高等数学习题集 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:83

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出版时间:2008-6

价格:9.80元

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isbn号码:9787508456317

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• 高等数学
• 数学分析
• 微积分
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• 数学

《探索数学的深度：从基础到前沿的解题之旅》 这是一本致力于引导读者深入理解数学核心概念、掌握各类解题技巧，并激发探索数学无限可能性的数学爱好者和学习者的理想读物。本书并非照搬现成公式的堆砌，而是力求展现数学思想的精髓，培养读者严谨的逻辑推理能力和创造性的问题解决能力。 本书内容聚焦于以下几个核心板块，旨在构建一个全面且富有启发性的数学学习体系： 第一部分：严谨思维的基石——解析几何与代数方法 解析几何的几何语言与代数表达： 我们将从解析几何的基本原理入手，深入探讨点、线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程表示及其几何性质。本书不会仅仅停留在公式的记忆，而是强调如何通过坐标系将抽象的几何图形转化为代数表达式，反之亦然。我们将解析直线方程在不同形式下的意义，如斜截式、点斜式、两点式、截距式，并分析它们在解决几何问题中的优势。对于圆，我们将深入理解标准方程和一般方程的相互转化，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。 圆锥曲线的统一视角与特殊性质： 椭圆、双曲线、抛物线作为圆锥曲线家族的重要成员，它们的定义、标准方程以及图形特征将得到详尽阐述。我们将重点分析它们各自的焦点、准线、离心率、对称轴等关键几何要素，并深入探讨它们在实际问题中的应用，例如天体运行轨道、卫星天线的设计等。本书将引导读者理解这些曲线之间的内在联系，以及它们如何从一个统一的几何概念（圆锥的截面）演变而来。 代数方程组的求解艺术： 本部分将系统梳理一元二次方程、高次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式等。更重要的是，我们将引入多元一次方程组和二次方程组的求解策略，如代入消元法、加减消元法。本书将特别强调方程组的几何意义，理解方程组的解对应于几何图形的交点。此外，我们还将触及一些特殊的代数方程，如齐次方程、对称方程的解法，培养读者观察方程结构、寻找简捷解法的能力。 不等式的世界： 不等式是数学中描述大小关系的重要工具。本书将详细介绍基本不等式的性质，如传递性、单调性，并深入探讨均值不等式、柯西-施瓦兹不等式等重要不等式及其证明方法。我们将通过大量的例题，展示如何运用这些不等式来解决求最值、证明数学命题等问题。理解不等式的几何意义，如数轴上的区间表示，也将是本书的重点。 第二部分：变化的规律与无穷的奥秘——微积分的探索 函数的极限与连续性： 极限是微积分的灵魂。本书将从直观的几何意义出发，深入理解函数在某一点的极限、无穷远处的极限，并给出严格的ε-δ定义。我们将学习求极限的基本方法，如代入法、约元法、等价无穷小替换法、夹逼定理等。连续性的概念将紧随其后，理解函数连续的直观含义以及不连续点的分类。 导数的概念与应用： 导数是描述函数变化率的有力工具。本书将从切线斜率和瞬时速度的直观背景出发，定义导数的概念，并学习求导的基本法则，如四则运算、复合函数求导法则、反函数求导法则。我们将深入探讨导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）。应用方面，我们将着重讲解利用导数求函数的单调性、极值、凹凸性，绘制函数图像，以及解决优化问题，如最大值、最小值问题。 