Linear Operators and Matrices pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Lancaster, Peter (EDT)/ Gohberg, Israel (EDT)/ Langer, Heinz (EDT)

出品人:

页数:281

译者:

出版时间:

价格:189

装帧:HRD

isbn号码:9780817666552

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵
• 线性算子
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泛函分析与算子理论：现代数学的核心与前沿 图书名称： 泛函分析与算子理论 图书简介： 本书深入探讨了现代数学中一个至关重要且极具活力的分支——泛函分析及其核心组成部分——算子理论。它旨在为读者提供一个全面、严谨且富有洞察力的视角，理解无限维空间中的线性代数如何延伸和发展，以及这些理论在物理学、工程学和应用数学中的深远影响。 本书的结构清晰，从最基础的拓扑线性空间概念出发，逐步构建起分析的严密框架，最终聚焦于具有深刻结构特征的线性算子。我们力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的直观解释和关键定理的证明细节，确保初学者能够稳步跟进，而有经验的研究者也能从中发现新的视角。 第一部分：度量空间与拓扑基础的深化 本部分首先回顾并深化了必要的拓扑和度量空间理论，这是理解无限维空间结构的基础。我们详细分析了巴拿赫空间（Banach Spaces）的定义、性质及其完备性的重要性。完备性不仅是许多分析构造的基石，也是理解收敛行为的关键。我们探讨了诸如连续函数空间 $C(X)$、勒贝格函数空间 $L^p$ 空间的构造，并着重分析了这些空间的范数结构。 随后，我们进入核心的拓扑线性空间理论。我们将拓扑向量空间的概念从度量空间推广到更一般的拓扑结构，引入了局部凸性（Local Convexity）的概念，并证明了哈恩-巴拿赫（Hahn-Banach）定理的精妙证明，该定理是区分有限维与无限维空间特性、构建对偶空间的关键工具。紧接着，我们详细阐述了处理连续线性泛函的工具：极小化原理和分离定理，特别是分离超平面定理在优化问题中的应用。 第二部分：经典算子理论与谱理论的基石 在建立了坚实的拓扑和函数空间基础后，本书的核心转向线性算子的研究。我们关注的是定义在巴拿赫空间上，且满足特定连续性要求的映射。首先引入了描述算子“大小”和“稳定性”的有界线性算子的概念，并深入研究了开映射定理（Open Mapping Theorem）和闭图像定理（Closed Graph Theorem）。这两个定理是连接算子连续性、有界性和其定义域拓扑性质的桥梁，对于处理算子方程至关重要。 本部分的高潮是谱理论（Spectral Theory）的初步介绍。对于定义在巴拿赫空间上的有界线性算子 $T$，其谱 $sigma(T)$ 是对该算子性质最根本的刻画。我们详细分析了复变量函数 $R(lambda) = (lambda I - T)^{-1}$（分辨率函数）的性质，并推导出了谱半径公式。这部分内容强调了谱域在确定算子可逆性、稳定性以及解微分方程中的决定性作用。我们还探讨了紧算子（Compact Operators）的性质，特别是它们在希尔伯特空间中可以被有限秩算子序列逼近的特征。 第三部分：希尔伯特空间与自伴算子 本书的后半部分将焦点集中在具有内积结构的希尔伯特空间（Hilbert Spaces）上。内积结构为空间赋予了自然的几何概念，如正交性、投影和距离，这使得算子理论更加丰富和具有物理直观性。 我们系统地分析了希尔伯特空间上的正交分解，并推导出了Riesz 表示定理，该定理极大地简化了希尔伯特空间的对偶空间结构。核心内容在于自伴算子（Self-Adjoint Operators）的研究。自伴算子在量子力学中扮演着可观测量的角色，其性质在实分析和几何学中有着深刻的对应。我们证明了自伴算子的谱完全位于实轴上，并利用谱测度（Spectral Measure）的概念，建立了谱定理（Spectral Theorem）的完整表述。谱定理是泛函分析中最伟大的成果之一，它将无限维算子分解为一系列简单的乘法算子，为理解复杂算子的函数演算奠定了基础。 第四部分：无界算子与演化方程 为了将理论应用于更广泛的物理和工程问题（如偏微分方程），我们必须处理无界线性算子。这要求我们重新审视闭合性、稠密性以及定义域的选取。本部分详细讨论了稠密定义的闭算子的性质，特别是最大对称算子和自伴扩展问题。 最后，我们将泛函分析的工具应用于微分方程的求解，特别是半群理论（Semigroup Theory）。我们介绍了Hille-Yosida 定理，该定理精确地描述了哪些生成元可以产生一个连续的、有界算子的群或半群，这些半群正是线性演化方程（如热传导方程、波动方程）在无限维空间中的解的结构保证。 本书的特点： 本书不仅涵盖了泛函分析的标准教材内容，还特别强调了算子理论的几何直观性，通过对核心定理（如哈恩-巴拿赫、谱定理）的深入剖析，帮助读者建立起从有限维到无限维的严密思维链条。我们避免了对简单代数结构的重复，所有内容均围绕如何利用拓扑和度量结构来克服无限性带来的分析困难。本书是数学专业高年级本科生、研究生以及需要深入理解算子理论在偏微分方程、量子场论或控制论中应用的工程师和物理学家的理想参考书。

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