解”线性代数所描述的关于空间、结构和变换的深刻真理。

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我尤其喜欢本书在介绍每个章节之前，都会有一个简短的“引言”部分，它通常会概述本章的核心内容，并提及该章节在整个线性代数知识体系中的地位以及其在实际中的重要性。这能够帮助我快速建立对本章内容的整体认识，对学习目标有一个清晰的把握。章节结束时，通常还会有一个“小结”或者“回顾”的部分，帮助我梳理本章的关键概念和公式，巩固学习效果。这种结构化的设计，让我的学习过程更加有条理，能够有效地避免知识点的遗漏和混淆。

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总的来说，这本书的内容编排逻辑清晰，知识点覆盖全面，讲解深入浅出，例题和习题设计也十分精良。它不仅是一本合格的教材，更是一本能够引导读者深入理解线性代数精髓的优秀读物。我从这本书中获益匪浅，不仅掌握了线性代数的基本理论和计算方法，更重要的是培养了严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。

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我特别欣赏这本书的例题选择，它们覆盖了线性代数中最核心、最典型的问题类型，而且每道例题的解答都非常详尽，步骤清晰，逻辑严密。不仅仅是给出了答案，更重要的是它会解释每一步操作的原理和依据，这对于初学者理解抽象的概念至关重要。书中很多例题都结合了工科领域的实际应用背景，比如在工程计算、数据分析、信号处理等方面的应用，这让抽象的数学理论变得生动具体，也让我在学习过程中能更深刻地体会到线性代数的重要性。我记得有一道关于求解线性方程组的例题，它不仅展示了高斯消元法的具体过程，还解释了方程组解的性质与系数矩阵、增广矩阵秩之间的关系，并且还穿插了对几何意义的解读。这样的讲解方式，极大地提升了我对概念的理解深度，让我不再是死记硬背公式，而是真正理解了“为什么”和“怎么用”。

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这本书在一些易错点和难点上，会进行特别的提示和讲解。例如，在区分向量的线性组合和向量的线性表示时，书中会明确指出两者之间的细微差别，并给出相应的例子。这种对细节的关注，能够有效地帮助读者避免在学习过程中走弯路，巩固对关键概念的理解。

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这本书的语言风格相对严谨，但又不失清晰易懂。作者在解释概念时，会尽量使用通俗易懂的语言，避免过于晦涩的专业术语。即使是引入新的数学概念，也会先给出直观的解释，然后再进行严谨的数学定义。这种“先易后难，先直观后严谨”的讲解方式，对于初学者非常友好，能够有效地帮助他们建立对数学概念的初步认识，并逐步深入理解其本质。

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这本书的封面设计简约大气，封面上“线性代数（第二版）”几个大字非常醒目，字体选用也很考究，给人一种严谨、专业的视觉感受。封底的“高等工科院校数学改革系列教材”的标识，则进一步说明了其定位和目标读者群体，这对于正在学习线性代数或者即将学习这门课程的工科学生来说，无疑具有很强的导向作用。拿到这本书的第一感觉就是厚重，翻开书页，纸张的质感很好，墨迹清晰，印刷质量令人满意，这对于长时间阅读和翻阅来说，是很重要的舒适度保障。书本的装订也很牢固，不会轻易散页，这一点对于经常需要在图书馆或教室里翻阅教材的学生来说，是个实实在在的优点。书的整体排版也比较人性化，重点内容通常会以加粗、斜体或者列表的形式呈现，方便读者快速抓住核心概念。章节之间的过渡也做得不错，逻辑清晰，阅读起来不会感到突兀。

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书中对于一些证明题的思路引导做得非常到位，很多证明题并不是直接给出完整的证明过程，而是提供一些关键的步骤和提示，鼓励读者自己去思考和推导。这种“引导式”的教学方法，能够有效地激发读者的学习主动性和思考能力，培养独立解决问题的能力。我记得有一道关于矩阵可逆性的证明题，书中并没有直接给出证明，而是提示我尝试从矩阵的定义、行列式以及线性方程组解的角度去分析，这让我自己一步步地推导出了证明过程，获得了极大的成就感。

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书中的数学符号和术语使用非常规范，这对于严谨的数学学习是必不可少的。每个新概念的引入都会伴随清晰的定义和严谨的数学表达，这保证了信息传递的准确性。同时，对于一些较为抽象的概念，书中也尝试用比较直观的语言进行解释，并且常常会辅以图示来帮助理解。例如，在讲解向量的线性无关和线性相关时，书中不仅给出了严格的定义，还配有二维和三维空间中向量的几何示意图，直观地展示了这些概念的几何意义。这种理论与直观相结合的讲解方式，大大降低了学习门槛，让原本枯燥的数学概念变得易于理解和接受。

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本书的习题设计也是我非常看重的一点。不仅仅是简单的计算题，还包含了大量的证明题、应用题以及一些拓展性的思考题。这些习题的难度梯度设计得非常合理，从基础巩固到能力提升，循序渐进，能够有效地帮助读者检验和巩固所学知识。对于一些较难的题目，书中还提供了提示或者解题思路，这对于卡住的同学来说，无疑是一份及时雨。我曾经在做一道关于向量空间基变换的习题时遇到了困难，书上的提示引导我从向量的线性组合和系数矩阵的角度去思考，最终成功解决了问题。这些习题不仅锻炼了我的计算能力，更重要的是培养了我的数学思维和解决问题的能力。

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我注意到这本书的参考文献列表非常详实，列举了很多重要的相关文献和资料，这对于想要进一步深入研究线性代数或者了解相关领域发展的读者来说，是非常有价值的资源。同时，书中也引用了一些经典的数学思想和研究成果，这让我能够更宏观地理解线性代数的发展脉络和其在整个数学学科中的地位。

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