具体描述
《高等数学(下)》依据教育部颁发的《高等数学课程教学基本要求》，组织长期在高校教学第一线的教师编写。该教材的目标定位为：适合地方性高校的教学实际，面向物理类、电子信息类和计算机类本科专业。编写中，我们着眼于物理类、电子信息类和计算机类本科专业对高等数学的需求对内容进行取舍，概念的引入、例题和习题的选用都尽量联系专业知识。我们力求做到：循序渐进，由浅入深；叙述简洁，概念明了；突出重点，分散难点。重要概念和重要理论讲述前，重视知识背景的阐述，旨在使学生增强用数学解决实际问题的意识和准确理解、把握知识。为了使初学的学生易于掌握，我们设置较多的例题；为了帮助学生准确理解概念、掌握方法，我们每章安排有小结。
理论力学导论：从牛顿定律到拉格朗日方程的系统构建 本书特色： 本书旨在为工程、物理及相关理工科学生提供一套严谨、深入且富有启发性的理论力学入门体系。我们避免了传统教材中常见的概念堆砌和公式罗列，转而着重于力学思想的逻辑发展和数学工具的有机结合。全书结构清晰，从最基本的运动学描述出发，逐步引入牛顿定律、静力学原理，最终构建起分析复杂动力学系统的强大框架——拉格朗日力学。 第一部分：运动学的几何基础与运动描述 理论力学的根基在于精确描述物体的位置、速度和加速度。本部分将彻底革新读者对空间运动的理解。 第一章：质点运动学的矢量分析 我们从三维欧几里得空间中的矢量代数和坐标变换入手，建立描述质点运动的数学语言。重点讨论直角坐标系、柱坐标系和球坐标系之间的转换，并深入探讨如何在不同坐标系下表示速度和加速度的“物理分量”（径向、角向、切向等）。通过对自然坐标系（速度矢量和主法向矢量）的引入，使读者直观理解曲线运动中加速度的来源。本章特别强调了时间参数化对运动描述的敏感性，为后续分析变质量系统打下基础。 第二章：刚体的运动学描述 刚体运动是连接质点运动与复杂系统动力学的关键桥梁。我们首先定义了刚体的自由度，并引入了描述刚体姿态的欧拉角。与初级物理学不同，本书详细分析了欧拉角的“奇异性”问题，并引出了更现代且无奇异性的四元数（Quaternions）作为描述三维旋转的有效工具。我们详细推导了刚体绕定点转动和绕固定轴转动的速度和角速度关系，并为后续引入角动量守恒定律奠定了必要的数学基础。 第二部分：动力学的基石——牛顿-欧拉体系 本部分将牛顿第二定律从质点推广到由质点系构成的复杂系统，并引入了重要的守恒定律。 第三章：质点动力学与守恒律 我们首先对牛顿第二定律 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 进行严格的矢量形式推导，并讨论其在非惯性系（如旋转参考系）下的修正项——科里奥利力和离心力。随后，我们将讨论功和能的概念，严格推导了动能定理、保守力场中的势能定义以及机械能守恒定律。角动量定理的推导将侧重于其在分析旋转运动中的核心作用，并详细讨论了绕质心转动的概念。 第四章：质点系动力学与运动积分 本章将质点动力学推广到包含任意多个质点的系统，即质点系。我们严格证明了质心运动方程的独立性，即质心运动只依赖于外力，与内力无关。重点分析了动量守恒（外力为零时）和角动量守恒（外力矩为零时）的物理意义。此外，本书对“冲量”和“动量”在碰撞问题中的应用进行了深入的讨论，包括弹性碰撞和完全非弹性碰撞的数学处理，强调了动量守恒在瞬时相互作用中的绝对性。 第五章：刚体动力学基础 刚体的动力学分析需要引入新的概念——转动惯量张量。我们详细解释了为什么惯量是一个张量而非一个简单的标量，并推导了平行轴定理和主轴定理。本书的核心内容之一是欧拉动力学方程，该方程直接描述了刚体绕其质心运动的动力学关系。我们通过具体的例子（如陀螺仪的运动）展示了如何利用欧拉方程解耦运动方程，即便在没有显式保守力的情况下也能分析其稳定性。 第三部分：分析力学——通往现代物理的阶梯 分析力学（或称解析力学）是理论力学的最高成就之一，它将力学问题从矢量运算的复杂性中解放出来，转化为对能量泛函的极值问题。 第六章：虚位移原理与达朗贝尔原理 本章是构建拉格朗日力学的逻辑起点。我们首先严谨地定义了“虚位移”的概念，并阐述了静力学中的虚功原理（或称达朗贝尔原理的静力学特例）。随后，我们将达朗贝尔原理推广到动力学领域，即达朗贝尔原理：将动力学问题转化为一个准静力学问题。这为后续的变分法奠定了基础。 第七章：拉格朗日力学体系的构建 在引入了广义坐标和约束力的概念后，我们正式推导了拉格朗日方程（第二类欧拉-拉格朗日方程）。本书清晰地区分了以下几个关键点： 1. 拉格朗日量 $L = T - V$ 的物理意义： 它不是能量本身，而是动能与势能之差。 2. 约束力的消除： 通过选择合适的广义坐标，使得方程中不再需要显式求解复杂的约束力。 3. 方程的向量形式与标量形式： 将矢量微分方程转化为一组标量二阶微分方程。 我们详细讨论了约束的分类，包括完整约束和非完整约束，并说明了拉格朗日方程只适用于处理完整约束。 第八章：拉格朗日力学的应用与守恒量 本章通过经典案例展示拉格朗日力学的优越性： 单摆问题（使用角度作为广义坐标）。 复摆（体现广义坐标的选择）。 动车在斜坡上的运动（引入电磁力）。 至关重要的一点是，本章将诺特定理（Noether's Theorem）的力学版本引入教学：当系统的拉格朗日量对某一广义坐标 $q_k$ 不显含（即 $partial L / partial q_k = 0$）时，对应的广义动量 $p_k = partial L / partial dot{q}_k$ 必然是一个守恒量。这优雅地统一了动量守恒、角动量守恒和能量守恒等所有宏观守恒定律，揭示了对称性与守恒量之间的深刻联系。 总结： 本书力求在严谨性与直观性之间取得平衡，通过对数学工具的精炼运用，引导读者从宏观感受过渡到微观精确分析，为学习更高级的场论、量子力学以及经典场论中的哈密顿力学打下坚实、清晰且富有洞察力的理论基础。全书配有大量的习题，旨在巩固读者对概念的理解和对数学方法的掌握。
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