具体描述
《数学应用基础学习指导及习题集》以教材的章节为序，每节列出学习目标，对教材中的重点、难点进行了较为详尽的分析并对学法给予指导。每节后配有随堂测评，形式分A、B两个层次。A层次内容为基本知识训练；B层次内容为创新能力应用，着重加深对学科内涵的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力。每章附知识框架图及自我测评，供学习者在复习教材的基础上随时检测，自评学习效果。各章末列有参考答案，理清学生解题技巧和方法，达到举一反三的功效。
根据全国中等卫生职业教育卫生部“十一五”规划教材主编人会议精神；为了使《数学应用基础》课程教学更加切合卫生部新一轮教学大纲的要求，使教材的编写意图更加明确地展示，由《数学应用基础》参编人员共同编写了这本配套教材《数学应用基础学习指导与习题集》。
探索与发现：现代工程中的数学模型构建与优化 图书简介 本书旨在为具有一定微积分和线性代数基础的工程技术人员、科研人员以及高年级理工科学生提供一个全面深入的视角，探讨如何运用先进的数学工具来精确描述、分析和解决现实世界中的复杂工程问题。本书的核心聚焦于数学建模的艺术与科学，强调理论基础与实际应用的紧密结合，而非仅仅局限于传统教科书中的标准计算流程。 第一部分：建模的哲学与基础 本部分首先深入剖析了数学建模的本质、流程以及在工程领域中的重要地位。我们不再将数学视为一个孤立的学科，而是将其定位为理解和改造世界的强大语言。 1. 从现象到方程：建模的初始阶段 系统辨识：如何从模糊的物理现象中提取关键变量和参数。我们详细讨论了如何区分本质特征与次要干扰，建立变量间的因果关系图。 量纲分析与无量纲化：阐述了如何通过 Buckingham $pi$ 定理等方法，系统性地简化模型结构，提高模型在不同尺度下的普适性。这对于处理跨尺度的流体动力学和传热学问题至关重要。 假设的艺术：深入探讨了工程假设的合理性边界。通过对比理想模型（如牛顿流体、简谐振动）与更复杂的修正模型，指导读者在精度需求与模型复杂度之间找到最优平衡点。 2. 核心数学工具箱的重新审视 微分方程的灵活应用：超越标准的常微分方程（ODE）求解，重点讲解如何利用相平面分析、李雅普诺夫稳定性理论来预测系统的长期行为，特别是对于非线性系统的定性分析方法，如极限环的判断。 偏微分方程（PDE）的物理诠释：详细介绍了热传导方程、波动方程和纳维-斯托克斯方程的物理背景，并着重讲解了边界条件和初始条件的设定如何深刻影响最终解的物理意义。 第二部分：优化理论在工程决策中的应用 优化是现代工程设计的核心驱动力。本部分将线性规划（LP）的概念扩展到更具挑战性的非线性、多目标优化问题。 1. 凸优化与工程可行性 KKT 条件的几何意义：不仅仅是求解最优解的必要和充分条件，更是理解约束集几何形态的关键。通过对拉格朗日乘子 $lambda$ 的深入分析，揭示了对偶问题在敏感性分析中的强大能力。 内点法与序列二次规划（SQP）：详细介绍了求解大型非线性约束优化问题的现代数值算法，并探讨了这些算法在结构设计（如最小化材料用量下的刚度最大化）中的具体实现步骤。 2. 随机性与鲁棒性设计 蒙特卡洛模拟与不确定性量化（UQ）：在许多实际系统中，参数（如材料强度、环境载荷）本身具有随机性。本章教授如何利用概率分布函数来描述这些不确定性，并通过大量模拟来估计系统输出的概率区间，而非单一确定性结果。 鲁棒优化：引入了“最坏情况”分析的思想，设计能够在参数变化范围内表现出可接受性能的系统，这对于航空航天和安全关键系统的设计尤为重要。 第三部分：数据驱动与复杂系统建模 随着计算能力的飞速提升，数据在模型构建中的作用日益凸显。本部分关注如何融合传统解析方法与现代数据科学技术。 1. 系统辨识的现代方法 基于子空间的系统辨识（Subspace Identification）：介绍了一种强大的、适用于多输入多输出（MIMO）系统的黑箱（或灰箱）建模方法。该方法通过对输入输出数据的奇异值分解（SVD），直接估计系统的状态空间模型，极大地简化了传统基于最小二乘法的辨识过程。 模型阶次选择：讨论了赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）在确定系统真实动态阶次中的应用，避免模型过拟合或欠拟合。 2. 网络科学与复杂系统动力学 图论在工程网络中的应用：探讨了如何将交通网络、电力系统、传感器网络抽象为数学图结构。重点分析了中心性指标（度中心性、介数中心性）在识别网络关键节点的意义。 基于主导特征的降阶：对于由大量微分方程描述的复杂系统（如大型有限元模型），介绍如何使用本征正交分解（POD）技术，提取系统的主导模态，从而在保持主要动态特征的同时，将模型降至可实时分析的维度。 第四部分：数值方法与计算实现 任何实际工程问题最终都需要通过数值方法求解。本书对数值方法的要求是理解其背后的数学误差来源，而非仅仅是调用库函数。 1. 有限差分法（FDM）与稳定性分析 CFL 条件的物理含义：详细解释了显式和隐式差分方案的稳定性限制，以及这些限制如何直接与物理过程中的信息传播速度相关联。 高精度格式的构造：介绍如何使用通用的雅可比矩阵和张量分析来构造更高阶（如四阶、六阶）的差分格式，以提高空间离散的精度。 2. 有限元方法的内在结构 变分原理与能量泛函：从能量最小化（欧拉-拉格朗日方程）的角度重新解释有限元法的构造，使读者理解为何选择特定的形函数（Shape Functions）至关重要。 网格质量与误差估计：探讨了网格畸形（如高长宽比的三角形单元）如何导致解的退化，并介绍了后验误差估计技术，指导自适应网格的生成。 总结与展望 本书的最终目标是培养读者将工程直觉转化为严格数学框架的能力，并熟练运用现代计算工具来验证和改进这些模型。通过对上述四个维度的深入探讨，读者将能够独立面对和解决那些没有标准答案的、具有高度跨学科性质的工程挑战。书中所选案例均源自实际工业和科研前沿，强调计算实现的细节与数学理论的统一性。
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