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经济数学（下册）：理论深化与应用拓展 本书旨在承接《经济数学（上册）》所奠定的坚实基础，系统性地引入和深化经济学分析中至关重要的中高级数学工具与方法。本书聚焦于将抽象的数学模型转化为具有实际解释力的经济洞察，覆盖了更复杂经济现象的建模需求，尤其侧重于动态系统、优化理论的进阶应用以及概率论在不确定性经济环境下的精细刻画。 --- 第一部分：高级微积分与多元优化理论的经济学应用 本部分将对高等微积分的核心概念进行深入挖掘，并将其直接嫁接到复杂的经济决策模型中。 第一章：多元函数的偏微分与隐函数定理的经济学诠释 在《上册》中，我们探讨了单变量函数的求导与边际分析。本章则将重点放在多变量函数，这是描述现实经济系统中相互依赖性的基础。 偏导数与多重边际概念的精确界定： 详细阐述在保持其他变量不变的严格控制下，单个要素变化对总效应的影响。例如，在生产函数$Q=f(L, K, dots)$中，如何分离劳动力和资本的边际贡献。 全微分与边际替代率（MRS）的几何与代数表达： 深入剖析无差异曲线或等产量线上的斜率如何通过偏导数之比精确衡量。讨论技术替代率（MRTS）在不同生产技术形态下的变化趋势。 隐函数定理在经济模型中的作用： 探讨当变量之间存在内生约束关系时，如何确定一个变量对另一个变量的间接影响。例如，在一般均衡分析中，价格体系的微小变动如何影响市场出清状态，即使这些价格变化本身受到市场出清条件的制约。 多元函数的极值点检验： 引入Hessian矩阵的概念，详细讲解二阶偏导数测试（鞍点、局部最大值、局部最小值）在消费者效用最大化和厂商利润最大化问题中的应用，特别关注拟凹性（Quasi-concavity）和严格拟凹性在保证全局最优解存在性中的关键作用。 第二章：约束优化理论的深入探讨——拉格朗日与库恩-塔克方法 优化是经济学的核心驱动力。本章将重点解决带有复杂等式和不等式约束的优化问题。 拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）的经济学精髓： 不仅教授如何求解，更重要的是解读拉格朗日乘子（$lambda$）的经济意义——它代表了资源稀缺性或约束放松带来的边际福利变化（影子价格）。通过具体案例分析（如预算约束下的效用最大化），阐明其作为“机会成本”的直观理解。 不等式约束下的优化——库恩-塔克（Kuhn-Tucker, K-T）条件： 引入了现实中普遍存在的资源限制（如非负约束、最小生产量要求等）。详细推导并应用K-T条件，包括互补松弛性（Complementary Slackness）的经济学含义——即只有在约束被“紧紧约束”时，其对应的乘子才非零。 经济学中的应用实例： 跨期资源配置、政府预算约束下的福利分配模型，以及企业在原材料供给受限情况下的产出决策。 --- 第二部分：动态经济分析——微积分与差分方程的交织 经济活动是随时间演化的过程。本部分将数学工具从静态分析扩展到动态系统，这是理解宏观经济学和金融市场波动的基础。 第三章：微分方程在经济增长模型中的应用 微分方程用于描述变量随时间的连续变化率。 一阶线性与非线性常微分方程（ODE）： 求解和分析经济变量（如资本存量、消费率）的时间路径。重点分析稳定状态（Steady States）的性质——系统最终将趋向于哪个平衡点，以及该平衡点是否稳定。 索洛（Solow）增长模型的时间路径分析： 利用微分方程精确描述资本积累过程，推导并分析“黄金法则”下的资本积累率，并探讨技术进步对外生增长的贡献。 动态系统的相平面分析（Phase Diagrams）： 引入相平面法来直观考察两个或多个相互关联的动态变量（如资本与劳动力）的联合演化路径，识别收敛、发散或极限环等复杂行为。 第四章：差分方程与离散时间动态模型 许多经济决策是在离散时间点上做出的（如每季度或每年）。 一阶与高阶线性差分方程的求解： 掌握如何求解具有常数系数和常数项的差分方程，并理解其解的收敛性与周期性。 经济学中的应用： 解释蛛网模型（Cobweb Model）的动态稳定性——价格围绕均衡点的收敛（收敛型蛛网）、发散（发散型蛛网）或震荡（周期型蛛网）。 动态调整过程： 分析“粘性价格”或“粘性工资”假设下的经济系统如何通过离散步骤逐步达到新的均衡状态。 --- 第三部分：不确定性下的决策与经济计量基础 现代经济决策不可避免地面对风险和不确定性。本部分介绍概率论在不确定性分析中的核心作用，并为计量经济学的学习打下严格的数学基础。 第五章：概率论与期望最大化 本章将概率论工具转化为决策规则。 随机变量与概率分布的深化： 重点介绍连续型随机变量（如正态分布、指数分布）及其在金融资产价格建模中的应用。复习期望值、方差和协方差的精确计算。 风险态度（Risk Attitudes）的量化： 介绍期望效用理论（Expected Utility Theory）。如何用数学方法刻画风险厌恶（Risk Aversion）、风险中立和风险偏好。推导阿罗-普拉特（Arrow-Pratt）风险度量指标（绝对风险厌恶度、相对风险厌恶度）。 随机变量的线性组合与期望最大化： 分析投资组合理论中，如何通过最小化方差（风险）来优化预期收益，引入均值-方差分析框架下的数学优化。 第六章：高等线性代数与经济模型的矩阵表示 线性代数是处理大规模联立方程组和数据分析的基石。 矩阵运算在经济学中的表示： 用矩阵形式简洁地表示大规模的投入-产出模型或一般均衡模型。 行列式与矩阵的逆： 确定方程组解的存在性和唯一性。重点讲解勒昂惕夫投入-产出模型（Leontief Input-Output Model）中，如何利用矩阵求逆来计算总需求对最终需求的依赖关系。 特征值与特征向量： 理解其在分析动态系统的长期行为（如马尔可夫链在经济状态转换中的应用）和分析模型稳定性中的关键作用。 --- 全书结构与目标： 《经济数学（下册）》的编写风格侧重于“模型驱动的数学阐释”。每一个数学概念的引入都紧密围绕一个核心的经济学问题展开，强调从经济直觉出发，通过严谨的数学推导，最终回归到对现实经济现象的量化解释和预测能力上。本书要求读者熟练掌握《上册》中的基础微积分和代数知识，致力于培养学生构建、求解并批判性评估复杂动态与随机经济模型的能力。
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