积分的本质与计算： 积分是导数的逆运算，是求解面积、体积、累积量的重要工具。本书将首先介绍定积分的概念，理解其几何意义——曲边梯形的面积。我们将详细讲解牛顿-莱布尼茨公式，介绍不定积分的求解技巧，如换元积分法、分部积分法。本书将引导读者理解定积分在几何、物理、工程等领域的广泛应用，例如计算平面图形的面积、体积，以及计算物理中的功、流量等。 微分方程的初步认识： 微分方程是描述事物变化规律的数学模型。本书将介绍一些基本类型的微分方程，如可分离变量的方程、齐次方程、线性方程等，并给出求解它们的基本方法。虽然本书不对微分方程进行过于深入的探讨，但旨在为读者建立起初步的认识，理解微分方程在自然科学和社会科学中的重要作用，例如描述人口增长、放射性衰变、电路中的电流变化等。 第三部分：空间的维度与结构的思考——线性代数与多变量分析 向量及其运算： 向量作为描述方向和大小的数学对象，其在二维和三维空间中的表示、加减法、数乘、点积（数量积）、叉积（向量积）将得到详细阐述。本书将强调向量的几何意义，如平行、垂直、夹角等，并引出向量在几何问题、力学问题中的应用。 矩阵的表示与运算： 矩阵作为一种特殊的数表，其定义、加法、数乘、乘法、转置、逆矩阵等基本运算将详细介绍。我们将重点分析矩阵在表示线性变换、求解线性方程组中的作用。本书将引入行列式的概念，以及行列式与矩阵可逆性的关系。 线性方程组的矩阵解法： 本部分将深入讲解利用矩阵来求解线性方程组的方法，如高斯消元法（行变换）、克拉默法则（利用行列式）。我们将理解线性方程组解的结构，以及方程组解的存在性与唯一性条件。 多变量函数的概念与初步分析： 随着问题复杂度的增加，我们需要考虑多变量函数。本书将介绍多变量函数的定义，以及偏导数、方向导数等基本概念，理解它们如何描述函数在不同方向上的变化率。我们将初步接触多元函数的极值问题，了解如何利用偏导数来寻找函数的局部极值。 第四部分：离散的结构与组合的智慧——离散数学与组合学 集合论基础： 集合作为数学中最基本、最重要的概念之一，其定义、元素、子集、交集、并集、差集、补集等基本运算将得到清晰的讲解。本书将强调集合运算的逻辑规则，并介绍一些常见的集合，如自然数集、整数集、有理数集、实数集。 图论的基本概念： 图论是研究对象之间关系的数学分支。本书将介绍图的基本组成元素——顶点和边，以及不同类型的图，如无向图、有向图、连通图、完全图、二分图等。我们将学习图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表。 路径、回路与连通性： 在图论中，路径和回路是重要的概念。本书将定义路径、简单路径、回路、简单回路，并讲解如何判断图的连通性。我们将介绍欧拉路径和汉密尔顿路径的概念，以及判断它们存在的条件。 组合计数原理： 组合学是研究计数和排列组合的数学分支。本书将介绍加法原理和乘法原理，这是解决计数问题的基础。我们将详细讲解排列（Permutation）和组合（Combination）的概念、公式及其应用，例如从n个不同元素中取出k个进行排列或组合的方法数。 二项式定理与容斥原理： 二项式定理是展开 $(a+b)^n$ 的强大工具，本书将介绍其公式和证明，并探讨其在多项式计算中的应用。容斥原理是处理集合重叠计数问题的有力武器，我们将通过实例理解其原理和应用，例如计算不属于任何给定集合的元素的个数。 本书特色： 注重概念理解而非死记硬背： 每一章节都从直观的几何或物理意义出发，力求让读者深刻理解数学概念的本质。 丰富的例题与解析： 大量的精选例题覆盖了不同难度和类型的题目，每道例题都附有详尽的解题步骤和思路分析，帮助读者掌握解题技巧。 循序渐进的难度设置： 内容从基础概念逐步深入到更复杂的理论，适合不同数学基础的学习者。 启发式教学风格： 鼓励读者主动思考，通过提问和引导，激发读者对数学的探索欲望。 理论联系实际： 在讲解过程中，适时穿插一些数学在现实世界中的应用案例，让读者体会数学的价值。 无论您是希望巩固现有数学知识，还是渴望挑战更深层次的数学理论，亦或是仅仅对数学世界充满好奇，《探索数学的深度》都将是您旅途中不可或缺的伙伴。本书旨在培养您成为一名自信、独立、富有创造力的数学问题解决者。

