大学数学系列教材·微积分学（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:307

译者:

出版时间:2008-6

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787040238792

丛书系列:

图书标签:

• 自控
• FLY
• 大学数学
• 微积分
• 高等教育
• 教材
• 理工科
• 数学分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《微积分学（上）：极限、导数与积分的基础》 前言 微积分，作为一门研究变化率和累积量的数学分支，是现代科学、工程、经济学乃至社会科学的基石。它提供了描述和分析动态世界不可或缺的强大工具。本课程《微积分学（上）：极限、导数与积分的基础》旨在为学习者系统地介绍微积分学的核心概念，建立扎实的理论基础，并培养运用这些工具解决实际问题的能力。我们将从最基本也是最核心的概念——极限出发，逐步深入到导数及其应用，最后触及积分的初步概念，为后续更深入的学习打下坚实基础。 第一章：函数与极限 本章是整个微积分大厦的基石。在开始探讨变化之前，我们必须首先理解“量”是如何依赖于“量”的，而这正是函数的本质。 1.1 函数的概念与表示法： 我们将从函数的定义出发，阐述函数的概念、域（定义域）和值域。函数可以有多种表示方式，包括解析法（用公式表示）、列表法、图像法和语言描述法。我们将重点掌握解析法和图像法，理解函数图像的几何意义，以及它如何直观地揭示函数的性质。我们将讨论常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数等基本初等函数，并深入研究它们的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。 1.2 极限的概念： 极限是微积分中最抽象但也是最关键的概念之一。它描述了一个函数在自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。我们将首先从直观的“无限接近”的概念入手，理解当自变量无限接近某值时，函数值是否也趋于某一固定值。随后，我们将引入ε-δ定义，这是一个严格的数学定义，它精确地刻画了极限的含义，是后续所有理论证明的根基。我们将学习求极限的方法，包括代入法、因式分解法、有理化法、夹逼定理等，并认识到当直接代入会产生0/0或∞/∞等不定型时，需要运用特殊的技巧。 1.3 极限的性质与运算法则： 了解了极限的定义后，本节将系统地介绍极限的各种性质，包括极限的唯一性、局部有界性、保号性等。更重要的是，我们将学习极限的运算法则：和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，积的极限等于极限的积，商的极限等于极限的商（在分母极限不为零的情况下）。这些运算法则使得我们可以通过对简单函数的极限进行组合，来计算复杂函数的极限，极大地简化了计算过程。 1.4 无穷小与无穷大： 这两个概念是理解极限行为的重要补充。无穷小量是指当自变量趋于某值时，函数值趋于零的量。无穷大量则相反，是指函数值趋于无穷大的量。我们将学习无穷小的比较（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小），这对于简化极限计算，特别是利用等价无穷小进行代换，具有重要的实际意义。 1.5 连续性： 在了解了极限的概念后，我们自然会想到函数在某一点“不间断”的性质，这就是连续性。我们将用极限的语言来定义函数在一点连续的条件：函数在该点有定义、函数的极限存在，并且函数值等于该点的极限值。我们将学习判断函数在一点连续性的方法，以及对复合函数、初等函数连续性的探讨。连续性是后续讨论可导性等更高级概念的前提。 第二章：导数 导数是微积分中最具革命性的概念之一，它揭示了事物变化的瞬时速率。从物理学中的瞬时速度，到经济学中的边际成本，再到工程学中的应力应变率，导数无处不在。 2.1 导数的概念： 我们将从平均变化率的概念出发，自然地过渡到瞬时变化率，这就是导数的定义。几何上，导数是曲线在某一点处切线的斜率；物理上，它表示某一量随另一量变化的瞬时速率。我们将给出导数的数学定义，即作为函数增量与自变量增量之比的极限。我们将学习通过导数定义计算一些基本函数的导数。 2.2 导数的计算： 本节将系统地介绍导数的基本计算公式，包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。在此基础上，我们将学习导数的四则运算法则：和、差、积、商的求导法则。这将使得我们能够计算绝大多数由基本函数组合而成的函数的导数。 2.3 复合函数求导法则（链式法则）： 链式法则是求导过程中最为重要的法则之一，它允许我们计算复合函数的导数。如果一个函数可以看作是另一函数的结果，而后者又依赖于另一个变量，链式法则将帮助我们有效地将各层函数的导数串联起来，得到最终的复合函数导数。我们将通过例子深入理解链式法则的应用。 2.4 高阶导数： 在计算了函数的导数之后，我们可以继续对导数求导，得到二阶导数、三阶导数，乃至任意阶导数，统称为高阶导数。高阶导数包含关于函数性质的更丰富信息。