Pure Mathematics

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出版者:Trans-Atlantic Publications
作者:by L. Bostock (Author), S. Chandler (Author)
出品人:
页数:768
译者:
出版时间:(Dec 1994)
价格:0
装帧:
isbn号码:9780859500920
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 纯数学
  • 高等数学
  • 数学分析
  • 微积分
  • 代数
  • 几何
  • 拓扑学
  • 实分析
  • 复分析
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具体描述

《超越纯粹:应用数学的广阔图景》 导言:现实的语言与抽象的构建 数学,这门古老而常新的学科,如同宇宙的骨架,支撑着我们对世界的理解和改造。传统的“纯数学”探索往往聚焦于概念的内在逻辑与结构的美感,追求逻辑的严密性与定义的优雅。然而,当我们把目光投向现实世界的复杂性、信息爆炸的时代以及前沿科技的挑战时,我们会发现,数学的力量更在于它作为一种工具,一种能够精确描述、预测和优化我们周围一切事物的语言。 《超越纯粹:应用数学的广阔图景》并非对既有数学分支的简单汇编,它是一次深入探索数学如何与物理、工程、生物、金融乃至社会科学进行深度融合的旅程。本书旨在揭示那些扎根于具体问题、以解决实际挑战为导向的数学分支的活力与深度。 --- 第一部分:建模——从现象到方程的桥梁 本部分聚焦于数学建模的核心艺术与科学,即如何将一个真实的、常常是模糊不清的物理或社会现象,转化为一套可操作的数学框架。 第一章:微分方程的动态世界 微分方程是描述变化过程的基石。本书将系统地探讨常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)在描述连续系统中的应用。 流行病学模型: 深入分析 SIR、SEIR 等经典传染病模型,考察模型参数的敏感性分析,以及如何利用这些模型预测疫情的峰值和干预措施的效果。我们不仅仅停留在求解上,更关注模型假设的合理性及其在不同社会背景下的局限性。 流体力学与热力学: 探讨 Navier-Stokes 方程的复杂性,以及在航空航天、天气预报中的数值求解方法(如有限差分法和有限元法)。分析湍流理论的数学挑战及其对实际工程的意义。 生物种群动态: 考察 Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型,并将其扩展到包含环境承载力、延迟效应的多物种交互系统,探讨生态平衡的数学边界。 第二章:离散化与组合优化 现实中的许多问题并非连续的,而是由离散的元素和有限的选项构成的。本章着重于图论、组合优化及其在计算机科学和运筹学中的威力。 网络流与物流优化: 详细解析最大流最小割定理,并将其应用于复杂的供应链管理、交通网络设计和通信路由选择。介绍线性规划、整数规划在资源分配中的严格应用。 算法设计中的图论: 探索最短路径算法(Dijkstra, A)、最小生成树在网络构建中的作用,以及NP完全问题的理论意义和启发式求解策略。 数据结构与算法效率: 从离散数学的角度审视算法的时间复杂度,理解渐近分析如何指导高效软件的开发。 --- 第二部分:数据驱动的科学——概率、统计与机器学习的数学根基 在信息时代,数据是新的石油,而概率论和统计学则是提炼这些石油的炼金术。 第三章:随机过程与不确定性的量化 现实世界充满了随机性,从股票价格的波动到量子粒子的行为。本章聚焦于描述随时间演化的随机现象。 马尔可夫链与状态转移: 详细解析离散和连续时间马尔可夫链,它们在网页排名算法(PageRank 的核心思想)、化学反应速率、以及排队论中的应用。 布朗运动与金融数学: 引入布朗运动作为连续时间随机过程的典范,并将其作为 Black-Scholes 模型中资产价格随机性的数学基础,探讨随机微分方程(SDE)的求解技巧。 泊松过程与事件计数: 分析事件发生的频率和间隔,应用于电信呼叫中心管理和可靠性工程。 第四章:统计推断与模型验证 统计学是连接数学模型与观察数据的桥梁。本章强调统计推断的数学严谨性。 参数估计与假设检验: 深入理解最大似然估计(MLE)和贝叶斯方法的数学框架,探讨中心极限定理和切比雪夫不等式在推断过程中的作用。 回归分析的几何视角: 从最小二乘法的几何意义出发,分析多元线性回归、逻辑回归的数学原理,以及残差分析的统计学意义。 非参数统计的必要性: 当数据不服从特定分布时,如何利用秩检验等非参数方法进行稳健的推断。 第五章:机器学习的数学核心 本书将机器学习视为一种高级的函数逼近和优化问题。 优化算法在AI中的统治地位: 详述梯度下降及其变种(SGD, Adam)的收敛性分析,理解学习率和正则化项(L1, L2)的数学功能。 信息几何与流形学习: 探讨高维数据的内在结构,如主成分分析(PCA)的奇异值分解(SVD)在降维中的作用,以及流形学习背后的度量空间概念。 信息论基础: 熵、交叉熵和KL散度作为衡量信息量和模型差异的数学工具,在分类任务和生成模型中的应用。 --- 第三部分:计算与数值的艺术 理论的强大必须通过可行的计算来实现。本部分探讨如何用有限的计算资源,在误差可控的范围内逼近复杂问题的解。 第六章:数值分析与线性代数的实践 数值方法是连接连续数学和数字计算机的接口。 矩阵计算的效率与稳定性: 分析大规模矩阵运算(如特征值分解、矩阵求逆)在数值稳定性方面的挑战,探讨迭代法(如共轭梯度法)相对于直接法的优势。 数值积分与插值: 探究牛顿-科茨公式、高斯求积等高级数值积分方法的误差控制,以及样条函数在数据平滑和曲线拟合中的应用。 求解非线性方程组: 介绍牛顿法、割线法在工程优化和物理模拟中的迭代收敛机制。 第七章:傅里叶分析与信号处理的数学 信号、图像和波动的分析,都离不开对周期性的数学分解。 傅里叶级数与变换: 从三角函数的正交性出发,阐述傅里叶级数如何将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦波,进而推广到连续时间的傅里叶变换。 快速傅里叶变换(FFT): 探讨 FFT 算法的精妙之处,理解其在频谱分析、图像滤波和数据压缩中的核心地位。 小波分析: 介绍小波变换作为傅里叶变换的有效补充,尤其在处理非平稳信号(如地震波、瞬时噪声)时的优势,理解多分辨率分析的数学内涵。 --- 结语:应用数学家的视野 《超越纯粹》最终指向的,是数学思想的普适性。它强调,真正的应用数学家不仅需要精通求解技巧,更需要具备批判性地选择、构建和验证数学模型的能力。本书引导读者从“如何解方程”深入到“为什么选择这个方程”,培养一种跨学科的、以解决实际问题为导向的数学思维框架。它展示了数学并非高悬于象牙塔之上,而是驱动现代科技进步的最底层引擎。

