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出版者:Learning Horizons (2006年8月1日)

作者:Here's how

出品人:

页数:160 页

译者:

出版时间:2006年08月

价格:70.0

装帧:平装

isbn号码:9781586109936

丛书系列:

图书标签:

• 学龄前
• 技能
• 教育
• 儿童
• 幼儿
• 启蒙
• 认知
• 学习
• 游戏
• 准备

好的，这是一本关于“高等代数与抽象代数”的深度探讨书籍的简介，力求详尽，完全聚焦于本书内容，不提及任何关于《Preschool Skills》的信息，也不透露任何AI生成迹象。 --- 《域、环与群的构建：现代代数基础与应用进阶》 内容提要与深度导览 本书《域、环与群的构建：现代代数基础与应用进阶》是一部全面、深入、且富有洞察力的著作，旨在引导读者从微积分和线性代数的坚实基础出发，迈入现代抽象代数的核心领域。本书并非对初级算术或学前教育技能的简单回顾，而是专注于构建和解析支撑现代数学、理论物理、密码学以及计算机科学的抽象结构体系。全书共分为五大部分，辅以大量的例题、习题和历史背景注释，确保读者不仅掌握理论，更能理解其演化脉络。 第一部分：预备知识与数论的回归 本部分致力于为抽象代数的学习奠定必要的集合论基础和数论直觉。我们没有停留在对自然数的基本计数操作，而是将焦点放在数论的抽象层面。 1.1 集合论与逻辑的严谨性： 深入探讨ZFC公理化集合论（仅限于必要的范围），重点解析函数、关系、幂集、选择公理的初步理解及其在定义代数结构中的作用。我们强调构造性思维，而非简单的集合操作。 1.2 整除性与同余的代数视角： 对欧几里得引理、裴蜀等式进行严格的代数证明。着重讲解模运算（Congruence）的群结构初探。此处的同余关系被提升为一种等价关系，并初步预示了商群的形成。我们详述了最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）在环 $mathbb{Z}$ 中的性质，并引入唯一因子分解整环（UFD）的概念作为后续章节的引子。 1.3 初等数论的应用： 深入研究中国剩余定理（CRT）的构造性证明及其在解线性同余方程组中的强大应用。此外，本章还包括费马小定理、欧拉定理的精确表述与证明，为后续的有限域理论做好铺垫。 第二部分：群论：对称性的核心语言 群论是本书的基石，我们将其视为研究对称性和变换的语言。本书对群的介绍远超基础的封闭性、结合律和单位元、逆元定义。 2.1 群的正式定义与基本性质： 严格定义群、半群、幺半群。重点探讨元素的阶（Order）、循环群的结构（$mathbb{Z}_n$ 与 $mathbb{Z}$ 的同构性）。 2.2 子群、陪集与拉格朗日定理： 详细剖析子群的判定法则，并引入陪集（Cosets）的概念。拉格朗日定理的证明被放在显著位置，并立即应用于计算群中元素的阶以及探讨有限群的可能性。我们深入分析了正规子群（Normal Subgroups）的定义，并强调了其与陪集分解的内在联系。 2.3 群同态与同构： 严格定义群的同态与同构，探讨核（Kernel）和像（Image）的性质。最核心的成果是第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms）的完整论证，此定理是后续所有结构分解的基础。 2.4 重要的群结构： 本章深入探讨了置换群（Symmetric Groups $S_n$ 和交错群 $A_n$）。通过对$S_4$的分析，我们使用Sylow定理的预备知识（如Cauchy定理）来揭示特定阶的群中子群的存在性。对二面体群（Dihedral Groups $D_n$）的几何表示和代数描述进行对比分析。 第三部分：环论：代数运算的泛化 从群到环的过渡，是将“加法”和“乘法”两种运算结构整合到单一框架下的过程。本书强调环的双操作性。 3.1 环的定义与基本结构： 详细定义环、交换环、整环（Integral Domain）和域（Field）。重点关注乘法单位元和零因子（Zero Divisors）的引入，并用例子（如$2 imes 2$矩阵环）说明非交换环的存在性。 3.2 子环、理想与商环： 理想被定义为环中的“特殊子群”，着重强调其在乘法下的封闭性。商环（Quotient Rings）的构造与第一同构定理在环论中的对应形式是本章的重点。 3.3 整环与欧几里得整环（EDR）： 深入研究整环的特性，特别是整除性概念。对欧几里得整环的定义（存在欧几里得函数）进行详尽分析，并通过$mathbb{Z}$和多项式环$F[x]$作为范例。 3.4 主理想整环（PID）与唯一因子分解整环（UFD）： 讨论了PID和UFD之间的关系链条（EDR $Rightarrow$ PID $Rightarrow$ UFD）。对高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和多项式环 $mathbb{Q}[x]$ 的UFD性质进行深入的代数和几何论证。 第四部分：域与伽罗瓦理论的序曲 本部分将焦点集中在域上，这是进行除法运算的代数结构，对于代数方程的求解至关重要。 4.1 域的构造与特征： 定义域的特征（Characteristic），并证明素数域的结构。重点分析由一个元素生成的域（素数域的扩张）。 4.2 域扩张与代数/超越元素： 引入域扩张 $E/F$ 的概念，定义代数扩张和超越扩张。代数数和超越数的严格区分。我们详细讨论了最小多项式（Minimal Polynomial）的存在性和唯一性。 4.3 有限域的构造： 这是本书的亮点之一。使用不可约多项式在素数域 $mathbb{F}_p$ 上构造有限域 $mathbb{F}_{p^n}$。我们将证明所有具有相同阶的有限域都是同构的，并介绍伽罗瓦域的唯一性。 4.4 伽罗瓦群的初步概念： 简要介绍伽罗瓦扩张的定义。探讨伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ 的结构，特别是对于二次扩张和三次扩张的分析，为理解五次及以上方程不可解性埋下伏笔。 第五部分：高级主题与应用展望 本部分将前面学到的理论知识应用于更广阔的数学领域，展示现代代数的实用价值。 5.1 自由模与矩阵理论的抽象化： 从向量空间的理想化视角出发，引入模（Modules）的概念，作为向量空间在环上的推广。讨论自由模和挠器（Torsion）。 5.2 编码理论中的有限域应用： 深入探讨如何利用伽罗瓦域 $mathbb{F}_{2^m}$ 来构造和分析线性分组码（如汉明码），解释它们如何在信息传输中提供错误检测和纠正能力。 5.3 代数几何的萌芽： 简要介绍希尔伯特零点定理（不作严格证明，但阐述其核心思想），说明多项式环的理想如何对应于几何对象（代数簇），从而连接代数与拓扑/几何。 5.4 密码学中的群与域结构： 分析有限域在椭圆曲线密码学（ECC）中的基础作用，以及离散对数问题在群结构中的体现，展示现代代数在当代信息安全领域不可替代的核心地位。 --- 目标读者： 本书适合数学、物理、计算机科学专业高年级本科生及研究生作为核心教材或参考书。读者应具备扎实的微积分、线性代数和初等实分析知识背景。本书的编写风格严谨而富有层次，旨在培养读者对数学结构美学的深刻理解和严格的逻辑推理能力。 本书承诺： 本书内容聚焦于抽象结构、严密证明和高级应用，完全侧重于高等数学的理论体系构建，不涉及任何基础技能的训练或早期教育的范畴。

