Theory and Problems of Complex Variables with an Introduction to Conformal Mapping and its Applicati pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill 1964. (Schaum's Outline)

作者:Murray Spiegel

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1964-01-01

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780070843905

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• 复变函数
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• 数学分析
• 高等数学
• 工程数学
• Schaum's Outline
• 数学物理
• 复变函数论
• 应用数学

《高等数学：微积分与线性代数基础》 本书简介 《高等数学：微积分与线性代数基础》旨在为工程、科学、经济学及相关领域的学生提供坚实而全面的数学基础。本书聚焦于高等数学的两个核心支柱——微积分和线性代数，以清晰、严谨且易于理解的方式，系统地阐述这些关键概念的理论基础、基本方法以及在实际问题中的应用。本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在保证数学严谨性的同时，兼顾读者的理解深度和学习兴趣。 第一部分：微积分 微积分部分涵盖了单变量函数和多变量函数从基础到进阶的知识。 第1章：函数、极限与连续性 本章是微积分的基石。首先，详细介绍了函数的概念，包括定义域、值域、函数的表示方法，以及初等函数的性质与图示。随后，深入探讨了极限的概念——无论是左极限、右极限还是双侧极限，都辅以直观的几何解释和严格的 $epsilon-delta$ 定义。我们强调了极限在分析函数行为中的重要性，特别是在处理无穷大和无穷小时。最后，本章精确定义了函数的连续性，讨论了连续函数的性质（如介值定理和极值定理），并分析了不连续点的类型。 第2章：导数与微分 导数的引入是理解变化率的关键。本章系统地推导了基本初等函数的导数公式，并详细阐述了求导的运算法则，包括乘法、除法和链式法则。为了应对更复杂的函数结构，专门辟出章节讲解了隐函数求导、反函数求导以及参数方程的求导。微分的概念作为导数的一种线性近似形式被引入。在应用方面，本章深入探讨了导数在函数图像分析（单调性、凹凸性、极值点和拐点）、洛必达法则的应用，以及导数在物理学（速度、加速度）和经济学（边际分析）中的实际作用。 第3章：不定积分与积分学方法 本章聚焦于积分的逆运算——不定积分。我们从原函数和不定积分的定义出发，详细介绍了积分的基本性质。重点内容包括各种积分技巧的系统讲解：换元积分法（代换法）和分部积分法（部件积分法）被分解为若干子类，配以大量的实例演示。此外，本章还覆盖了有理函数积分（通过部分分式分解）、三角函数积分以及涉及根式的积分技巧。 第4章：定积分及其应用 定积分的引入基于黎曼和的概念，用以精确计算曲线下的面积。本章的核心在于微积分基本定理，它建立了微分与积分之间的深刻联系。在应用层面，本书详述了定积分在计算平面图形面积、旋转体的体积、曲线的弧长以及平均值问题中的应用。对于变力做功问题，我们也提供了详细的建模与求解过程。 第5章：微分方程初步 本章作为微积分向更高级数学的过渡，介绍了常微分方程（ODE）的基本概念，如阶、线性与非线性。重点分析了一阶微分方程的解法，包括变量可分离方程、一阶线性微分方程（使用积分因子法）以及恰当的齐次方程。此外，我们还引入了二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的求解方法，特别是常数变易法和待定系数法，并探讨了阻尼振动等经典物理模型的建立与求解。 第6章：多元微积分基础 本部分将概念扩展到多维空间。本章首先介绍偏导数、方向导数和梯度向量，强调了它们在描述多变量函数变化率上的几何意义。接着，深入讲解了多元函数的极值问题，包括二阶偏导数与Hessian矩阵在确定极值类型中的关键作用。泰勒公式（在二维空间中的推广）被用来近似复杂函数。最后，本章引入了多重积分（二重积分和三重积分）的概念、计算方法（直角坐标系、极坐标系下的计算）及其在计算体积、质量和质心等物理量中的应用。 第二部分：线性代数 线性代数部分旨在建立读者对向量空间、矩阵运算和线性变换的直观理解和计算能力。 第7章：矩阵代数与初等行变换 本章从矩阵的定义、运算（加法、数乘、乘法）入手，详细介绍了矩阵的类型（如对称矩阵、三角矩阵）。重点讲解了矩阵乘法的几何意义和性质。随后，引入了初等行变换（Elementary Row Operations）作为求解线性方程组的核心工具，并详细阐述了利用增广矩阵和行阶梯形（Row Echelon Form）求解线性方程组的方法，包括解的存在性与唯一性判断。 第8章：行列式 行列式作为矩阵的一个重要标量不变量，在本章中被系统介绍。我们从二阶、三阶行列式的几何意义出发，归纳出 $n$ 阶行列式的定义（按行或按列展开）。本章详尽讨论了行列式的基本性质，以及行列式与矩阵可逆性之间的关系。克拉默法则（Cramer's Rule）作为求解小规模线性系统的有效工具也被详细介绍。 第9章：向量空间与子空间 本章是线性代数的理论核心。我们从向量的线性组合、线性相关性和线性无关性的概念开始，定义了向量空间的基（Basis）和维数（Dimension）。子空间的概念（如列空间、零空间、行空间）被严格定义，并阐述了其相互关系。本章还讨论了子空间的基的求解和维数定理。 第10章：线性变换与特征值问题 线性变换是线性代数的动态视角。本章介绍了线性变换的定义及其在矩阵表示下的特性。矩阵的秩-零化度定理是本章的重点之一。随后，本章聚焦于特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的计算方法，这对于理解线性变换对特定向量的作用至关重要。特征值问题的求解被广泛应用于动力系统分析和稳定性判断中。 第11章：对角化与矩阵的函数 本章探讨了矩阵对角化的条件（相似变换）及其重要性。如果一个矩阵可对角化，其计算复杂度将大大降低。我们详细讲解了如何通过相似变换将矩阵转化为对角矩阵。此外，本章还简要介绍了矩阵函数的概念，例如矩阵指数的定义及其在求解常系数线性微分方程组中的应用。 第12章：内积空间与正交性 本章在向量空间的基础上引入了内积的概念，从而定义了长度、距离和角度。重点内容包括施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，它能系统地构造向量空间的一组正交基或标准正交基。正交投影的概念被引入，用于解决最小二乘法问题，这是数据拟合和误差最小化的基础。 附录：数学软件应用指南 本书的附录提供了使用主流数学软件（如MATLAB或Python的NumPy/SciPy库）来解决复杂微积分和线性代数问题的基本指南，旨在帮助学生将理论知识应用于高效的数值计算实践中。 本书的结构旨在构建一个逻辑严密的学习路径，确保读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解高等数学概念背后的几何和代数直觉。

