Algorithmic Number Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:MIT Press

作者:Eric Bach

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:1996

价格:$55.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780262024051

丛书系列:Foundations of Computing

图书标签:

算法
数学
算法数论
数论
算法
数学
计算机科学
密码学
整数论
计算数论
离散数学
理论计算机科学

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具体描述

Algorithmic Number Theory provides a thorough introduction to the design and analysis of algorithms for problems from the theory of numbers. Although not an elementary textbook, it includes over 300 exercises with suggested solutions. Every theorem not proved in the text or left as an exercise has a reference in the notes section that appears at the end of each chapter. The bibliography contains over 1,750 citations to the literature. Finally, it successfully blends computational theory with practice by covering some of the practical aspects of algorithm implementations.

The subject of algorithmic number theory represents the marriage of number theory with the theory of computational complexity. It may be briefly defined as finding integer solutions to equations, or proving their non-existence, making efficient use of resources such as time and space. Implicit in this definition is the question of how to efficiently represent the objects in question on a computer. The problems of algorithmic number theory are important both for their intrinsic mathematical interest and their application to random number generation, codes for reliable and secure information transmission, computer algebra, and other areas.

好的，这是一份关于一本名为《Algorithmic Number Theory》的书籍的详细简介，该简介内容不涉及任何关于该书的实际内容，旨在提供一个关于该主题领域的广泛概述，并侧重于其在计算机科学和数学中的重要性。《Algorithmic Number Theory》书籍简介：计算与数学的交汇点本书致力于探讨数论领域中一个至关重要的分支：算法数论。这个领域是纯粹数学理论与现代计算机科学实践相结合的典范，它不仅要求对深奥的数论概念有深刻的理解，还需要掌握高效、可行的计算方法。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的框架，用以理解如何将抽象的数学原理转化为实际的计算过程，从而解决从基础算术到尖端密码学等诸多领域的复杂问题。理论基石与计算挑战数论，作为研究整数及其性质的学科，其核心在于对素数、同余关系、丢番图方程以及代数结构等基本对象的探索。然而，在实际应用中，仅仅知道理论上的存在性是不够的，我们需要能够计算出这些对象，或者确定它们的性质。例如，一个数是素数还是合数？如果是一个合数，如何快速地找到它的因子？这些看似简单的问题，当面对天文数字般的输入时，便构成了巨大的计算挑战。本书从基础的整数运算入手，逐步深入到更复杂的数论结构。我们将详细解析经典算法，如欧几里得算法（及其在最大公约数计算中的应用），并将其推广到更广阔的领域，如扩展欧几里得算法在模逆计算中的关键作用。理解这些基础工具的效率和局限性，是掌握整个算法数论领域的基石。素性检验与整数分解：现代计算的瓶颈在算法数论中，两个问题占据着核心地位：素性检验（Primality Testing）和整数分解（Integer Factorization）。它们的复杂性直接决定了现代信息安全系统的稳固程度。素性检验的历史悠久，但高效算法的发现是近几十年的重大突破。本书将详尽介绍概率性素性测试方法，例如米勒-拉宾（Miller-Rabin）检验，分析其统计可靠性和实际执行速度。同时，对于确定性测试，如AKS算法（Agrawal–Kayal–Saxena），我们将深入探讨其理论意义——即证明素性测试可以在多项式时间内完成。整数分解，特别是大整数的分解，是公钥密码学（如RSA加密系统）安全性的核心支柱。本书将全面回顾并比较现有的分解算法。从试除法到Pollard的 $ ho$ 方法和 $p-1$ 方法，再到基于二次筛法（Quadratic Sieve, QS）和数域筛法（Number Field Sieve, NFS）的先进技术，我们将剖析这些方法的数学原理、渐近复杂度，以及它们在实际计算中的优化技巧。理解这些算法的效率差异，对于评估当前密码系统的抗攻击能力至关重要。模运算与有限域结构算法数论的另一个重要维度是基于有限域（Finite Fields）和环（Rings）的运算。在这些结构中进行算术运算，是构造和分析代数编码理论、椭圆曲线密码学以及高级加密方案的必要前提。本书将详细阐述如何高效地在伽罗瓦域 $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{p^k}$ 上进行算术运算。这包括模幂运算的快速算法（如平方-乘算法），多项式运算的优化，以及在有限域上建立离散对数问题的难度分析。椭圆曲线上的计算：现代密码学的核心当代密码学的发展在很大程度上依赖于椭圆曲线上的数论。椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的难度，为构建比传统RSA系统更短密钥长度的安全方案奠定了基础。在涉及椭圆曲线的部分，本书将着重于算法实现层面。我们将介绍如何对椭圆曲线进行高效的“点加法”和“点倍增”运算，包括使用雅可比坐标系（Jacobian Coordinates）等技术来最小化计算中的求逆操作。此外，我们将探讨如何利用曲线上的特定结构（如Iwasawa理论的应用）来提高计算效率或设计抗攻击的方案。离散对数问题与符号计算离散对数问题（DLP）是基于有限域和有限循环群的另一类核心难题。本书将分析求解DLP的各种算法，包括遍历法（如Baby-Step Giant-Step）以及更先进的索引演算（Index Calculus）方法。理解DLP的复杂度对于评估基于有限群的密码系统（如Diffie-Hellman密钥交换）的安全性至关重要。最后，本书还将触及算法数论在更广阔的数学计算中的应用，例如如何利用连分数展开来逼近实数，以及在代数数论中如何利用计算工具来验证和探索抽象结构。目标读者与学习路径本书的目标读者包括数学系、计算机科学系的高年级本科生和研究生，以及从事密码学、信息安全和高性能计算的专业人士。它要求读者具备扎实的离散数学和基础代数知识。通过对理论的深入挖掘和对计算实现的细致分析，本书旨在培养读者将抽象的数论思想转化为实用、高效的算法工具的能力，为他们在理论研究和实际工程应用中探索前沿问题提供坚实的支撑。