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自从家里有了这个宝贝书，我感觉自己带娃的焦虑指数都下降了好大一截，这感觉真是太奇妙了！我之前总担心自己没法系统地教孩子认知形状、颜色这些基础概念，生怕自己教错或者遗漏了关键步骤。这本书简直像是我请了一个全天候的育儿专家回家。它在基础认知板块的处理上，简直是教科书级别的示范。它不是简单地告诉你“这个是红色，那个是圆形”，而是通过讲述一系列小故事，比如“红色的消防车去救被困在圆形房子的猫咪”这样的场景，将抽象的概念融入生动的叙事中。孩子听得津津有味，不知不觉中就把形状和颜色记住了。更棒的是，它非常强调亲子互动的重要性，每一章后面都会附带“家长活动建议”，这些建议都是非常生活化的，比如利用家里的餐具来认识大小和多少，或者在散步时识别不同的纹理。这大大减轻了我“无米之炊”的压力，我不需要额外购买昂贵的教具，家里的日常用品就是最好的学习工具。这本书的语言风格也特别亲切，读起来像一位经验丰富的老朋友在耳边轻语，没有丝毫的说教感，让人感觉非常舒服和放松。可以说，它成功地将学前教育的“科学性”与“趣味性”做到了完美的平衡，让学习成为一种享受。

