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出版者:Prentice Hall

作者:C. Edwards

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2002-04

价格:USD 36.67

装帧:Paperback

isbn号码:9780130620231

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 多元函数
• 数学分析
• 高等数学
• 微积分学
• 数学
• 理工科
• 工程数学
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《物理学中的线性代数：从基础到应用》 本书简介 本书旨在为物理学及相关工程领域的学生和研究人员提供一套全面、深入且实用的线性代数知识体系。它不仅仅是一本数学教科书，更是一座连接抽象数学概念与具体物理现象的桥梁。线性代数是现代物理学的核心语言，从量子力学的波函数表示到经典力学的拉格朗日量分析，再到电磁场理论的张量描述，无不依赖于其严谨的框架。本书的独特之处在于，它紧密围绕物理学的实际需求来组织和阐述数学内容，力求使读者在掌握必要数学工具的同时，深刻理解这些工具在物理世界中的实际作用。 第一部分：基础构建——向量空间与矩阵运算 本部分从最基本的概念入手，为后续深入学习打下坚实的数学基础。 第一章：向量空间的概念与性质 本章首先介绍了向量的几何直观，随后过渡到抽象的向量空间定义。我们将详细讨论线性无关性、基（Basis）的概念，以及维度（Dimension）的确定。重点强调了函数空间（如希尔伯特空间的前身）作为向量空间的例子，并探讨了有限维和无限维向量空间的区别。为了更好地服务于物理应用，我们引入了内积空间，定义了内积、范数和长度，这是构建几何直观的关键。 第二章：线性变换与矩阵表示 线性变换是描述物理系统演化和状态转换的核心工具。本章详细分析了线性变换的性质，包括其核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）。我们将重点讨论如何通过选择不同的基来表示同一个线性变换，从而引入相似变换的概念。矩阵的乘法将被赋予深刻的物理意义，例如两次物理操作的复合。此外，我们还将引入伴随算子（Adjoint Operator）的概念，为后续的厄米算符打下基础。 第三章：行列式与矩阵的分解 行列式在物理中扮演着面积、体积的缩放因子角色，尤其在坐标变换和雅可比行列式的计算中至关重要。本章不仅介绍了行列式的代数计算方法，更深入探讨了其几何意义。随后，我们将转向矩阵的分解，特别是LU分解和QR分解，这些都是数值计算中求解线性方程组和最小二乘问题的基础。 第二部分：特征分析与动力学——本征值问题 本部分是全书的重中之重，它直接关联到物理学中最为核心的“本征问题”。 第四章：本征值、本征向量与对角化 本征值问题（$Amathbf{v} = lambda mathbf{v}$）是理解系统稳定性和特征模式的钥匙。本章详细推导了特征多项式，并系统地分析了实对称矩阵和复厄米矩阵的本征值性质（如本征值必为实数）。我们将探讨如何通过相似变换将矩阵对角化，并展示对角化在简化高阶微分方程求解中的强大威力。 第五章：谱定理与正交分解 谱定理是量子力学的基础支柱之一。本章专注于谱定理，特别是对于厄米算符的谱分解。我们将介绍施密特正交化过程，并用它来构造任意向量空间的正交基。这部分内容将直接联系到量子力学中态矢的完备性与投影算符（Projection Operators）的构建。 第六章：广义特征值问题与张量基础 为了处理更复杂的物理系统（如振动分析），本章引入了广义本征值问题（$Amathbf{v} = lambda Bmathbf{v}$）。同时，为了迎接张量分析的挑战，本章开始引入张量的基础概念，将其定义为描述多线性关系的数学对象，并通过基矢变换来理解协变与逆变分量的区别。 第三部分：应用深入——几何与物理模型 本部分将前两部分学到的工具应用于具体的物理情境，展示线性代数的强大普适性。 第七章：二次型与主轴变换 二次型在物理中常用于描述能量、应力或惯性矩。本章分析了二次型的标准形式，并通过正交变换（主轴变换）消去混合项。我们将演示如何通过特征值分析来确定椭球体或抛物面等二次曲面的主轴方向，这在刚体转动和晶体学中具有直接的指导意义。 第八章：傅里叶级数与函数空间的完备性 本章将视角从有限维扩展到无限维函数空间。我们将详细讨论傅里叶级数的收敛性，并将其置于希尔伯特空间的框架下。关键在于展示三角函数集合作为该空间的一组正交基，并利用投影来计算任意物理波形在这些基上的分量（傅里叶系数）。 第九章：张量分析在物理学中的应用 本章深入探讨张量的具体应用。我们将从二阶张量（如应力张量、惯性张量）出发，解释张量分量如何独立于坐标系选择。重点分析张量在坐标系旋转下的变换规律，并阐述张量运算（如张量积、缩并）在描述物理场（如电磁场中的法拉第张量）时的简洁性与优越性。 第十章：奇异值分解（SVD）与数据处理 奇异值分解（SVD）是现代科学计算中处理大规模数据和低秩近似的核心技术。本章详细介绍SVD的构造过程，并将其与物理学中的数据降维、主成分分析（PCA）联系起来。在涉及实验数据分析和误差最小化的问题中，SVD提供了最稳健的求解方法。 结语 本书的编写遵循“物理驱动数学”的原则，每一章的数学概念都伴随着清晰的物理例证或应用案例。读者在完成本书的学习后，不仅能熟练掌握线性代数的核心算法和理论，更重要的是，能以线性代数的语言去理解和构建更复杂的物理模型。

