目錄
序
譯者簡介
前言
第一部分　數　　字
第1章　自然數　/2
1.1　自然數的公理化定義　/3
1.2　使用皮亞諾歸納法　/6
第2章　整數　/8
2.1　什麼是整數　/8
2.2　自然地構造整數　/10
第3章　實數　/14
3.1　實數的非正式定義　/14
3.2　實數的公理化定義　/17
3.3　實數的構造性定義　/20
第4章　無理數與超越數　/23
4.1　什麼是無理數　/23
4.2　聚焦無理數　/24
4.3　無理數和超越數有什麼意義，為什麼它們很重要　/26
第二部分　有趣的數字第5章　零　/30
5.1　零的曆史　/30
5.2　一個令人生厭的睏難數字　/33
第6章　e：不自然的自然數　/36
6.1　無處不在的數字　/36
6.2　e的曆史　/38
6.3　e有什麼含義　/39
第7章　φ：黃金比例　/41
7.1　什麼是黃金比例　/42
7.2　荒唐的傳奇　/44
7.3　黃金比例真正存在的地方　/46
第8章　i：虛數　/48
8.1　i的起源　/48
8.2　i是做什麼的　/50
8.3　i有什麼意義　/51
第三部分　書 寫 數 字
第9章　羅馬數字　/56
9.1　進位係統　/56
9.2　這場混亂來自哪裏　/58
9.3　計算很簡單（但是算盤更簡單）　/59
9.4　傳統的過失　/63第10章　埃及分數　/66
10.1　一場4000年前的數學考試　/66
10.2　斐波那契的貪婪算法　/67
10.3　有時美勝過實用　/69第11章　連分數　/70
11.1　連分數簡介　/71
11.2　更乾淨，更清晰，純粹是為瞭好玩　/73
11.3　作計算　/75
第四部分　邏　　輯
第12章　斯波剋先生與不符閤邏輯　/80
12.1　什麼是真正的邏輯　/82
12.2　一階謂詞邏輯　/83
12.3　展示一些新東西　/88
第13章　證明、真理和樹　/93
13.1　用樹來建立簡單的證明　/94
13.2　零基礎的證明　/96
13.3　傢族關係的例子　/98
13.4　分支證明　/100
第14章　使用邏輯編程　/103
14.1　計算傢族關係　/104
14.2　使用邏輯計算　/109
第15章　時序推理　/118
15.1　隨時間變化的命題　/119
15.2　CTL擅長什麼　/124
第五部分　集　　閤
第16章　康托爾對角化：無窮不僅是無窮　/128
16.1　樸素的集閤　/128
16.2　康托爾對角化　/132
16.3　不要保持簡單和直接　/136
第17章　公理化集閤論：取其精華，去其糟粕　/139
17.1　ZFC集閤論公理　/140
17.2　瘋狂的選擇　/147
17.3　為什麼　/150
第18章　模型：用集閤作為搭建數學世界的積木　/151
18.1　構建自然數　/152
18.2　從模型到模型：從自然數到整數，以及超越　/154
第19章　超限數：無限集的計數和排序　/158
19.1　超限基　/158
19.2　連續統假設　/160
19.3　無限何在　/161
第20章　群論：用集閤尋找對稱性　/164
20.1　費解的對稱性　/164
20.2　不同的對稱性　/168
20.3　走入曆史　/170
20.4　對稱性之源　/172
第六部分　機械化數學
第21章　有限狀態機：從簡單機器開始　/178
21.1　最簡單的機器　/178
21.2　實際使用的有限狀態機　/182
21.3　跨越鴻溝：從正則錶達式到機器　/185
第22章　圖靈機　/192
22.1　添加磁帶讓一切都變得不同　/193
22.2　變元：模仿機器的機器　/198
第23章　計算的核心與病態　/204
23.1　BF：偉大的、光榮的、完全愚蠢的　/206
23.2　圖靈完備還是毫無意義　/209
23.3　從莊嚴到荒謬　/210
第24章　微積分：不是那個微積分，是λ演算　/213
24.1　寫λ演算：幾乎就是編程　/214
24.2　求值：運行　/218
24.3　編程語言與λ策略　/221
第25章　數字、布爾運算和遞歸　/224
25.1　λ演算是圖靈完備的嗎　/224
25.2　計算自身的數字　/225
25.3　決定？迴到Church　/228
25.4　遞歸　/231
第26章　類型，類型，類型：對λ演算建模　/238
26.1　類型簡介　/239
26.2　證明　/244
26.3　類型擅長什麼　/246
第27章　停機問題　/248
27.1　一個傑齣的失敗　/249
27.2　是否停機　/251
參考文獻　/256
· · · · · · (收起)