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出版者:Springer

作者:Bell, s. R.; Brylinski, J. -L; Huckleberry, A. T.

出品人:

页数:310

译者:

出版时间:1996-06-03

价格:USD 110.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540527886

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 多复变量
• 解析函数
• 柯西积分公式
• 留数定理
• 复流形
• 代数几何
• 偏微分方程
• 数值分析
• 函数论

《拓扑几何学导论：从欧几里得空间到纤维丛》 书籍简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑几何学导论，内容涵盖了从基础概念到前沿研究的多个重要领域。我们力求在保持数学严谨性的同时，以清晰、直观的方式阐述复杂的几何直觉，使初学者和有一定基础的读者都能从中获益。全书结构精心设计，层层递进，旨在构建扎实的理论框架，并展现拓扑学在现代数学中所扮演的关键角色。 第一部分：基础概念与欧几里得空间中的拓扑 本部分奠定了全书的理论基础。我们从直觉出发，引入拓扑空间的概念，详细讨论了开集、闭集、邻域和收敛性的精确定义。通过对 $mathbb{R}^n$ 空间的深入分析，读者将掌握度量空间的性质，理解拓扑结构如何内在于度量结构之中，并区分两者在概念上的微妙差异。 紧致性是拓扑学中至关重要的概念之一。我们详尽探讨了 Heine-Borel 定理及其在更一般的拓扑空间中的推广（例如序列紧致性、可数紧致性），并展示了紧致性在分析学（如连续函数的有界性与极值定理）中的核心应用。 接着，我们引入连通性。从最简单的路径连通性出发，逐步过渡到更具一般性的连通分支概念。通过大量实例，读者将学会如何利用这些工具来判断空间的结构特性。 第二部分：连续映射与同胚 拓扑学的核心在于研究在连续变形下保持不变的性质。本部分专注于连续映射的性质及其在拓扑空间之间的作用。我们详细讨论了开映射、闭映射的概念，并重点分析了同胚（Homeomorphism）——拓扑等价的数学语言。通过大量的例子，如圆盘与正方形的同胚，以及对不可同胚空间的区分，读者将建立起强烈的几何直觉。 商拓扑（Quotient Topology）是构造新拓扑空间的关键工具。我们将详细介绍商空间的定义、性质，以及如何通过商映射来处理粘合、投射等几何操作。莫比乌斯带、球面、环面等经典几何对象的构造过程将作为核心案例进行剖析。 第三部分：基本群与代数拓扑的开端 代数拓扑学致力于用代数工具来区分拓扑空间。本部分将读者从纯粹的拓扑构造引入代数结构的研究。 基本群（Fundamental Group, $pi_1(X)$）是研究空间中“洞”或“环路”的最佳起点。我们精确定义了路径、同伦以及基本群的构造，并证明了它是一个群。霍普夫定理（Hopf's Theorem）和布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的代数证明将展示基本群的强大威力。对环面 $T^2$ 和实心圆盘 $D^2$ 的基本群计算，将直观地揭示其拓扑差异。 更高阶的同伦群（Higher Homotopy Groups）的概念将作为基本群的自然延伸被介绍，尽管其计算复杂性显著增加，但其重要性不容忽视。 第四部分：流形理论导论 流形是现代几何学和拓扑学的基石，它们是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。本部分是连接经典几何与现代研究的桥梁。 我们从拓扑流形的定义出发，讨论了图册（Atlas）和坐标变换的关键作用。接着，我们引入了光滑结构，从而定义微分流形（Differentiable Manifolds）。我们详细考察了切空间（Tangent Space）的概念，这是微分几何和微分拓扑的起点。 球面 $S^n$ 作为一个典型的 $n$ 维流形，将被深入研究，包括其覆盖空间（如 $S^2$ 的基本群）和嵌入性质。 第五部分：同调论基础 同调论是区分拓扑空间中“洞”的更强大的代数工具，它对连续形变具有更强的稳定性。 本部分将介绍单纯复形（Simplicial Complexes）的概念，并在此基础上构建链复形（Chain Complexes）。我们定义了边界算子（Boundary Operator）和链群，从而推导出同调群（Homology Groups，$H_n(X)$）。同调群的计算展示了它们如何有效地捕捉流形的拓扑不变量。 我们专注于计算 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$、环面 $T^2$ 以及射影平面 $mathbb{R}P^2$ 的奇异同调群。欧拉示性数（Euler Characteristic）的计算及其与同调群的关系将被详细阐述。 第六部分：纤维丛与向量丛 本部分将深入研究结构更复杂的空间，即丛（Bundles）。纤维丛是局部看似乘积空间，但整体上可能具有非平凡拓扑结构的空间。 我们定义了纤维丛、截面（Sections）和转移映射（Transition Maps）。向量丛（Vector Bundles）作为一种特殊的纤维丛，将在本部分占据核心地位，例如切丛（Tangent Bundle）和法丛（Normal Bundle）。 我们将介绍庞加莱对偶性（Poincaré Duality）的思想背景，以及吴氏示性类（Wu Classes）和陈类（Chern Classes）的初步概念，这些不变量在微分拓扑和代数几何中具有不可替代的作用。 结语 本书的结构旨在引导读者从最直观的几何概念出发，逐步掌握拓扑几何学的核心工具和现代研究的前沿领域。通过对经典实例的详尽分析和严格的数学推导，读者将能够建立起对现代拓扑学坚定而深刻的理解。