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读完这本书，我感觉自己对数学分析中的一些关键概念有了更深的体会。比如，在讨论函数的奇点时，书中不仅区分了可去奇点、极点和本性奇点，还深入探讨了它们的性质以及在函数行为中的作用。特别是对于本性奇点的描述，那种“近乎疯狂”的行为，以及它在洛朗展开中的体现，给我留下了深刻的印象。这本书的习题设计也非常巧妙，很多习题都能够检验我对这些抽象概念的理解程度，比如让我去判断一个函数的奇点类型，或者利用洛朗展开来分析函数的局部行为。我特别喜欢书中关于“留数”的概念，它不仅是一个计算工具，更是一种理解函数在奇点附近行为的视角。通过计算留数，我能够洞察函数在奇点附近的“秘密”，这是一种非常令人兴奋的体验。而且，这本书在讲解过程中，总能引人思考，让我不仅仅满足于记住公式，而是去理解公式背后的原理和逻辑。这种学习方式，让我能够建立起一个更牢固的数学知识体系。

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这本书在介绍复变函数与几何之间的联系方面做得非常出色。共形映射作为连接两者的桥梁，在书中得到了充分的体现。我特别喜欢书中关于“等角变换”和“等距变换”的比较，让我更清晰地理解了共形映射的几何意义。书中的插图非常精美，能够直观地展示变换的效果，这对于理解抽象的几何概念非常有帮助。例如，在学习莫比乌斯变换时，书中通过一系列插图展示了它如何将直线和圆变成直线和圆，以及它在保留角度方面的特性。这些图像化的讲解，让我在脑海中形成了清晰的画面感，也让我更容易记住和理解这些概念。此外，书中还提到了共形映射在地图投影、复数复数平面表示等方面的应用，这进一步拓宽了我对数学应用领域的认知。

