Singularities, Representation of Algebras, and Vector Bundles pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Greuel, Gert-Martin; Trautmann, Gunther; Trautmann, Ga1/4nther

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2008-10-10

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540182634

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 代数表示论
• 向量丛
• 奇点理论
• 代数
• 拓扑学
• 微分几何
• 上同调
• 层论
• 模论

《数学前沿：代数、拓扑与分析的交汇》 内容提要： 本书是一部深入探讨现代数学核心领域——代数拓扑、微分几何与函数分析之间复杂交织的学术专著。全书围绕如何利用代数工具解析几何对象，以及如何运用拓扑与几何的视角来理解抽象代数结构展开论述。本书旨在为高年级本科生、研究生以及活跃在相关领域的专业研究人员提供一个既严谨又富有洞察力的参考框架。 第一部分：拓扑结构的代数编码 本部分聚焦于代数拓扑学的核心概念，特别是同调理论和同伦理论在描述空间形貌中的应用。 第一章：基础拓扑空间与连续映射 本章首先回顾了点集拓扑学的基本概念，包括度量空间、紧致性、连通性以及完备性。随后，重点介绍了同伦（Homotopy）的概念，将其定义为连续形变的连续依赖参数化。讨论了基本群 $pi_1(X)$ 的构造及其性质，特别是它在区分不可收缩空间（如圆周 $S^1$ 和点空间）中的关键作用。我们详细分析了由覆盖空间理论导出的 $pi_1(X)$ 与覆盖映射之间的关系，并给出了 Seifert–van Kampen 定理的精确表述和应用，用以计算复杂空间的自由积（Free Product）的基本群。 第二章：链复形与奇异同调 本章引入了代数拓扑的“计算引擎”——链复形。我们从一个拓扑空间 $X$ 出发，构造了奇异链复形 $C_(X; R)$，其中 $R$ 是一个环（通常是 $mathbb{Z}$ 或一个域）。通过定义边缘算子 $partial$ 并证明 $partial^2 = 0$，我们导出了奇异同调群 $H_n(X; R) = ker(partial_n) / ext{im}(partial_{n+1})$。本章的重点在于 Mayer–Vietoris 序列的建立及其在计算环面、球面等经典空间同调群时的强大能力。此外，还探讨了同调的函子性，特别是将拓扑同构映射提升为同构的同调映射，并简要介绍了它们的对偶——上同调理论的初步概念。 第三章：同伦与同调的联系——Hurewicz 理论 本章致力于弥合基本群（非阿贝尔）与高阶同调群（阿贝尔）之间的鸿沟。我们精确定义了 Hurewicz 映射 $h: pi_n(X) o H_n(X; mathbb{Z})$，并详细阐述了 Hurewicz 定理：如果空间 $X$ 是 $(n-1)$-连通的（即 $pi_k(X) = 0$ 对 $k < n$ 成立），则 $H_k(X) = 0$ 对 $k < n$ 成立，并且 $h$ 诱导了 $H_n(X) cong pi_n(X)$ 的同构。本章还讨论了 Eilenberg-MacLane 空间 $K(G, n)$ 的作用，它们是只具有一个非零同伦群 $pi_n(K(G, n)) cong G$ 的经典构造，是研究截断空间和纤维丛理论的基础工具。 第二部分：微分几何与流形上的分析 本部分转向微分结构，研究在光滑流形上进行微积分和分析的可能性。 第四章：光滑流形与张量场 本章建立了微分几何的语言基础。首先，我们形式化了光滑流形的定义，包括图集、转移函数和光滑结构。随后，引入了切空间 $T_pM$ 作为流形上局部线性的“方向空间”。我们详细讨论了向量场和张量场（包括 $(k, l)$ 型张量）的定义及其在坐标变换下的转化规则。微分形式（Exterior Forms）被定义为切空间上多重线性、反对称的函数，这是本章的核心内容，为后续的 Stokes 定理做准备。外微分 $mathrm{d}$ 算子的构造及其满足 $mathrm{d}^2 = 0$ 的性质是本节的重点。 第五章：流形上的积分与拓扑联系 本章将前面对微分形式的讨论推向高潮——Stokes 定理。我们首先回顾了传统的微积分基本定理（如格林公式、高斯散度定理）的背景。随后，精确地表述了广义的 Stokes 定理：对于一个 $n$ 维流形 $M$ 上的 $(n-1)$ 形式 $omega$，$int_{partial M} omega = int_M mathrm{d}omega$。这一统一的公式在拓扑学和分析学中具有深远意义，它直接导致了 De Rham 上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 的构造。本章详细论证了 De Rham 上同调与奇异上同调之间的自然同构关系（De Rham 定理），这是连接微分几何与代数拓扑的关键桥梁。 第六章：黎曼几何导论 在光滑流形的基础上，本章引入了度量结构，即黎曼度量 $g$。黎曼度量定义了流形上每一点切空间的内积，从而赋予了流形长度、角度和体积的概念。我们讨论了协变导数 $ abla$ 的构造，以及它如何保证张量在流形上微分时的“平行性”。重点分析了曲率张量 $R$（Riemann Curvature Tensor）的定义及其一系列重要性质（如第一和第二 Bianchi 恒等式）。最后，简要介绍了测地线（Geodesics）作为“最短路径”的概念，并探讨了爱因斯坦场方程在微分几何背景下的初步形式。 第三部分：泛函分析与算子的谱 本部分将视角从几何结构转移到无穷维向量空间上的线性算子分析，这对于理解量子场论和几何分析至关重要。 第七章：巴拿赫空间与拓扑线性空间 本章是泛函分析的基石。我们首先复习了赋范向量空间，并详细定义了完备性，引出了巴拿赫空间（Banach Space）的概念。重点探讨了连续线性算子在这些空间上的性质。我们深入研究了开映射定理、闭图像定理和均匀有界原理（Banach 提出的三大定理），这些定理构成了处理无穷维线性系统的基本工具。此外，还引入了弱收敛和强收敛的概念，并讨论了 Hahn–Banach 分离定理在凸集分析中的应用。 第八章：希尔伯特空间与自伴算子 本章侧重于内积空间，特别是完备的内积空间——希尔伯特空间。我们讨论了正交基、傅里叶展开及其在无穷维空间中的性质。核心内容是自伴算子（Self-Adjoint Operators）——在特定意义下代表物理可观测量的算子。我们详细论述了谱定理（Spectral Theorem）的完整形式（针对有界和无界算子），该定理揭示了希尔伯特空间上自伴算子的结构完全由其谱（本征值集合）决定。这为理解偏微分方程的解的稳定性与渐进行为提供了坚实的数学基础。 第九章：椭圆算子与特征值问题 本章是几何分析的交汇点。我们研究了在光滑流形上定义的椭圆型偏微分算子（如拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta_d$）。椭圆算子具有优良的正则性性质，其解的存在性和光滑性可以通过泛函分析的工具（特别是利用黎曼流形上的 $L^2$ 理论）来证明。我们探讨了紧算子理论在特征值问题上的应用，特别是谱理论如何应用于流形上的特征值（如 Laplace 算子的特征值，它们与流形的几何量如体积和面积相关联，即 Weyl 定律）。 总结与展望： 本书的结构旨在展示现代数学的统一性：代数工具（同调、群论）用于描述空间结构；几何工具（流形、张量）用于描述局部连续性；而分析工具（泛函分析、谱理论）则用于研究这些结构上的微分方程和算子行为。读者在完成本书学习后，将能够运用这些跨学科的知识来深入理解代数拓扑中的几何表示、微分几何中的拓扑不变量，以及函数空间中算子的本质。

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