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我必须强调这本书在理论严谨性上所达到的高度，这绝非一本仅停留在“计算技巧”层面的教材。对于那些准备未来进入理论物理、高级工程学或者数学研究领域的读者来说，这一点尤为重要。书中对向量微积分部分的处理，特别是格林公式、斯托克斯定理和散度定理的阐述，达到了令人赞叹的深度和清晰度。作者并没有满足于仅仅给出这些定理的罗尔（Rolle）式的陈述，而是花费了大量的篇幅来证明它们，并且对证明过程中的每一步逻辑跳跃都进行了细致的入微的讲解，确保读者理解了其背后的拓扑和分析基础。这种对“为什么会这样”的执着探索，使我不再满足于套用公式解题，而是开始真正理解这些定理在流体力学和电磁学等领域中的根本地位。更令人欣赏的是，书中对这些高阶定理的几何解释——比如如何将线积分、面积分与更高维度的微积分联系起来——处理得干净利落，避免了不必要的繁复计算，让复杂概念变得触手可及。

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这本书的习题设计简直是一场精心策划的“智力马拉松”。它们不是简单地重复课本例题的数字替换，而是充满了挑战性和启发性。我发现，许多练习题的设计旨在迫使你跳出固有的思维定势，将不同章节的知识点进行交叉融合。例如，某一章关于极坐标系下的梯度计算练习，巧妙地结合了前一章关于拉格朗日乘数法的内容，如果你没有真正掌握两者之间的联系，那道题就会变得异常棘手。这种**跨章节的整合性练习**，是检验学习者是否真正内化了知识体系的试金石。更棒的是，本书的难度梯度控制得非常好，从基础巩固到极具思考深度的“挑战题”，分层明确。那些被精心挑选出来的应用题，往往贴近现实世界的物理场景，这极大地增强了学习的动力——你不是在解一个纯粹的数学问题，而是在用数学语言描述和解决一个真实世界的问题。

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这本书在概念阐述上的“人情味”是其最让人感到亲切的地方。它成功地避免了许多经典教材那种冷峻、不苟言笑的风格，反而带有一种耐心的导师在身边的感觉。作者似乎深知在学习多变量微积分的某个节点，比如面对雅可比行列式或曲面积分时，学生很容易产生“我再也看不懂了”的挫败感。因此，书中许多关键性的定义和定理后面，都会附带一段“注解”或“洞察”，用**非正式但极其精准的语言**来剖析这个数学对象的“脾气秉性”。例如，在介绍曲面参数化时，作者并未直接给出标准公式，而是先描绘了一幅“想象一张橡皮膜被拉伸和扭曲”的动态画面，这种具象化的描述，瞬间击穿了符号的壁垒。对于我这种偏好通过“故事”来理解复杂系统的学习者来说，这种充满鼓励和引导性的叙事风格，是坚持学完这门高难度课程的最大精神支柱。

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从排版和装帧来看，这本书无疑是一流的出版物。作为一个经常需要查阅和反复翻阅的工具书，它的耐用性和易读性是至关重要的。纸张的选择非常考究，不仅吸墨均匀，减少了阅读时的反光带来的疲劳感，而且足够厚实，经得起频繁翻阅的磨损。更值得称赞的是字体和符号的渲染：黑体、斜体、上标、下标以及希腊字母的印刷质量都无可挑剔，**关键的数学符号被清晰地凸显出来**，在快速浏览查找特定公式时，眼睛能迅速锁定目标，这对于在解题过程中“对证”至关重要。此外，章节标题、定理和定义的格式化都保持了高度的一致性和逻辑性，使得整本书的阅读体验非常流畅，几乎没有出现过因排版混乱而导致理解中断的情况。这种对细节的极致追求，体现了出版方对高等数学学习者需求的深刻理解。

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这本《**Multivariable Calculus**》简直是为那些在微积分的单变量世界中感到束缚，渴望探索更高维度空间的学习者量身定做的宝典。书的结构设计得极其巧妙，它不像其他教科书那样一上来就抛出密集的公式和抽象的定义，而是用一种非常直观的方式，从我们熟悉的平面几何和向量代数的基石上，一步步搭建起三维乃至更高维度的直观感受。比如，书中对偏导数的引入，简直是教科书级别的示范——它不仅仅告诉你“如何求”，更清晰地解释了“它代表什么物理意义”：想象你在一个崎岖的山坡上，偏导数就是沿着你选择的特定方向上坡或下坡的瞬时速率。作者似乎深谙我们理解几何直觉的难点，所以大量使用了高质量的、富有洞察力的图示来辅助解释复杂的曲面、向量场和多重积分的区域。读完前几章，我感觉自己仿佛戴上了一副“三维眼镜”，以前看作图晦涩难懂的积分区域，现在都能在脑海中清晰地“触摸”到了。这种从直觉到形式的平滑过渡，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。对于自学者来说，这种由浅入深、循序渐进的叙述方式，是避免迷失在符号海洋中的关键救生索。

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