例如，二阶导数与函数的凹凸性有关，而高阶导数在泰勒展开等高级理论中扮演着重要角色。 2.5 隐函数求导法： 当方程不显含y关于x的表达式时，我们称这类函数为隐函数。隐函数求导法允许我们在不显化出y的情况下，通过对等式两边同时求导，然后解出y'来获得导数。这在处理复杂方程时尤为有用。 2.6 参数方程求导法： 当x和y都表示为某个中间变量（参数）的函数时，我们称之为参数方程。本节将介绍如何利用参数方程求导法，通过参数t计算dy/dx，而无需直接消去参数t。 2.7 导数的应用： 导数不仅仅是抽象的数学概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。本节将初步介绍导数的应用，包括： 单调性判断： 函数的导数为正时，函数单调递增；导数为负时，函数单调递减。 极值问题： 通过寻找导数为零的点（驻点）或导数不存在的点，并结合二阶导数检验，我们可以找到函数的局部极大值和局部极小值。 切线方程： 利用导数表示的斜率，我们可以方便地写出函数在某一点处的切线方程。 第三章：微分 微分是在导数概念基础上发展而来的一种表示函数增量的线性近似。它提供了一种理解和估算函数变化的方式。 3.1 微分的概念： 我们将通过导数的定义引入微分的概念。微分dy被定义为在某一点处，函数增量Δy的线性近似，即dy = f'(x)dx。其中dx是自变量的增量，dy是函数值的微小变化。 3.2 微分的计算： 本节将介绍如何计算函数的微分。如果y = f(x)，则dy = f'(x)dx。我们将学习一些基本函数的微分公式，以及微分的运算法则，与导数的运算法则类似，也遵循和、差、积、商的法则。 3.3 微分在近似计算中的应用： 微分提供了一种有效的近似计算方法。利用dy ≈ Δy，我们可以近似计算函数值在某一点附近的变化量，从而近似计算函数在该点附近的值。这在实际工程和科学计算中非常有用，可以避免复杂的直接计算。 第四章：不定积分 在前一章我们学习了如何从函数求导数，本章我们将反过来，研究如何从导数反求原函数，这就是不定积分。它是微积分学的另一个核心组成部分。 4.1 不定积分的概念： 如果F'(x) = f(x)，那么称F(x)是f(x)的一个原函数。由于常数项的导数为零，所以f(x)有无数个原函数，它们相差一个常数。不定积分记作∫f(x)dx，它表示f(x)的所有原函数的全体。 4.2 基本积分公式： 类似于基本求导公式，我们也有一系列基本的积分公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本积分公式。掌握这些基本公式是进行积分计算的基础。 4.3 线性性： 不定积分也具有线性性质，即积分的和等于和的积分，积分的差等于差的积分，常数可以提到积分号外面。这使得我们可以将复杂的积分分解为若干个简单积分的和或差。 4.4 换元积分法（第一类和第二类）： 当被积函数不易直接积分时，换元积分法是一种强大的技巧。第一类换元法（凑微分法）通常用于处理复合函数，通过巧妙地选取变量替换，将复杂的被积函数转化为更简单的形式。第二类换元法通常用于处理含有根式或三角函数的被积函数，通过引入新的参数变量，将积分转化为关于参数的积分。 4.5 分部积分法： 当被积函数是两个函数乘积的形式时，分部积分法是一种有效的积分方法。它基于乘积的求导法则反推而来，其公式为∫u dv = uv - ∫v du。通过合理地选择u和dv，可以将一个复杂的积分转化为一个可能更易于计算的积分。 第五章：定积分 定积分是在不定积分的基础上，用于计算函数在某一区间上的“累积量”的概念，它在几何上表示曲线下的面积。 5.1 定积分的概念（黎曼积分）： 我们将从直观的“面积”概念出发，引入定积分。通过将积分区间分成若干个小段，构造若干个矩形，然后取这些矩形面积之和的极限，即黎曼和的极限，来定义定积分。我们将讨论定积分存在的条件。 5.2 微积分基本定理： 这是连接导数和积分的桥梁，也是微积分学中最核心的定理之一。微积分基本定理表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在区间[a,b]上的定积分就等于F(b) - F(a)。这个定理极大地简化了定积分的计算，将求解定积分的问题转化为了求解原函数的问题。 5.3 定积分的性质： 本节将介绍定积分的各种性质，例如积分区间的可加性、常数因子可以提到积分号外面、比较性质、估值不等式等。这些性质在求解和估计定积分值时非常有用。 5.4 定积分的应用（初步）： 定积分在解决几何问题和物理问题方面有着广泛的应用。在本章，我们将初步探讨定积分的应用，例如： 计算平面图形的面积： 利用定积分可以计算由曲线、直线围成的平面图形的面积。 计算旋转体的体积（初步）： 简单介绍如何利用定积分计算由旋转曲线形成的简单旋转体的体积。 物理学中的应用（初步）： 简要介绍定积分在计算功、路程等物理量中的作用。 结语 《微积分学（上）：极限、导数与积分的基础》旨在为学习者提供一个全面而深入的微积分入门体验。我们循序渐进地从极限这一核心概念出发，逐步深入到导数及其丰富的应用，最后触及积分的初步概念。本课程不仅注重理论的严谨性，更强调实际问题的解决能力。通过本课程的学习，相信您将对微积分的强大力量有一个初步的认识，并为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