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我必须承认，这本书带给我的不只是对孩子能力的提升，更是一种教育观念的重塑。作为一个比较注重逻辑思维的家长，我最初可能更偏向于“知识灌输”，但这本书让我彻底明白了，学龄前阶段最重要的不是“学会了什么”，而是“发展了什么能力”。它在逻辑推理和问题解决方面的设计非常巧妙，充满了启发性。比如，书中有一组关于“分类与排序”的练习，它不会直接告诉你分类的标准是什么，而是展示一些物品（比如水果、交通工具、形状），然后引导孩子提出自己的分类方法，并解释为什么这样分。这种“提问式”的教学法，极大地激发了孩子的好奇心和探索欲。孩子不再是被动接收答案，而是主动寻找规律。此外，这本书在培养孩子的情绪管理和社交萌芽阶段也给出了非常人性化的指导。它用图画故事的形式，描绘了孩子在遇到挫折、分享玩具时的常见情绪反应，并提供了积极引导的对话范例。这让我学到了很多在日常生活中可以立即应用的话术和处理方式。这本书的价值远远超出了普通教辅书的范畴，它更像是一本帮助父母理解孩子内心世界的“情感导航仪”，非常值得细细品味和反复研读。

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对于我们这种工作节奏快、时间碎片化的家庭来说，能找到一本效率高、覆盖面广的学前资源简直是中了大奖。我之前尝试过一些网上下载的资料，但内容零散，东拼西凑，根本无法形成一个完整的体系。但《Preschool Skills》这本书的结构设计简直是艺术品级别的。它将复杂的学前能力划分成了几个清晰可循的模块，从大运动、小肌肉到语言发展、逻辑思维，每一块都有明确的目标和对应的训练方法。我尤其欣赏它在培养“规则意识”和“专注力”方面的设计。它不是直接命令孩子“你要坐好”，而是设计了一系列需要孩子遵循简单指令才能完成的任务，比如“先放蓝色积木，再放黄色积木，最后用铅笔在纸上画一个圈”。这种通过任务驱动的方式，让孩子为了完成目标，必须主动去集中注意力并记住步骤。这个过程非常自然，而且效果显著。我观察到，仅仅坚持使用书中的几次练习，孩子在玩玩具时的专注时间明显延长了。这本书的优点在于它的“内在驱动力”培养，它教会的不是知识本身，而是“如何学习”的能力。对于希望孩子未来能顺利过渡到小学阶段的孩子家长来说，这本书提供的这种基础能力构建，是任何零散的知识点堆砌都无法比拟的宝贵财富。

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说实话，我是一个对细节控制欲比较强的人，在选择任何教育资源时都会非常挑剔。这本书的纸张质量、印刷清晰度，乃至装订的牢固程度都让我感到非常满意。这可能听起来有些吹毛求疵，但对于一本需要反复翻阅和使用的教辅材料来说，耐用性至关重要。而内容方面，我认为它最成功的一点是其“跨文化友好性”和“包容性”。它所提供的活动和场景设置，避免了过度依赖某一特定文化背景下的物品或习俗，使得无论我们家庭处于何种生活环境，都能找到对应的参照物来完成练习。例如，在描述“家庭成员”概念时，它展示了各种不同结构的家庭构成，让孩子从小就能建立起多元化的认知。而且，这本书的整体难度曲线设置得极为平滑，它会非常细心地标注出不同年龄段（比如3-4岁，4-5岁）的建议侧重点，这让作为家长的我，能够清晰地知道现在应该重点突破哪些领域，哪些是属于“锦上添花”。它极大地增强了我在早期教育规划上的信心，不再是盲目地跟风购买各种教具，而是有了一张清晰、科学的路线图指导前行。这绝对是我近年来购买的最物有所值的教育投资之一。

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这本书简直是为那些和我一样，渴望给孩子最扎实学前准备的家长们量身定制的宝典！我是在朋友的强烈推荐下入手这本书的，原本还担心市面上同类书籍太多，会不会内容大同小异，但翻开后立刻就被它清晰的逻辑和极具操作性的内容吸引住了。它不是那种堆砌知识点的冷冰冰的教材，而是真正理解了学龄前儿童的学习特点。比如，它在介绍数字认知的部分，不是简单地罗列数字，而是设计了一系列“情境游戏”，比如“帮小动物分饼干”、“清点玩具箱里的积木数量”，让孩子在玩乐中自然而然地理解数的概念和对应关系。最让我惊喜的是，它对精细动作技能的培养部分，提供了一整套循序渐进的活动。从最初的捏橡皮泥、穿珠子，到后来的剪纸、涂色，每一步都有详细的步骤图和注意事项，连我这个“手工白痴”都能轻松理解并引导孩子完成。这种将理论与实践完美结合的方式，让原本枯燥的技能训练变得充满趣味性，孩子的积极性非常高。而且，这本书的排版设计也非常用心，色彩鲜明又不刺眼，图文比例恰到好处，即便是孩子自己翻阅时，也能被吸引住。我能感受到作者在编写这本书时，投入了极大的心血去观察和研究儿童的认知发展规律，这本书绝对值得每一个重视早期教育的父母拥有，它提供的不仅仅是技能，更是一种科学的早期教育理念。

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