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出版者:McGraw-Hill/Glencoe

作者:Berchie Holliday

出品人:

页数:983

译者:

出版时间:2006-03

价格:USD 135.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780078756306

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 英文原版
• 理工科
• 数学概念
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• 数学分析
• 微积分
• 代数
• 几何
• 拓扑学
• 理论数学

《代数思维的演进：从抽象到应用》 本书旨在深入探索代数思维的发展脉络及其在现代科学、工程和商业决策中的核心作用。我们不将目光局限于枯燥的公式推导，而是着力于揭示代数概念如何从早期对未知数的探索，演变为支撑复杂系统建模和预测的强大工具。 第一部分：抽象的根基——代数概念的演进 本部分将追溯代数思想的起源，从古巴比伦、古埃及的实践性问题解决，到古希腊几何学的逻辑严谨，再到伊斯兰黄金时期对符号代数的开创性贡献。我们将详细阐述以下关键概念的形成与发展： 变量与方程的诞生： 探讨早期文明如何通过文字描述来解决包含未知数的算术问题，以及符号代数如何极大地提升了问题的抽象化和普适性。我们将通过复现一些经典的数学史难题，展示代数符号如何化繁为简。 方程组的理论与方法： 从线性方程组的几何解释到高次方程的求根问题，我们将剖析代数方程求解技术的演进。重点将介绍消元法、代入法等基本技巧，并初步触及群论、环论等更高级的抽象代数概念在方程结构研究中的作用。 函数思想的萌芽与生长： 函数作为描述变量之间关系的基石，其思想的形成经历了漫长的过程。我们将考察笛卡尔坐标系的发明如何将代数与几何紧密联系，从而催生出对函数图像和性质的直观理解。本节还将涉及函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。 数域的扩张与结构： 从自然数到整数、有理数、实数乃至复数，数的概念不断被拓展以解决更复杂的问题。我们将深入探讨这些数域的代数结构，例如域的公理化定义，以及复数在几何和物理中的深刻应用。 第二部分：思维的利器——代数在现代领域的应用 本部分将聚焦于代数思维如何在当今世界塑造我们的技术和理解。我们将通过一系列具体案例，展示代数概念的实用价值： 数据建模与分析： 现代大数据分析离不开代数工具。我们将介绍线性回归、多项式回归等基本数据建模技术，展示如何利用代数方程来拟合数据趋势、预测未来走向。此外，还将浅析主成分分析（PCA）等降维技术背后的线性代数原理，说明其如何帮助我们从高维数据中提取关键信息。 算法设计与复杂度分析： 计算机科学的核心是算法。我们将分析许多经典算法，如排序算法（如快速排序、归并排序）和图算法（如Dijkstra算法）的代数结构和效率。我们将解释为什么理解算法的代数本质对于优化性能至关重要，并介绍渐进记号（如O、Ω、Θ）如何用代数语言来描述算法的计算复杂度。 物理建模与仿真： 从牛顿力学到量子力学，代数方程和方程组始终是描述物理现象的语言。我们将探讨微分方程在描述动态系统（如振动、电路、流体流动）中的应用，以及线性代数在处理多体问题、场论等复杂物理场景中的不可或缺性。 经济与金融的数学框架： 风险评估、投资组合优化、金融衍生品定价等现代金融活动，都建立在精密的数学模型之上。我们将介绍微积分在描述经济增长和成本函数中的作用，并探讨如何利用线性代数来构建和分析投资组合的协方差矩阵，以及期权定价模型（如Black-Scholes模型）所依赖的偏微分方程。 工程设计与优化： 桥梁的结构稳定性分析、电路网络的信号传输、控制系统的设计，都离不开代数方法的支持。我们将介绍如何运用代数方程来描述物理系统的平衡状态，如何利用矩阵运算来分析系统的响应，以及如何通过代数优化技术来寻找最优设计参数。 第三部分：前沿的探索——代数思维的未来图景 本部分将展望代数思维在新兴领域的应用潜力，并引发对未来数学发展的思考： 机器学习与人工智能： 深度学习模型本质上是高度复杂的函数逼近器，其训练过程涉及大量的矩阵运算和优化算法。我们将探讨神经网络的代数结构，以及反向传播算法背后的微积分和线性代数原理。 计算几何与计算机图形学： 计算机图形学的核心是利用代数方法来生成和渲染三维图像。我们将介绍齐次坐标、变换矩阵等概念，以及它们在对象建模、动画和场景绘制中的作用。 代数在密码学中的角色： 公钥密码学（如RSA算法）的安全性依赖于数论和代数结构的复杂性。我们将初步介绍有限域、离散对数等概念，揭示代数原理如何为信息安全提供保障。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，理解代数思维的深刻内涵及其在现代知识体系中的广泛应用。通过理论阐述与实际案例相结合的方式，我们希望能够激发读者对数学的热情，并培养他们运用代数思维解决实际问题的能力。