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在学习过程中，这本书给我最深刻的感受是其对数学严谨性的坚守，同时又不失理论的深度和广度。对于每一个定理，作者都力求给出完整的证明，并且在证明过程中，清晰地勾勒出逻辑脉络，指出关键的步骤和思想。例如，对Cauchy积分定理的证明，从黎曼积分到曲线积分的转化，以及对路径依赖性的讨论，都展现了作者在数学分析上的深厚功底。这本书并非鼓励死记硬背，而是引导读者去理解“为什么”，去探究定理成立的本质原因。我发现，通过理解证明过程，我对复变函数有了更深刻的认识，能够更灵活地运用这些理论来解决问题。书中的习题也恰如其分地反映了这一点，很多习题都需要读者对所学概念进行深入的思考和综合运用，而不仅仅是套用公式。这种注重基础和理解的学习方法，对于培养扎实的数学功底至关重要。我尤其欣赏书中对于一些“困难”问题的处理方式，作者会先从简单的情况入手，逐步推广到一般情况，使得复杂的概念也变得易于接受。这种教学方法，让我能够自信地面对那些看起来令人生畏的数学难题。

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我对这本书中关于共形映射的部分尤其推崇。在我看来，共形映射是复变函数论中最具视觉冲击力和应用价值的部分之一。这本书并没有回避共形映射的几何直观性，而是通过大量的图示和生动的讲解，将抽象的数学概念转化为易于理解的几何变换。莫比乌斯变换的详细介绍，包括其性质、分类以及在解决实际问题中的应用，都让我大开眼界。特别是书中如何运用莫比乌斯变换来处理圆域变换、上半平面变换等经典问题，让我深刻体会到数学在解决几何问题上的优雅与强大。书中的习题也紧密结合了共形映射的实际应用，比如如何利用共形映射来分析流体动力学中的势流问题，或者在电学中求解电场分布。这些习题的设计极具启发性，它们并非简单的计算练习，而是引导我思考理论如何与物理世界相联系。阅读过程中，我常常会停下来，反复揣摩书中绘制的变换图形，试图在脑海中构建起空间的扭曲与重塑。这种将数学理论与直观几何相融合的学习方式，极大地激发了我对数学的兴趣。这本书无疑为我打开了一扇通往应用数学领域的大门，让我看到了数学不仅仅是符号的游戏，更是理解和改造世界的有力工具。

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这本书的语言风格非常清晰且富有启发性，让我能够在轻松的氛围中深入学习复变函数。作者善于用简洁明了的语言解释复杂的概念，并且总能在关键之处点拨读者，引发深入思考。例如，在讲解柯西-黎曼方程时，作者不仅给出了公式，还解释了为什么解析函数必须满足这两个条件，以及它们在几何上的意义。这种“知其所以然”的教学方式，让我对复变函数的理解更加透彻。书中的习题设计也极具匠心，很多习题都能够从不同的角度检验我对知识的掌握程度，并且能够引导我发现新的数学规律。我常常会在完成一道习题后，思考是否还有其他更优的解法，或者是否可以通过调整题目中的参数来观察结果的变化。这种主动探索的精神，是我从这本书中获得的宝贵财富。

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这本书在细节处理上做得非常出色，这对于学习一门复杂的数学学科来说至关重要。比如，在讲解复积分时，书中对于积分路径的选择、方向的约定以及积分的计算方法都进行了非常详细的说明。特别是在处理多连通区域上的积分时，书中通过引入“割线”的概念，清晰地展示了如何将问题转化为单连通区域上的积分，从而应用Cauchy积分定理。这种对细节的关注，让我在学习过程中避免了很多不必要的困惑。而且，书中还提供了许多关于复变函数性质的直观解释，比如解析函数在复平面上的“光滑性”和“连续性”，以及它在几何上的表现。我尤其喜欢书中关于“黎曼曲面”的介绍，尽管只是一个引论，但它已经足够勾起我对更高级数学概念的兴趣。这本书就像一个宝藏，每一次阅读都能发现新的闪光点。

