The Cambridge Dictionary of Statistics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Everitt, Brian S.

出品人:

页数:444

译者:

出版时间:2006-9

价格:$ 48.59

装帧:Pap

isbn号码:9780521690270

丛书系列:

图书标签:

• 统计学
• 词典
• 英语
• 剑桥
• 参考书
• 学术
• 数学
• 概率论
• 数据分析
• 统计方法

经典数学与统计学著作：一部超越工具书的深度探索 《数理统计学基础：从概率论到推断的严谨构建》 作者： [虚构作者名，例如：阿瑟·克拉克顿（Arthur Clackton）与伊丽莎白·范德霍夫（Elizabeth Vanderhoff）] 出版年份： [虚构年份，例如：2025年] --- 内容提要： 《数理统计学基础：从概率论到推断的严谨构建》并非一本简单的公式汇编或速查手册，而是一部旨在为读者构建坚实数理基础、深入理解统计学内在逻辑的权威性教材。本书聚焦于统计学作为一门严谨科学的理论基石，系统梳理了从测度论导出的概率论核心概念，并将其无缝衔接到现代统计推断的各个分支。 本书的独特之处在于其理论的连贯性与证明的完整性。作者摒弃了在初级读物中常见的“黑箱”操作，坚持对关键定理进行详尽的推导和严格的证明，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为何如此”。 全书分为四个主要部分，环环相扣，构建起一座完整的统计学知识殿堂： --- 第一部分：概率论的测度论基础 (The Measure-Theoretic Foundation of Probability) 本部分为全书的理论支柱，旨在将概率论置于坚实的数学分析之上。 1.1 拓扑空间与可测空间： 深入探讨 $sigma$-代数、可测空间、以及Borel $sigma$-代数在定义随机现象空间中的必要性。对测度、外测度、以及Carathéodory扩张定理进行了细致的阐述，为定义概率测度铺平道路。 1.2 概率测度的构建： 解释概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 的严格定义，以及如何利用测度论工具处理不可数样本空间。重点讨论了随机变量的定义、可测函数、以及随机变量的分布函数如何通过测度积分来精确描述。 1.3 积分、期望与随机变量的极限： 详尽介绍勒贝格积分（Lebesgue Integration）在期望计算中的优越性。集中讨论了单调收敛定理（MCT）、有界收敛定理（BCT）和法图定理（Fatou’s Lemma）在处理随机变量序列期望时的应用，为大数定律和中心极限定理的证明做准备。 1.4 随机向量与联合分布： 扩展到高维空间，讨论联合分布函数、边缘分布、以及条件期望（基于$sigma$-代数定义的）。深入分析了随机变量之间的独立性在测度论框架下的精确表达。 --- 第二部分：收敛性理论与渐进性质 (Convergence Theory and Asymptotic Properties) 本部分是连接概率论与数理统计推断的桥梁，侧重于随机变量序列的极限行为。 2.1 随机变量的收敛模式： 系统区分依概率收敛、几乎必然收敛、依分布收敛以及均方收敛这四种主要的收敛概念，并精确阐述它们之间的逻辑关系和相互推导条件。 2.2 概率极限定理的严格证明： 大数定律（Law of Large Numbers）： 提供强大数定律（Strong Law of Large Numbers）和弱数定律（Weak Law of Large Numbers）的完整证明，强调其对样本均值稳定性的理论保障。 中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 不仅介绍Lyapunov和Lindeberg-Feller的 CLT 形式，更深入探讨了特征函数（Characteristic Functions）在证明CLT中的核心作用，并应用反转公式（Inversion Formula）来理解依分布收敛的充要条件。 2.3 渐近分布与渐近效率： 引入枢轴量（Pivotal Quantities）和渐近正态性（Asymptotic Normality）的概念，为后续的估计量效率分析打下基础。 --- 第三部分：经典统计推断的理论框架 (The Theoretical Framework of Classical Statistical Inference) 本部分将理论知识应用于统计推断的构建，重点关注估计和检验的理论基础。 3.1 估计理论的核心概念： 详细定义点估计量（Point Estimators）的性质，包括无偏性、一致性（相合性）、有效性（效率）和完备性（Sufficiency）。 3.2 完备性与充分性： 深入探讨因子分解定理（Factorization Theorem），并引入Rao-Blackwell 定理和Lehmann-Scheffé 定理的完整证明，明确了MVUE（最小方差无偏估计）存在的理论边界。 3.3 渐近估计效率与Cramér-Rao 下界： 费舍尔信息量（Fisher Information）： 详尽定义并推导出费舍尔信息量矩阵，并精确阐述其在评估估计量精度中的作用。 Cramér-Rao 不等式： 给出不等式的完整推导，并明确指出何时等号成立（即达到Cramér-Rao下界），从而识别出有效估计量。 3.4 假设检验的结构： 建立 Neyman-Pearson 框架，严格定义第一类和第二类错误。重点阐述UMPV（一致最有力无偏）检验的存在性条件，并通过似然比检验（Likelihood Ratio Tests）的渐近理论，展示其在复杂模型下的强大应用。 --- 第四部分：参数估计的高级方法 (Advanced Methods in Parameter Estimation) 本部分聚焦于现代统计学中两大主流估计方法的严谨推导与比较。 4.1 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 一致性与渐近正态性证明： 提供了MLE一致性的严格条件（如Wald条件），并使用信息不等式和渐近展开证明了MLE的渐近正态性和渐近有效性（即其渐近分布等同于Cramér-Rao下界）。 大样本性质： 讨论了MLE在非标准或参数空间边界情况下的修正方法。 4.2 贝叶斯方法与后验分布的分析： 先验与后验的积分表示： 从贝叶斯定理出发，详细讨论后验分布的解析计算（在共轭先验下）和数值逼近（MCMC简介）。 贝叶斯估计量与频率学派的联系： 对贝叶斯风险最小化（如最小化后验均方误差）与频率学派的无偏性/最小方差进行深入的哲学与数学比较。 4.3 广义线性模型（GLMs）的理论基础： 概述指数族分布（Exponential Family）的结构，以及如何利用迭代重加权最小二乘法（IRLS）在理论上求解GLM的估计量，确保其符合MLE的理论框架。 --- 读者定位与学习目标： 本书专为统计学、数学、工程学和经济学专业的研究生、博士生设计，或面向需要深入理解统计理论基础的资深从业人员。读者应具备扎实的微积分、线性代数和基础实分析（拓扑学基础）知识。 学习本书后，读者将能够： 1. 从概率测度的角度，对随机现象建立严谨的数学模型。 2. 独立证明和应用大数定律与中心极限定理。 3. 精确评估任何统计估计量（如MLE, Method of Moments）的渐近效率和有效性边界。 4. 理解假设检验背后的 Neyman-Pearson 优化原理，并能推导检验统计量的大样本分布。 本书避免了对具体软件操作的指导，将全部篇幅聚焦于理论的深度、数学的严谨性以及统计学概念的内在逻辑，是统计学理论研究者不可或缺的基石读物。

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