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我对这本书的评价可以用“高屋建瓴”来形容。它横跨了多个高度复杂的数学领域，从抽象代数到概率论的深度探讨，展现了数学概念之间惊人的内在统一性。我特别欣赏作者在不同章节之间建立的联系。例如，他在讨论勒贝格积分的收敛性定理时，巧妙地回顾了早先讨论过的序列收敛和函数逼近的概念，使得不同知识板块能够融会贯通，形成一个更宏大的知识网络。这对于培养系统性的数学视野至关重要。不过，我必须指出，这本书的‘信息密度’实在太高了，每一个段落都承载了大量的知识点，读起来需要极高的专注力。我个人更倾向于把它视为一本‘里程碑式’的著作，适合在已经有一定基础后，用来系统性地查漏补缺，并深化对数学全景图的认识。它不像那种轻松的入门读物，它要求读者拿出最大的敬意和最饱满的精力去对待。

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我拿到这本厚重的砖头书时，说实话，心里是有点打鼓的。我本科学的是物理，对纯数学的抽象表达总是有种天然的敬畏。一开始翻阅，果不其然，第一章就给我来了个下马威——那一连串的集合论符号和公理系统，差点让我合上书本。但是，鬼使神差地，我被第三章关于泛函分析的介绍吸引住了。作者并没有直接跳到希尔伯特空间，而是先用大量的例子，比如无限维向量空间与经典力学中正交基展开的类比，搭建了一个非常坚实的直觉基础。这种“先建立形象，再深化结构”的叙事策略，极大地降低了我的学习门槛。我尤其喜欢书中穿插的那些‘历史背景’小节，它们不仅解释了某个理论是如何一步步发展起来的，还揭示了数学家们在解决特定问题时所经历的思维挣扎，这让冰冷的理论有了人情味。虽然有些证明过程我还是需要借助其他更基础的教材来辅助理解，但这丝毫不影响我对这本书整体逻辑清晰度和深度覆盖面的高度认可。

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这本书简直是数学爱好者的福音！我花了整整两个月的时间才勉强啃完第一遍，那种感觉就像是攀登一座巍峨险峰，每一步都充满了挑战，但每当攻克一个难点，那种成就感真是无与伦比。作者对那些看似晦涩的抽象概念的处理方式，实在是高明。比如，他对拓扑学中‘紧致性’的阐述，完全没有陷入那种枯燥的定义循环，而是通过一系列精心设计的几何直觉模型，让我这个非专业人士也能大致把握其精髓。更令人称道的是，书中对傅里叶分析的引入，不是简单地展示公式推导，而是深入探讨了其在信号处理中的实际应用背景，这让原本冰冷的数学工具瞬间变得鲜活起来，我甚至忍不住去翻阅了相关的工程学文献进行交叉学习。这本书的排版和插图设计也值得称赞，虽然内容深度很高，但视觉上的舒适度却保持得很好，这对于长时间阅读来说至关重要，极大地减轻了视觉疲劳。总而言之，这不是一本用来‘查阅’的参考书，而是一本需要你沉下心来与之‘对话’的严谨之作。

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这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教科书，它更像是一本关于‘数学思维模式’的哲学探讨录。作者在讲解如何进行严谨证明时，所采用的论证结构极其精妙。比如，在讨论黎曼几何中度量张量的引入时，他没有直接给出公式，而是从‘如何在弯曲空间中定义最短路径’这一直观物理问题出发，层层递进，最终引出协变导数和测地线的概念。这种从‘问题需求’倒推‘数学工具’的写作手法，极大地激发了我对数学逻辑的兴趣。我发现自己不再只是被动地接受结论，而是开始主动思考‘为什么必须是这样定义’。书中那些需要独立思考才能完成的挑战性问题，虽然耗费了我大量的时间，但每解决一个，都感觉自己的数学直觉又被重塑了一次。这本书的价值在于它教会你如何‘像一个数学家那样思考’，而不是简单地‘记住数学公式’。

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说实话，这本书的难度远远超出了我的预期，它更像是一本为研究生或资深研究人员准备的进阶读物，而不是我预想中那种可以帮助‘打基础’的教材。我尝试着去理解其中关于代数拓扑那一部分，结果发现，很多基本概念的定义都是高度精炼且假设读者已经具备扎实的群论和同调基础。书中对‘纤维丛’的讨论，虽然数学上极其精确，但对于缺乏专业训练的人来说，简直是天书。我发现自己花了大量时间去追溯书中引用的其他定理，这让我感觉自己像是在走一条非常曲折的捷径，而不是笔直的大道。当然，如果你的目标就是追求最严谨、最前沿的数学表达，那么这本书无疑提供了这样的平台。它的价值在于其内容的‘纯粹性’和‘完整性’，它忠实地记录了当代数学中几个核心分支的精髓理论框架。只是对于初学者，我建议一定要配合一个配套的习题解析或者更基础的入门书同时使用，否则很容易在浩瀚的符号海洋中迷失方向。

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junior yr trig/

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