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这本书的讲解风格简直是教科书级别的清晰度，没有任何拖泥带水或者故弄玄虚的地方，直击问题的本质。它不像有些参考书那样，用大段晦涩的文字来解释一个简单的概念，而是倾向于使用精确的数学语言和直观的图形辅助来说明问题。比如，在处理某些高维空间或抽象代数结构时，作者总能找到一个恰当的比喻或一个简洁的例子来锚定读者的理解，使得那些原本令人望而生畏的概念瞬间变得可以触摸和感知。即便是对于那些我之前一直感到模糊的证明过程，这本书也将其拆解成了若干个逻辑上无可挑剔的小步骤，每一步之间的推导都清晰可见，让读者能够真正理解“为什么会这样”，而不是仅仅记住“结果是什么”。这种教育学的智慧渗透在每一个例题的解析之中，让人感觉自己不是在看一本习题集，而是在接受一位顶级数学教授的一对一辅导。

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在使用过程中，我发现这本书的一个突出优点在于其对“常见错误解析”的重视程度，这部分内容体现了编写者深刻的教学反思。它没有简单地罗列出标准答案，而是专门辟出了一小块区域，来剖析学生在解题过程中最容易陷入的思维误区和计算陷阱。例如，它会明确指出在进行换元积分时忽略变量范围变化的后果，或者在处理极限问题时混淆了充分条件和必要条件的区别。这种“反向教学法”极其有效，因为它直接针对我们大脑中已经形成的错误认知进行靶向修正。通过阅读这些解析，我不仅订正了自己已经犯下的错误，更重要的是，我学会了如何在未来的解题过程中主动预判和规避这些潜在的逻辑漏洞。这不仅仅是一本“教你如何做”的书，更是一本“教你如何避免做错”的实用指南，其价值不可估量。

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我花了整整一周的时间来测试这本书中习题的难度梯度设计，感觉编写者对学习者的认知曲线把握得极其精准。开篇的几章，习题的设置更像是一种“热身运动”，它们巧妙地巩固了基础定义和基本定理的直接应用，确保读者在进入核心挑战之前，思维已经完全激活。随着章节的深入，难度曲线开始呈现出明显的爬升趋势，那些需要多步逻辑推理才能攻克的题目，开始占据主导地位。更有甚者，有些章节末尾的“综合大题”，简直就像是一场微型的期末考试，它要求你跳出单一知识点的框架，将前几章甚至前几节的内容进行融会贯通的整合。我特别欣赏它在一些关键转折点设置的“思维陷阱”类习题，它们不直接考察计算能力，而是考验你对概念理解的深度和严谨性，这正是区分一般学习者和优秀学习者的关键所在。这本书的习题设计，绝非简单的数量堆砌，而是一套精心设计的、层层递进的思维训练体系。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面的配色大胆而又不失稳重，那种深蓝与亮黄的碰撞，一下子就抓住了我的眼球。初次翻开，纸张的质感也令人愉悦，那种微微泛黄的米白色，即便是长时间阅读也不会让眼睛感到强烈的刺激。排版布局极其精良，无论是文字的行距、字号的选择，还是公式的对齐方式，都体现出编者对细节的极致追求。尤其是那些复杂的数学符号，清晰度极高，即便是第一次接触这类抽象表达的读者，也能迅速找到阅读的节奏感。书脊的牢固度也值得称赞，厚厚的书本在反复翻阅中依然保持着良好的形态，这对于一本需要经常查阅的工具书来说，无疑是一个巨大的加分项。整体来看，这本书在视觉和触觉上都提供了一种高级的阅读体验，让人从拿起它的那一刻起，就对即将开始的知识探索充满了敬意和期待。这种对实体书本身的重视，在如今这个电子阅读盛行的时代，显得尤为珍贵和用心。

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我注意到这本书在某些专题的覆盖面上展现出了极强的野心和广度，这超出了我对一本常规习题集的一般预期。通常的参考书往往集中火力攻克核心的几大块内容，但这本书似乎致力于构建一个相对完整的知识版图。从传统的微积分基础到稍微前沿的实分析预备知识，甚至在某些选修章节中，我惊喜地发现了关于数值方法的一些经典问题。这种广泛的涉猎，使得它不仅适合于特定课程的备考，更像是为那些志在深入研究数学的本科生准备的一份“知识地图”。它像是一个引路人，在你解决当前难题的同时，不断地暗示着更广阔的数学世界正在前方等待着你。这种宏观视野的培养，对于培养一个成熟的数学思维是至关重要的，它教会你如何从一个点辐射到整个面。

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