作为一名对习题集有着极高要求的工科学生，我深知光看不练假把式。市面上很多教材的配套习题往往是重复性劳动，要么太简单，要么就是超纲的“怪题”。然而，这本《微积分学（上）》的习题设计哲学明显是经过深思熟虑的。它的题量适中，但质量极高。基础巩固部分，确保了对基本运算技巧的熟练掌握；中等难度部分，开始要求学生进行概念的灵活组合运用；而最后的“综合与探究”部分，则真正体现了微积分思想的威力，往往需要将导数、极限的概念进行多层次的嵌套分析。我记得有道求函数在特定区间上最大最小值的题目，它巧妙地结合了物理中的“功”的概念，需要我先建立数学模型，再应用微积分工具求解。这种将纯数学与应用场景无缝对接的习题，极大地提升了我应用数学思维解决实际工程问题的能力，远比死记硬背公式有效得多。

评分☆☆☆☆☆

我对教材的排版和内容的组织逻辑有着近乎偏执的要求，因为清晰的脉络是高效学习的基础。这本书在这方面做得相当到位，可以说达到了教科书的典范级别。它的章节划分非常清晰，每节课的内容聚焦在一个明确的核心概念上，不会像有些教材那样把八竿子打不着的知识点硬塞在一起。更出色的是，它在知识点的引入和深化上把握得恰到好处。每一个新概念的提出，后面紧跟着的就是一连串由易到难的例题剖析。这些例题的选择非常精妙，它们不仅仅是用来检验你是否记住了公式，更重要的是展示了该公式在解决实际问题中的应用场景。我特别喜欢它在一些关键转折点设置的“深入思考”栏目，这些地方往往会探讨一些定理的边界条件或者历史背景，这让我明白了为什么数学家要那样定义，而不是仅仅停留在“记住它就能得分”的层面。这种结构使得学习过程不再是单向的灌输，而更像是一场由书本引导的、循序渐进的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《大学数学系列教材·微积分学（上）》的时候，我其实是带着一点忐忑的。毕竟微积分这门课，在很多同学的印象里就是“劝退专业课”的代名词，充满了各种看不懂的符号和绕来绕去的证明。我最担心的就是那种纯理论堆砌，看完一遍还是不知道公式到底是怎么来的，更别提怎么应用了。然而，这本书的开篇就给我吃了一颗定心丸。它的叙述方式非常注重直观性和几何意义的阐释。比如在讲极限概念的时候，作者并没有直接抛出那个晦涩的 $epsilon-delta$ 定义，而是花了大篇幅去描绘那个“无限靠近但不相等”的动态过程，配以大量的图示和生活中的类比。这让我一下子感觉抓住了核心，那些抽象的文字突然变得鲜活起来。尤其值得称赞的是，它在引入导数的概念时，非常自然地将切线的斜率和瞬时变化率这两个看似不相关的想法联系起来，过渡得行云流水。对于我这种需要时间来消化复杂概念的初学者来说，这种“慢工出细活”的讲解方式，极大地降低了我的学习门槛，让我有信心继续啃下去，而不是在第一章就被劝退。

评分☆☆☆☆☆

我购买过好几本不同的微积分教材，很多都存在一个通病：理论阐述极其严谨，但语言风格过于冷峻和学术化，对于非数学专业的学生来说，阅读体验简直是一场折磨。这本书的作者显然意识到了这一点，他们成功地在严谨性和可读性之间找到了一个完美的平衡点。书中的语言是那种带着温度的，仿佛一位经验丰富的老师在面对面给你讲解。他们会用一些非常形象的比喻来解释那些抽象的极限和连续性，例如用“橡皮筋”来描述函数的逼近过程，或者用“爬山”的场景来解释导数的正负与函数增减的关系。这种“人情味”十足的叙述，极大地缓解了学习过程中的挫败感。当我卡住某个地方时，翻阅到书中的讲解，常常会有一种“啊，原来是这么回事”的豁然开朗感，这对于维持学习的热情至关重要。

评分☆☆☆☆☆

从工具书的角度来看，这本书的辅助资源配置也做得非常人性化。在教材的最后部分，它附带了一个非常详尽的“微积分基本公式速查表”，这对于期末复习和日常查阅来说，简直是救命稻草。更让我惊喜的是，它对一些容易混淆的关键概念进行了特别的对比分析，比如将“定积分的微分”和“不定积分”在定义和物理意义上的差异，用表格的形式清晰地并列了出来。这种细致的对比避免了我们初学者在概念上产生混乱。此外，书中的排版在细节上也很讲究，公式编号清晰明了，引用关系一目了然。当我需要快速定位某个定理或定义时，翻阅起来效率极高，不会因为版面混乱而浪费时间。总的来说，这是一本不仅教会你“是什么”，更教会你“为什么”和“怎么用”的优质教材，绝对是大学数学学习的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