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出版者:

作者:齐民友 编

出品人:

页数:455

译者:

出版时间:2008-5

价格:42.00元

装帧:

isbn号码:9787307062078

丛书系列:

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《高等代数精要与应用》 书籍定位与内容概述 本书旨在为高等院校数学及理工科专业学生提供一套系统、深入且兼具实用性的高等代数学习资源。我们摒弃了传统教材中可能存在的繁复冗余的叙述，力求以精炼、清晰的语言构建起现代代数理论的完整框架，并着重展示其在不同学科领域中的核心应用。全书内容覆盖了群论、环论、域论的基础理论，矩阵理论的深化，以及线性空间结构的完备考察，旨在帮助读者不仅掌握代数运算技巧，更能理解抽象结构背后的深刻数学思想。 第一部分：基础结构与抽象代数入门 本部分是全书的基石，重点在于培养读者对抽象代数结构的直观感受和严谨的逻辑思维能力。 第一章：集合论基础与二元运算 本章首先回顾了集合、映射、等价关系等必要的预备知识，为后续的代数结构建立奠定基础。随后，我们引入二元运算的概念，并着重探讨封闭性、结合律、交换律等基本性质。我们引入了代数结构的初级概念，如半群和独异点。 第二章：群论基础 群是抽象代数的核心。本章从最基本的群的定义出发，系统地阐述了子群、陪集、拉格朗日定理及其推论。我们详细讨论了循环群的性质，并引入了群同态与同构的概念，着重讲解了第一、第二同构定理，它们是连接不同群结构的关键工具。特别地，本章会通过具体实例（如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$）来帮助读者理解抽象定义在具体对象上的体现。对于有限群，我们还会介绍正规子群、商群的构造，为后续的群作用理论做准备。 第三章：环论导引 本章将视角转向具有两种运算的代数结构——环。我们从环的基本定义出发，讨论了子环、环同态、零因子、整环等核心概念。环论中的关键部分在于理想的概念及其在构造商环中的作用，这与群论中的正规子群有直接的类比关系。本章深入探讨了主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）的概念，并详细分析了多项式环 $mathbb{K}[x]$ 上的理论，特别是多项式的带余除法和因式分解。 第四章：域论初步 域作为一种特殊的环，在分析和代数几何中占据核心地位。本章聚焦于域的扩张概念，从有理数域 $mathbb{Q}$ 开始，逐步过渡到代数扩张和超越扩张。我们详细讲解了最小多项式、代数闭包的概念，并初步探讨了伽罗瓦理论的动机和基本思想，为读者后续深入研究提供方向。 第二部分：线性代数：几何与代数交汇 本部分将前一部分的抽象思想应用于线性代数，从向量空间结构出发，深化对矩阵和线性变换的理解。 第五章：向量空间与线性映射 本章对线性代数进行更抽象的重构。我们不再局限于 $mathbb{R}^n$，而是推广到任意域上的向量空间。基、维数、线性坐标变换等核心概念被严格定义。线性映射（或称线性变换）被视为连接不同向量空间之间的结构保持映射，其矩阵表示依赖于所选基的选择，这强调了基变换的本质。 第六章：矩阵理论的深化 本章回归到矩阵的讨论，但从向量空间的角度进行升华。我们详细探讨了行列式的严格定义及其性质，重点放在其作为线性映射可逆性判据的角色。本章的核心在于特征值与特征向量的求解及其意义，特别讨论了矩阵的对角化问题，并引入了Jordan标准型理论，该理论提供了一个在一般情况下（非完全可对角化）对矩阵进行规范化表示的强有力工具。 第七章：内积空间与正交性 本章引入了内积（或称点积）的概念，从而赋予向量空间度量和角度的概念，使其具备几何直观。我们讨论了正交基、施密特正交化过程。对于线性算子，我们引入了伴随算子（或称共轭算子）的概念，并深入分析了正规矩阵、对称矩阵的谱分解定理，这些结果在线性最小二乘法和量子力学中具有基础性的应用。 第三部分：高级主题与应用模型 本部分旨在展示高等代数工具解决实际问题的能力，并为更高级课程做知识储备。 第八章：张量空间与多线性代数 本章引入张量的概念，将线性代数扩展到更高阶的结构。我们讨论了张量积的构造，其在多线性映射空间中的作用，以及张量在微分几何、物理场理论中的基本应用背景。 第九章：线性规划的代数基础 虽然线性规划更多属于优化理论，但其核心算法——单纯形法——的每一步迭代都深深植根于线性代数和矩阵运算。本章将展示如何使用基可行解、基变量、行初等变换等代数工具来高效地求解线性规划问题，体现了代数方法在工程决策中的实用价值。 第十章：代数结构在编码理论中的应用 本章提供一个直接的应用案例。我们讨论有限域（伽罗瓦域 $ ext{GF}(p^k)$）的构造和性质，并将其应用于现代编码理论，如循环码和BCH码的构造原理，展示了群论、环论如何保障信息传输的可靠性。 本书特色 1. 结构清晰，逻辑严密： 理论的引入严格遵循由浅入深、由具体到抽象的原则，确保知识体系的内在一致性。 2. 注重概念的几何与代数统一： 始终强调抽象概念（如群、环）与具体对象（如矩阵、向量空间）之间的联系。 3. 适度的难度与深度： 难度设置适中，既能满足专业基础课的要求，又为未来学习泛函分析、代数几何、密码学等领域打下坚实的基础，绝不回避深刻的理论，但会用清晰的方式引导读者掌握。 4. 丰富的例题与习题： 每章配有大量的、层次分明的例题，用于演示理论的应用，以及精心设计的习题，用于巩固和检验学习效果。 适用对象 高等院校数学、物理、化学、信息科学、电子工程、机械工程、经济学（偏向量化分析方向）等专业本科生及研究生。对于希望系统性回顾和深化线性代数与抽象代数知识的自学者，本书亦是理想的选择。