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《Pure Mathematics》这个书名,对我而言,不仅是这本书的名称,更是一种承诺,一种对数学纯粹本质的回归。我一直以来都对那些不依赖于具体应用,而是纯粹基于逻辑推理而存在的数学理论感到着迷。这本书,我期待它能带我深入理解那些构成现代数学基石的抽象概念,例如在集合论中,我希望能够更清晰地把握基数和序数的概念,以及它们在不同数学分支中的作用;在分析学的领域,我渴望能够更透彻地理解函数空间的结构,以及勒贝格积分的普适性。对我而言,这本书不仅仅是知识的堆砌,更是一种思维的启迪,一种对数学逻辑之美的深度体验。我希望它能教会我如何构建严密的数学证明,如何精确地表达数学思想,以及如何从最基本的公理出发,一步步构建起宏大而精妙的数学体系。我相信,通过这本书的学习,我将能够更深刻地理解数学语言的普适性和力量,并能将这种严谨的思维方式内化为自己解决问题的重要工具。

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《Pure Mathematics》这个书名,对于我来说,如同一个神秘的入口,邀请我进入数学那深邃而广阔的未知领域。我一直对数学的纯粹性,那种不掺杂任何应用,只关乎逻辑和结构的特质,有着近乎痴迷的喜爱。这本书,我预感它将是一次对数学理性之美的深度挖掘,一次对抽象思维的终极挑战。我渴望在这本书中找到对数论核心概念的详尽阐述,例如模运算的性质,以及那些定义了素数分布的深刻定理。我也期待它能带领我走进抽象代数的腹地,去理解群的同态和同构,去感受环和域的结构美,甚至去探索伽罗瓦理论所揭示的对称性与方程可解性之间的深刻联系。对我而言,这本书不仅仅是在传授知识,更是在塑造一种全新的思维模式,一种对严谨性、逻辑性和抽象性高度重视的思维模式。我希望通过这本书,能够提升我对数学证明的鉴赏能力,理解那些看似晦涩的符号和定理背后所蕴含的深刻智慧,并最终能够以一种更加自信和深刻的方式去探索数学的无尽魅力。