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我购买《Several Complex Variables VI》这本书，是源于我对数学分析领域中那些具有广泛应用前景和深刻理论意义的课题的浓厚兴趣。复变量的引入，在我看来，是数学发展中的一个重要里程碑，它开启了对更高维度分析和几何性质的探索。我并非该领域的专业研究者，但我的数学基础使我能够欣赏这本书的深度和严谨。书中对“复域的边界光滑性”和“全纯函数在边界上的延拓”的讨论，让我看到了分析性质与几何形状之间微妙而深刻的联系。我花了相当多的时间去理解书中关于“无界域”的分析方法，这些域在实际问题中更为常见，而处理它们所需的工具也更为复杂。作者在解释某些概念时，会穿插一些重要的历史文献和研究成果，这让我得以窥见这个领域的发展历程，也更加理解了这些理论的重要性。我尤其对书中关于“复抛物面”和“复抛物型域”的性质的介绍印象深刻，这些特殊的几何对象在函数理论和几何分析中有着广泛的应用。尽管我有时会觉得书中某些证明的技巧过于精妙，需要反复琢磨才能领会其意图，但我依然从中获得了宝贵的学习体验，并且对复分析的理解更加深入。这本书已经成为我探索数学世界的一本重要启迪。

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我被《Several Complex Variables VI》这本书所吸引，很大程度上是因为它探讨的主题——“多个复变量”——在我看来，是连接了我们熟悉的三维空间与更高维度的数学世界的重要桥梁。作为一名对数学的抽象性和普遍性着迷的学习者，我一直希望能够深入理解复分析的精髓。这本书厚重的体量和严谨的书名，让我确信它能提供一个详尽且深入的视角。在翻阅的过程中，我发现作者在介绍“复域的边界性质”时，非常注重其与全纯函数行为之间的联系。例如，关于“光滑边界”的定义及其对全纯函数在边界上表现的影响，是我特别关注的部分。我花了不少时间去消化书中关于“Stein领域”的概念，这些领域在多复变量分析中具有重要的理论意义，并且与一些关键的分析工具紧密相连。作者在解释某些证明时，会引用一些基础的拓扑学和微分几何的知识，这让我得以将不同数学分支的理解融会贯通。我对书中关于“完备性”的讨论尤其感兴趣，这涉及到函数空间的分析性质，对我理解一些高级的逼近定理和存在性定理至关重要。尽管我有时会觉得书中某些证明的细节处理需要反复推敲，但我依然从这种深入的学习过程中获得了极大的满足感。这本书已经成为我探索复分析世界的一本重要指南。

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坦白说，我购买《Several Complex Variables VI》这本书的初衷，很大程度上是源于我对数学中“几何”与“分析”交叉领域的热情。复变量的引入，在我看来，是将熟悉的欧几里得几何空间提升到了一个更抽象、更丰富的维度。我一直对复流形、全纯映射这些概念非常着迷，它们在拓扑学、微分几何以及理论物理的许多前沿领域都有着举足轻重的地位。这本书的书名就直接点明了主题，让我对它寄予了厚望。在翻阅过程中，我被书中一些关于“区域的拓扑性质”和“全纯函数的延拓性”的讨论所吸引。特别是关于“伪凸性”的概念，它在描述某些复域的几何性质时展现出独特的优越性，也深刻影响了后续对全纯函数性质的研究。作者在介绍这些概念时，并没有简单地给出定义，而是通过大量的几何直观和具体的例子来阐释，这对于我这样偏向几何直觉的读者来说，无疑是莫大的帮助。我尤其欣赏书中关于“光滑边界”和“全纯函数的边界行为”的章节，它们不仅是理论上的重要研究对象，在解决一些具体的分析问题时也扮演着关键角色。虽然阅读过程中，我会遇到一些需要反复推敲的细节，例如某些证明中的技巧或者对高级概念的依赖，但我依然乐在其中。我把它当作一本“工具书”，在遇到相关问题时，总能从中找到清晰的解释和深刻的见解，这让我对复分析这个领域的理解更加扎实和系统。