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这本书的排版和装帧简直是数学学习者的福音。拿到手里的时候，我就被它那种沉稳而又不失活泼的设计感吸引住了。封面设计很简洁，但色彩搭配却透露出一种严谨的美感，让人一看就知道这不是那种敷衍了事的教材。内页的纸张质量非常上乘，触感细腻，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳，这对需要大量看公式和例题的理工科学生来说太重要了。更值得称赞的是它的字体选择和行距控制，每一个数学符号都清晰可辨，即便是像积分符号这样复杂一点的符号，也能一眼区分出其细节。而且，书中的图表绘制简直是艺术品级别的，那些空间想象类的图示，立体感十足，色彩过渡自然，完美地将抽象的几何概念具象化了。我甚至觉得，仅仅是翻阅这本书，都能在潜移默化中提升我对美学的感知力。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心制作的工艺品，体现了出版方对知识的尊重和对读者的关怀。这种对细节的极致追求，在当今快节奏的出版市场中，实属难得，极大地增强了我的学习热情。

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坦白说，在接触这本书之前，我对“数学直觉”这个概念是持怀疑态度的，总觉得那不过是天才的专利。但这本书通过其独特的讲解视角，极大地激发了我的“数学感”。它不仅仅是在教你“怎么做”，更是在教你“为什么这样做”。在处理那些需要高阶技巧的证明题时，作者常常会穿插一些关于“数学家是如何思考的”的旁白或注解。比如，在讲解某些定理的几何意义时，作者会用非常形象的比喻，让我仿佛能“看到”函数的行为轨迹，而不是仅仅停留在符号的运算上。这种注重“直觉培养”的教学理念，使得我在面对全新的、从未见过的题目时，不再是手足无措，而是能基于已有的数学直觉，去尝试构建可能的解题路径。这种从“术”到“道”的升华，是很多纯粹的计算手册所无法企及的。它正在缓慢而坚定地重塑我学习数学的底层逻辑。

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这本书的习题设置体现了极高的专业水准和极大的诚意。我尤其欣赏它对习题类型的细致划分。它不像有些参考书那样，只罗列大量的计算题，而是将习题分成了基础巩固、应用拓展和思维挑战三个层次。基础题部分，数量适中，能有效地帮助我巩固刚刚学到的基本运算和定义，确保概念的扎实性。最让我受益的是“应用拓展”部分，这些题目巧妙地将微积分原理与物理、工程甚至经济学的模型相结合，让我真切地体会到这门学科的强大生命力和实用价值，打破了“数学是空中楼阁”的偏见。而“思维挑战”部分，虽然难度陡增，但它更侧重于考察对原理的深层理解和灵活运用能力，常常需要跳出固定的解题框架。更棒的是，对于这些难题，书后并非直接给出最终答案，而是提供了非常详尽的解题思路引导，这才是真正培养独立思考能力的关键所在。这种梯度分明的习题设计，真正做到了“因材施教”。

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这本书的参考价值已经远远超出了其作为一本学习辅助材料的范畴，它更像是一本可以随时翻阅的“数学思想手册”。我注意到，书中对于一些历史背景和概念演变的介绍非常到位。它会简要提及某个定理的提出者，以及他们当初面对的科学难题，这让学习过程充满了人文色彩和历史厚重感。当我了解到牛顿和莱布尼茨在创立微积分时所经历的智慧斗争和哲学思辨时，我对这些公式产生的敬畏感油然而生，也更能体会到今天我们学习的便利是多么来之不易。这种对知识体系“溯源”的做法，让学习不再是枯燥的知识点记忆，而是一场穿越时空的智力探险。此外，书中附带的“易混淆概念辨析”小栏目也极其精准，它专门挑出了那些最容易被学生混淆的定义和术语，并用简洁的语言进行对比纠错，省去了我大量来回翻阅不同章节进行交叉验证的时间，极大地提高了学习效率。

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我尝试过好几本号称是“入门级”的微积分教材，但大多都陷入了要么过于晦涩难懂，要么过于浅尝辄止的怪圈。然而，这本书的叙事逻辑和知识递进的节奏感，给我带来了耳目一新的感觉。它不是生硬地堆砌公式和定理，而是像一位经验丰富、极富耐心的老师，循循善诱地引导你进入微积分的世界。作者似乎非常理解初学者在哪些地方会卡壳，因此在关键概念的引入上，总是会设置一些非常生活化、非常贴近实际的例子作为铺垫。比如，在讲解极限的时候，它没有直接抛出$epsilon-delta$语言的定义，而是通过一个非常生动的故事场景，让你自然而然地感觉到“无限接近但永不相等”的那个临界点到底意味着什么。这种“故事化”的教学方式，极大地降低了初学者的心理门槛，让我感觉自己不是在“啃硬骨头”，而是在“解开一个有趣的谜题”。这种由浅入深，层层递进的讲解方式，真正体现了教学的艺术。

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