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当我第一次见到《Pure Mathematics》这本书名,一种莫名的亲切感油然而生。它直截了当,没有任何虚饰,仿佛直接触及了数学最核心的灵魂。我一直对数学的抽象性有着深深的着迷,那种从简练的公理出发,逐步推导出精妙理论的过程,对我来说,就是一种无与伦比的智力享受。我期待这本书能够带我深入理解那些支撑现代数学的宏大分支,例如群论中置换群的结构,环论中理想的概念,以及域扩张的深层含义。我也渴望通过这本书,能够更清晰地认识到拓扑学所揭示的“连续性”的本质,以及它如何超越了具体的几何形状。对我而言,这本书代表着一次严谨的思维训练,一次对逻辑清晰度的极致追求。它不仅仅是知识的传递,更是一种能力的培养——如何构建严密的数学证明,如何精确地定义数学概念,以及如何欣赏数学本身所蕴含的简洁与和谐。我相信,通过这本书的学习,我将能够更深刻地理解数学语言的普适性,并能将这种严谨的思维方式运用到其他领域。

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当我看到《Pure Mathematics》这个书名时,一种久违的求知欲被瞬间点燃。它没有花哨的形容词,没有功利的导向,仅仅是对数学本质的直接宣告。我一直以来都对数学的抽象性和普适性着迷,那种从简单的公理出发,构建起庞大而严谨理论体系的过程,对我来说,简直是一种无与伦比的艺术。这本书,我预感它将是一次对数学内在逻辑的深度探索。我期待它能带我走进数论的殿堂,去理解同余方程的性质,去探索二次互反律的优雅;我渴望在抽象代数的疆域里遨游,去理解群的结构,去领悟环和域的本质;我期盼在拓扑学的奇妙世界里漫步,去感受空间变换的连续性,去理解同胚的抽象之美。对我而言,这本书不仅仅是知识的传递,更是一种思维的升华,一种对逻辑清晰度和精确性的极致追求。我希望它能教会我如何独立思考,如何进行严谨的数学证明,以及如何欣赏数学本身所蕴含的简洁与和谐,最终能够以一种更深刻的视角去理解数学的魅力。

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当我翻开《Pure Mathematics》这本书的扉页,一股莫名的期待感便油然而生。我一直对纯粹数学的严谨与抽象之美有着浓厚的兴趣,而这本书的名字似乎正是我一直在寻找的,它承诺了一场深入数学内核的探索之旅,而非那些充斥着应用案例或解题技巧的“速成”读物。翻阅目录,那些耳熟能详的数学分支,如数论、抽象代数、拓扑学,以及那些可能令人生畏的分析学和几何学,都以一种既宏大又精细的姿态呈现在眼前。我脑海中立刻勾勒出这本书的图景:它不会是一本浅尝辄止的科普读物,而是会引导我穿梭于数学证明的逻辑迷宫,去理解那些看似晦涩的符号背后所蕴含的深刻思想。我期待它能教会我如何“思考”数学,而不仅仅是“计算”数学,如何从最基本的公理出发,构建起一座座逻辑严密的数学大厦。这本书在我眼中,不仅仅是一堆纸张和文字,更是一个通往数学思想殿堂的邀请函,它召唤着我去挑战智力的极限,去拥抱数学那不朽的优雅与力量,去感受那份由抽象推理带来的纯粹的愉悦。我相信,通过这本书,我将能够更深刻地理解数学的本质,发现隐藏在数字和公式背后的普遍规律,甚至可能改变我对世界看待的方式,因为它本身就是一种关于清晰、严谨和逻辑的终极语言。

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这本书的名字《Pure Mathematics》让我感到一种久违的召唤,仿佛它能带我回溯到数学最本真的模样,那个不被外界喧嚣所干扰,只为探寻真理而存在的纯净世界。我一直以来都对数学的抽象性和普适性深深着迷,那种从简单的公理出发,层层递进,构建出复杂而优美的理论体系的过程,本身就是一种艺术。我预感这本书不会是那种提供大量例题,教会你如何套用公式的书,而更多的是关于数学思想的深度探讨,关于证明的严谨性,关于概念的精确定义,以及它们之间如何相互关联,形成一个庞大的知识网络。我渴望通过这本书,能够真正理解那些看似抽象的数学概念,例如群的性质、环的结构、域的扩张,以及那些构成现代数学基石的分析学原理,比如极限、连续性和可微性。我希望能在这本书中找到一种指导,让我能够独立地去思考和探索数学问题,去体会那种“啊哈!”时刻的惊喜,而不是被动地接受老师或教科书的结论。对我而言,这本书代表着一种智力的挑战,一种对思维方式的重塑,它承诺的是一种更深层次的理解,一种对数学本身内在逻辑和美感的欣赏,而这正是我一直在追寻的。