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一直以来，我对数学分析中那些看似抽象实则蕴含深刻几何意义的概念非常着迷，而“复变量”正是这样一个领域。当我得知《Several Complex Variables VI》这本书的存在时，我便迫不及待地想要一睹为快。这本书的书名直指核心，预示着它将带领读者深入探索多复变量分析的奥秘。虽然我不是该领域的专业研究者，但我的数学背景能够让我欣赏其中的精妙之处。书中对“全纯函数”的定义及其在多维复空间中的行为的刻画，让我领略到复分析的独特魅力。我花了相当长的时间去理解书中关于“区域的复曲率”和“Reinhardt区域”的讨论，这些概念在描述复域的几何结构时起到了关键作用。作者在阐述定理时，常常会给出多角度的解释和证明思路，这对于我这种需要多重理解才能融会贯通的读者来说，是极大的帮助。我尤其对书中关于“Hartogs定理”的介绍印象深刻，它揭示了全纯函数在多维空间中延拓的可能性，这与单复变函数的性质有着显著的区别。尽管有时我也会被某些高度抽象的证明技巧所困扰，需要查阅相关的参考资料，但我深知这是通往数学真理的必经之路。这本书已经成为我进行数学思考时不可或缺的伙伴，它不断挑战我的认知，也让我对数学的理解愈发深刻。

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我对数学的兴趣，很大程度上源于对那些能够将抽象概念与直观理解相结合的领域的探索。而《Several Complex Variables VI》这本书，在我看来，正是这样一个领域。复变量的引入，让原本熟悉的空间充满了新的可能性和挑战。我并非该领域的专业研究者，但我的数学基础尚可，这让我能够欣赏这本书的深度和广度。书中的一些概念，比如“复流形”的定义和性质，让我惊叹于数学家们构建如此复杂而又统一的理论体系的能力。我花了大量时间去理解书中关于“全纯向量丛”的介绍，这不仅是代数几何的重要概念，也与许多物理理论有着深刻的联系。作者在阐述某些定理的证明时，会巧妙地运用一些代数和拓扑的工具，这让我对不同数学分支的互相关联有了更深刻的认识。我尤其对书中关于“Hard Lefschetz定理”在复几何中的应用印象深刻，它揭示了复流形上的上同调群之间一种奇妙的对称性。尽管有时我也会觉得书中某些证明的技巧十分高明，需要反复琢磨才能理解，但我依然从中获得了宝贵的学习体验。这本书已经成为我深入理解复分析以及其在几何领域应用的一本重要参考。

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我购买《Several Complex Variables VI》这本书，很大程度上是受到了它在数学研究界广泛认可的声誉的驱动。我并非该领域的专家，但作为一名对理论数学充满热情的学生，我总是倾向于选择那些被认为是该领域基石或经典之作的书籍。这本书的书名本身就暗示着它涵盖了多复变量分析领域的核心内容，这对我来说是极具吸引力的。初次翻阅时，我注意到书中对数学语言的运用极为精确和规范，这一点对于构建严谨的数学思维至关重要。我花费了大量时间去理解书中关于“复光滑性”和“全纯映射的局部性质”的章节，特别是关于“反函数定理”在多复变量情境下的推广。这些内容不仅展现了数学的逻辑之美，也为我理解更高级的几何和分析概念打下了坚实的基础。我尤其欣赏书中关于“Hermitian流形”和“Kähler流形”的引入，它们将复变量分析与微分几何紧密地联系起来，打开了我对数学交叉学科的认知。作者在解释某些证明时，会提供非常详尽的步骤和逻辑推理，这对于我这种需要细致理解的读者来说，无疑是极大的便利。尽管我有时会觉得书中的某些部分过于深奥，需要反复阅读和思考，但我能够感受到，每一次的学习都在拓展我思维的边界。这本书已经成为我书架上最珍贵的藏品之一，它不断激发我对数学更深层次的探索。

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作为一名对数学分析理论抱有浓厚兴趣的业余爱好者，我一直渴望深入了解“复变量”这一分支，因为它似乎是连接实数分析与更抽象数学世界的桥梁。当我在书架上看到《Several Complex Variables VI》时，我立刻被它厚重的篇幅和充满数学魅力的书名所吸引。虽然我并非该领域的专业研究者，但我的数学基础相对扎实，并且对抽象代数和拓扑学有一定的了解，这让我对这本书充满了期待。在阅读的初期，我确实遇到了一些挑战，尤其是关于“多复变量函数空间”和“奇点理论”的部分，这些概念的抽象程度远超我之前的学习经验。然而，我发现作者在处理这些复杂概念时，总是试图提供严谨的定义和详实的论证，这一点让我非常赞赏。我花了相当多的时间去理解书中关于“全纯函数”的性质，特别是它们在多维空间中的行为，这与单复变函数有着显著的区别。书中对“区域的同胚性”和“Levi问题的讨论”让我印象深刻，它们不仅揭示了多复变量分析的深度，也为我理解更广泛的数学问题提供了新的视角。我尤其喜欢作者在某些章节中给出的历史背景介绍，这让我了解到这些重要理论的产生和发展过程，也感受到了数学家们不懈探索的精神。虽然我可能还无法完全掌握书中的所有内容，但我可以肯定地说，每一次阅读都让我对复分析这个领域有了更深刻的认识，也激发了我进一步探索的兴趣。

