Discrete Orthogonal Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Baik, J./ Kriecherbauer, T./ Mclaughlin, K. T. r./ Miller, P. D.

出品人:

页数:170

译者:

出版时间:

价格:79.5

装帧:HRD

isbn号码:9780691127330

丛书系列:

图书标签:

• 正交多项式
• 离散正交多项式
• 特殊函数
• 数值分析
• 近似论
• 数学分析
• 高等数学
• 理论数学
• 应用数学
• 计算数学

离散正交多项式理论与应用新探 本书导言： 本书旨在深入探讨一类在数学、物理、工程等多个领域具有广泛应用价值的特殊函数——离散正交多项式（Discrete Orthogonal Polynomials）。我们将从最基础的定义和性质出发，逐步构建起一个严谨且富有洞察力的理论框架，最终展现其在实际问题中的强大解决能力。不同于侧重于经典连续正交多项式（如勒让德、切比雪夫等）的传统教材，本书将焦点完全集中于那些在离散域或特定组合结构上定义的正交多项式，例如Hahn、Krawtchouk、Meixner及其推广形式。 第一部分：基础理论的奠基 第一章：正交多项式的基本概念回顾与离散化 本章首先对正交多项式的核心概念进行全面回顾，包括内积空间、正交性条件以及施图姆-吕维尔（Sturm-Liouville）问题在离散情境下的对应。我们将详细阐述如何在有限或可数无限点集上定义测度（或离散权重函数），从而构造出具有正交性质的多项式序列。讨论的重点将放在内积的离散形式及其对多项式系数的影响。 第二章：三项递推关系与特征方程 离散正交多项式的最显著特征之一是它们满足一个具有固定系数的三项递推关系。本章将详尽推导这一关系，并探讨其在构建多项式序列时的重要性。我们将分析递推关系的系数与原始测度之间的深刻联系，并利用该关系来导出特征方程，从而确定多项式的零点分布。此部分将引入雅可比矩阵（Jacobi Matrix）的概念，将其视为离散问题的谱理论工具。 第三章：离散化中的重要类系 我们将系统性地介绍并分析几个最重要的离散正交多项式族系： 1. Hahn多项式 ($Q_n(x; alpha, eta, N)$): 它们是有限域上正交多项式的代表，参数$alpha, eta$控制着区间的对称性，而参数$N$则定义了域的大小。我们将探讨其显式表达式和与二项式系数的关系。 2. Krawtchouk多项式 ($K_n(x; p, N)$): 与二项分布紧密相关，是概率论和编码理论中的重要工具。本章将着重分析其在组合结构（如汉明空间）中的应用背景。 3. Meixner多项式 ($M_n(x; eta, c)$): 与负二项分布相关联，其递推关系具有特殊的结构。我们将对比分析这三类多项式在正交性定义和渐进行为上的异同。 第二部分：高级性质与微分算子 第四章：差分算子与黎曼-李乌维尔型算子 连续正交多项式与微分方程相关联，离散正交多项式则自然地与差分方程相关联。本章将引入有限差分算子（前向、后向、中心差分），并构建出描述这些多项式的差分算子。我们将探讨这些算子如何扮演“离散的微分算子”的角色，并分析其作用于多项式时产生的特征值问题。 第五章：正交多项式的零点分布与互作用 零点分布是分析多项式的关键。本章将运用韦尔定理（Wielandt's theorem）的离散版本，分析离散正交多项式的零点集合的特性。特别关注Hahn多项式的零点如何在有限区间内分布，以及相邻多项式零点之间的交错性质。此外，还将讨论不同类型多项式零点之间的关系，例如它们如何通过特定变换相互联系。 第六章：加权积分与求积公式 正交性最直接的应用在于数值积分。本章将详细阐述高斯求积公式（Gaussian Quadrature）在离散情形下的推广，即高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）或高斯-赫米特（Gauss-Hermite）在离散权重下的对应形式。我们将证明这些求积规则的精确性，并展示如何利用多项式的零点作为最佳的求积节点。这部分内容将为实际的数值计算提供坚实的理论基础。 第三部分：应用领域与现代发展 第七章：组合分析中的应用：编码理论与图论 离散正交多项式在处理离散对象时表现出天然的优势。本章将聚焦于Krawtchouk多项式在纠错码（如Kerdock码、Delsarte约束）设计中的核心作用。我们将解释如何利用多项式的正交性来构造具有良好距离特性的码字集合，并探讨它们在图谱理论（Graph Spectra）分析中的应用，特别是对于距离正则图的特征分析。 第八章：量子群与量子信息中的离散结构 随着量子计算的发展，研究工作逐渐转向有限维希尔伯特空间。本章将探讨离散正交多项式在描述量子系统演化和量子态制备中的潜力。具体而言，我们将分析它们如何作为特定量子操作（如离散傅里叶变换的推广）的本征函数，并在量子随机游走模型中扮演关键角色。 第九章：偏微分方程的离散求解与近似 本书的最后一章将展示离散正交多项式在近似理论中的应用。我们将讨论如何使用这些多项式作为基函数来对涉及差分算子的偏微分方程（PDEs）进行谱方法求解。通过对边界条件的适应性处理，展示如何用有限项的多项式展开来高效地逼近复杂系统的解，特别是在半导体物理和粒子输运模拟中的实例。 总结与展望： 本书通过严谨的数学推导和丰富的应用案例，为读者构建了理解和掌握离散正交多项式理论的完整路径。它不仅涵盖了从三项递推到现代量子信息应用的经典与前沿知识，更侧重于展示离散结构带来的独特数学美感与实用价值。本书适合于高等数学、理论物理、应用数学及信息科学领域的研究生和高年级本科生作为教材或参考书。

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