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《Pure Mathematics》这个书名,对我而言,是一种直接的召唤,将我引向对数学最纯粹、最本质的追求。我一直以来都对那些不为解决具体问题而存在,而是纯粹为了探索真理而发展的数学理论感到深深的着迷。这本书,我期待它能带领我深入理解数学世界的逻辑结构,从基础的集合论和逻辑推理出发,逐步构建起抽象代数、拓扑学、微分几何等分支的精髓。我渴望在抽象代数的领域,能够更透彻地理解群的性质,例如拉格朗日定理和西罗定理的意义,以及它们如何揭示了群结构的普适性;在拓扑学的世界,我希望能够更深刻地理解连通空间和紧致空间的定义,以及它们如何描述了空间的内在属性。对我来说,这本书不仅仅是在传授知识,更是在培养一种严谨的思维习惯,一种对抽象概念的驾驭能力,以及一种发现数学之美的鉴赏力。我相信,通过这本书的学习,我将能够更深刻地理解数学作为一种语言和思维方式的力量,并能将其应用于更广阔的知识领域。

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当我第一次看到《Pure Mathematics》这个书名时,一种纯粹的学术热情被瞬间点燃。它简洁而有力,仿佛直接点出了我一直以来对数学的追求——那种不被应用所局限,而是专注于数学自身逻辑和结构的探索。我预感这本书会是一次深入数学思想的旅程,它会带领我穿越抽象代数的迷宫,理解群、环、域的本质;它会指引我探索数论的奥秘,感受素数的分布规律;它会引领我进入拓扑学的奇妙世界,领略空间的连续性和变形。我期待这本书能够教会我如何进行严谨的数学证明,如何清晰地表达数学思想,以及如何从最基础的公理出发,构建起一座座逻辑严密的数学大厦。对我而言,这本书不仅仅是知识的获取,更是一种思维方式的重塑,一种对数学逻辑之美的深度体验。我希望通过这本书,我能够提升我的抽象思维能力,增强我的逻辑推理能力,并最终能够以一种更加深刻和全面的方式来欣赏数学的无限魅力,理解它作为一种普遍真理的语言和工具的价值。

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读到《Pure Mathematics》这个书名,我的心立刻被一种强烈的求知欲所占据。它没有花哨的副标题,没有诱人的承诺,仅仅是“纯粹数学”这四个字,就足以唤醒我对数学最深层次的渴望。我曾花费大量时间在数学的应用领域,学习如何用数学解决实际问题,但内心深处,我始终对那些支撑起这些应用的抽象理论感到好奇。这本书,我相信它会是一次深入数学本质的探险。它不是那种告诉你如何“快速”掌握某个技能的书,而是引导你去理解“为什么”是这样。我期待它能够带领我走进数论的殿堂,去领略素数的奥秘,去探索费马大定理的证明;我渴望在抽象代数的疆域里驰骋,去理解群、环、域的结构,去领悟对称性的普遍性;我期盼在拓扑学的奇妙世界里漫游,去感知空间的连续性,去理解同胚的奇特关联。我相信,这本书不仅仅是在传授知识,更是在培养一种数学思维,一种严谨的逻辑推理能力,一种对抽象概念的驾驭能力。我希望它能让我看到数学的优雅,体会到证明的逻辑之美,并最终能够从中获得一种智识上的满足感和提升。

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《Pure Mathematics》这个书名,如同一声来自数学内在的呼唤,吸引着我这个渴望探寻数学本源的读者。我厌倦了那些只关注技巧和应用的学习方式,我更渴望理解那些支撑起整个数学大厦的基石——纯粹的数学理论。我预想这本书将会是一次严谨的、系统性的旅程,从最基础的逻辑和集合论出发,一步步构建起复杂的数学结构。我希望它能够带我深入理解抽象代数的精妙,例如群的同态定理,域的伽伽尔理论,这些看似高深的概念,在我看来却是数学思维的精髓所在。我也期待在分析学的领域里,能够更深刻地理解收敛、积分的定义,以及它们在更广阔的数学世界中所扮演的角色。这本书对我来说,不仅仅是一本教科书,更是一次与数学智慧的对话,一次对人类理性最纯粹表达的致敬。我期待它能培养我独立思考的能力,教会我如何清晰地表达数学思想,如何欣赏证明的逻辑之美,并最终让我能够用一种更深刻、更全面的视角来理解数学以及它在我们世界中所扮演的角色。

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