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我一直对复分析领域充满好奇，尤其是关于“多个复变量”这个话题，它听起来就充满了数学的深度和奥秘。当我翻开《Several Complex Variables VI》这本书时，我首先被它厚实的体量所震撼，这预示着里面蕴藏着丰富的知识，足以让我沉浸其中，细细品味。我并非该领域的专家，但我的数学基础尚可，因此我带着一种探索未知的心态来阅读它。初次接触时，书中的某些术语和符号确实显得有些陌生，需要我反复查阅资料，甚至要回到一些基础的复变函数理论来巩固理解。然而，正是这种挑战激发了我学习的动力。我发现作者在阐述概念时，虽然严谨，但并非完全不近人情。他似乎试图循序渐进地引导读者，从相对容易理解的概念开始，逐步深入到更复杂的理论。我对其中关于“柯西-龙格定理”和“Remmert-Stein定理”的介绍尤为感兴趣，它们在现代复分析的许多分支中都扮演着至关重要的角色，理解它们无疑是打开更广阔数学世界的一把钥匙。我花了不少时间去消化这些定理的证明过程，每一步的逻辑推导都如同精密的齿轮咬合，让人赞叹数学的严谨与和谐。书中的例子也起到了很好的辅助作用，它们将抽象的理论具象化，让我能够更好地把握问题的本质。虽然目前我还没有完全掌握书中的所有内容，但每一次阅读都是一次智识上的跃升，我能感受到自己对复分析理解的深度正在不断加深。

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我之所以选择阅读《Several Complex Variables VI》这本书，是因为我对数学分析领域，特别是那些超越了单变量限制的理论，充满了好奇。复变量的引入，在我看来，是将数学的抽象性推向了一个新的高度，也开启了对更复杂几何和分析性质的探索。我并非该领域的专业研究者，但我的数学教育背景使我能够理解和欣赏其中的精妙之处。书中对“多复变函数”的定义及其局部性质的讨论，让我领略到不同于单复变函数的丰富性和复杂性。我花了相当多的时间去理解书中关于“柯西积分公式”在多维空间中的推广，这让我对全纯函数的积分表示有了更深入的认识。作者在解释某些概念时，会追溯其历史渊源和发展脉络，这对于我这种喜欢了解事物来龙去脉的学习者来说，是极大的吸引力。我尤其对书中关于“有界域的等度量性”和“全纯函数的边界值”的讨论印象深刻，这些内容不仅是理论上的重要研究对象，也与一些具体的应用问题息息相关。尽管我有时会觉得书中某些证明的逻辑链条过于复杂，需要反复推敲，但我依然从这种挑战中获得了巨大的学习乐趣和智识上的满足。这本书已经成为我探索复分析世界的一本重要指南。

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我对数学的热情，很大程度上体现在对那些能够展现数学统一性和深刻性的理论的追求上。《Several Complex Variables VI》这本书，在我看来，正是这样一个典范。复变量的引入，不仅扩展了我们的分析工具，更重要的是，它为我们理解高维空间中的几何和拓扑性质提供了全新的视角。我并非该领域的专业研究者，但我的数学功底使我能够欣赏这本书的严谨与深度。书中对“全纯映射的局部单叶性”的讨论，让我看到了一些与单复变函数相似而又不尽相同的性质，这是一种非常有趣的比较。我花了相当多的时间去理解书中关于“复射影空间”的定义和性质，这些空间在代数几何中扮演着核心角色，理解它们对于把握更广泛的数学图景至关重要。作者在解释某些定理的证明时，会引用一些高级的代数工具，这让我得以将代数与分析的理解相结合。我尤其对书中关于“丘成桐和西蒙斯关于微分流形和向量丛的理论”的介绍印象深刻，这展示了复分析在现代微分几何中的关键作用。尽管我有时会觉得书中某些证明的具体推导过程相当繁琐，需要极大的耐心，但我相信这种深入的钻研是值得的。这本书已经成为我深入理解复分析及其在几何学中应用的基石。

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