Trigonometry and Its Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mcgraw-Hill College

作者:Christian R. Hirsch

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-04

价格:USD 39.05

装帧:Hardcover

isbn号码:9780070290594

丛书系列:

图书标签:

• Trigonometry
• Mathematics
• Precalculus
• Angles
• Triangles
• Functions
• Graphs
• Identities
• Applications
• Calculus Preparation

好的，这是一份关于一本名为《几何学与代数交织的探秘：从欧几里得到现代应用的数学之旅》的图书简介。 --- 几何学与代数交织的探秘：从欧几里得到现代应用的数学之旅 一部跨越数千年，连接抽象理论与实际应用的宏大叙事。 本书并非一部简单的教科书，而是一场深度而全面的数学探索之旅。我们旨在揭示几何学与代数这两种看似独立的数学分支，如何在历史长河中相互渗透、相互激发，最终构建起现代科学与工程的基石。本书将引导读者穿越古典文明的智慧殿堂，直抵当代复杂系统的核心算法。 第一部分：欧氏几何的辉煌与局限——空间的根基 本部分追溯数学的源头，深入解析古希腊几何学的精髓。我们从泰勒斯开始，聚焦于欧几里得《几何原本》的结构与哲学。这不仅是对点、线、面、角等基本概念的严谨定义，更是人类逻辑推理体系的一次伟大实践。 核心内容包括： 公理系统的建立： 详细剖析欧几里得的五条公设及其对整个几何学大厦的支撑作用。特别关注第五公设（平行线公设）的独特性及其引发的历史性争论。 平面几何的完备性： 探讨三角形全等、相似性定理的证明过程，以及圆的性质在古代工程与天文学中的应用实例。 立体几何的初步探索： 介绍柏拉图立体、阿基米德对体积和表面积计算的早期贡献，为后续的解析几何铺设直观基础。 然而，欧氏几何的完美性也带来了局限。我们随后将探讨这些局限如何推动数学家去思考“什么是空间”的本质问题，为非欧几何的诞生埋下伏笔。 第二部分：代数的觉醒与解析的诞生——坐标系的革命 在几何学的古典框架逐渐显现张力时，代数学的进程为几何的表达提供了前所未有的灵活性。本部分着重探讨代数工具如何被引入几何领域，催生了人类思维史上一次重大的范式转变。 关键章节解析： 笛卡尔坐标系的创立： 详细阐述笛卡尔和费马如何通过引入坐标系统，将几何图形转化为代数方程。这一步是理解“解析几何”的关键。我们将展示如何用代数语言描述直线、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线），并分析这些曲线在物理学中（如行星轨道）的自然体现。 多项式与曲线的对应： 深入探讨高次代数方程如何对应更复杂的空间曲线和曲面。我们将超越平面，进入三维空间，利用代数方程来刻画复杂的几何形体。 微积分的前奏： 在解析几何的框架下，探讨牛顿和莱布尼茨如何利用代数工具来处理瞬时变化率和曲线下的面积，为微积分这门处理运动和变化的核心学科打下坚实的基础。 第三部分：超越平面——非欧几何与空间概念的扩展 古典几何的“真理”被挑战，促使数学家们勇敢地迈入更广阔的数学领域。本部分是对人类空间想象力的极限拓展。 探索内容： 非欧几何的诞生： 详细回顾对平行公设的质疑过程，介绍罗巴切夫斯基和黎曼的开创性工作。我们将对比双曲几何（负曲率）和椭圆几何（正曲率）与欧氏几何在三角形内角和、直线定义上的根本差异。 微分几何的基石： 展示黎曼几何如何将代数和微积分的方法应用于研究弯曲空间。这不仅是纯数学的胜利，也为爱因斯坦的广义相对论提供了必要的数学语言。 拓扑学的萌芽： 在关注形状的内在属性而非精确度量时，拓扑学开始浮现。我们将讨论拓扑不变量的概念，如连通性、洞的数量，以及柯尼斯堡七桥问题等早期案例，预示着数学家对“形状”更本质的理解。 第四部分：线性代数与高维空间的抽象——现代数学的骨架 随着科学计算和数据分析的兴起，对多维空间的理解变得至关重要。本部分将代数的威力提升至新的高度，聚焦于线性代数的核心概念。 重点章节： 向量空间与线性变换： 彻底阐述向量的概念，从几何直觉出发，过渡到抽象的向量空间定义。详细解析线性变换（如旋转、缩放、投影）在矩阵表示下的运算规律。 特征值与特征向量： 这部分是理解动态系统稳定性和数据降维的关键。我们将解释特征值和特征向量如何揭示线性系统的内在“方向”和“缩放因子”。 矩阵分解与几何意义： 探讨奇异值分解（SVD）、特征分解等重要分解技术，并将其与几何操作（如数据压缩、主成分分析）紧密联系起来。 第五部分：实际应用：从物理定律到信息编码 本部分是前述所有理论的汇聚点，展示几何与代数如何共同驱动现代科技。我们专注于那些需要精确空间描述和复杂数值计算的领域。 应用实例剖析： 经典力学与刚体运动： 阐述欧拉角、四元数在描述三维空间中物体姿态（如飞机、机器人手臂）时的优势与挑战。这直接涉及三维旋转矩阵的应用。 光学与图形渲染： 深入解析计算机图形学中使用的投影几何、光线追踪算法背后的线性代数原理。如何用矩阵运算来模拟光线与物体的交互，实现逼真的视觉效果。 数据科学中的几何化视角： 探讨高维数据如何被视为高维空间中的点集，以及如何使用降维技术（如PCA，其核心是特征分解）在保持重要信息的同时，将其映射到我们可理解的低维空间中。 现代密码学与代数数论： 简要介绍代数结构（如有限域）在现代加密算法（如椭圆曲线加密）中的作用，展示抽象的代数结构如何保障信息安全。 本书特色： 本书通过清晰的逻辑链条，将抽象的几何概念转化为具体的代数表达式，再将代数解构应用于实际问题。我们不满足于提供公式，而是致力于揭示这些公式背后的几何直觉。贯穿全书的是对“为什么是这样”的深刻探究，而非仅仅“如何计算”。通过大量的图解和精选的历史插曲，读者将体验到数学家们在探索空间与结构奥秘时的严谨、创造与震撼。这是一本为所有对数学美感和实际效用有追求的读者准备的深度读物。

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