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这本书对于我理解一些更高级的数学概念起到了至关重要的作用。例如，在学习解析延拓时，书中通过具体的例子，比如 Gamma 函数的解析延拓，清晰地展示了如何将一个函数从一个区域推广到更大的区域，而保持其解析性质。这部分内容不仅具有理论上的意义，也为理解更广泛的数学和物理问题奠定了基础。此外，残数理论的应用，尤其是其在求和、求极值等方面的巧妙运用，让我看到了复变函数在解决各种数学难题上的强大能力。我记得书中有一个关于级数求和的例子，如果不用残数定理，那将是一个极其繁琐和耗时的过程，而通过残数定理，则可以轻松获得结果。这种“工欲善其事，必先利其器”的感觉，让我对数学工具的认识上升了一个层次。本书的语言风格非常适合自学，清晰、准确，同时又具有一定的启发性，使得读者在阅读过程中能够不断地进行思考和探索。它不是一本“填鸭式”的书，而是鼓励读者主动参与到数学发现的过程中。

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让我印象深刻的是，这本书在讲解每一个新概念时，都会首先回顾与之相关的基本概念，从而构建一个连贯的学习体系。例如，在讲解解析函数之前，会先回顾实变函数中的可导性和连续性，然后引出复变函数中的解析性。这种“循序渐进”的教学方法，能够有效地帮助读者建立起清晰的知识框架，避免概念上的混淆。书中的习题也设计得非常具有梯度，从最基础的计算题，到需要深入理解理论才能解决的应用题，都能满足不同水平的读者。我尤其喜欢那些需要我运用所学知识去“创造”解法的题目，这些题目能够极大地锻炼我的数学创造力。这本书让我体会到，学习数学不仅仅是记忆和计算，更重要的是理解其内在的逻辑和思想。

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拿到这本《复变函数论与习题：共形映射及其应用导论》时，我首先被它扎实的内容和详尽的习题深深吸引。这本书并非只是简单地罗列公式和定理，而是真正地引导读者一步步深入理解复变函数的精妙世界。从Cauchy-Riemann方程的建立，到解析函数的性质，再到各种积分定理的推导，每一个概念都经过了细致的阐释，并且配以大量精心设计的例题，这些例题不仅展示了理论的应用，更帮助我巩固了对抽象概念的理解。尤其令人印象深刻的是，书中对于留数定理的讲解，不仅清晰地说明了其计算方法，还深入探讨了它在求解各种困难积分问题中的强大威力。读到这部分时，我仿佛打开了一个全新的数学工具箱，能够以前所未有的效率解决那些曾经让我头疼不已的积分。此外，书中对级数（泰勒级数、洛朗级数）的介绍也极具条理，特别是关于收敛性的讨论，避免了许多初学者可能遇到的误区。作者在讲解过程中，总是能够预见到读者可能产生的疑问，并提前进行解答，这种“知心”般的教学方式，让我感到非常轻松和愉悦。尽管我并非数学专业出身，但这本书以其清晰的逻辑和循序渐进的难度，让我能够逐渐克服对抽象数学的恐惧，并从中获得成就感。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而渊博的导师，指引我探索数学的奥秘。

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这本书在介绍共形映射的应用时，其深度和广度都令我印象深刻。不仅仅是理论上的描述，书中还穿插了许多实际应用的例子，比如在空气动力学中，如何利用共形映射来分析翼型周围的流场，或者在热传导问题中，如何利用共形映射来求解非均匀介质中的温度分布。这些例子让我看到了数学理论是如何与现实世界紧密联系的，也激发了我对数学应用领域的进一步探索。我特别欣赏书中关于“映射性质”的讨论，比如共形映射如何保持角度和形状，但会扭曲长度。这种对几何特性的深刻理解，对于我今后处理各种物理模型非常有帮助。这本书的习题也很有挑战性，很多习题都需要综合运用多种理论和技巧才能解决，这恰恰是锻炼我数学思维和解决问题能力的好机会。我常常会花很多时间去钻研一道习题，直到完全理解其背后的原理和解题思路。这种过程虽然辛苦，但收获也是巨大的。

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