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出版者:McGraw-Hill College

作者:Coburn, John W.

出品人:

页数:1408

译者:

出版时间:2006-3

价格:$ 196.06

装帧:HRD

isbn号码:9780073229812

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

深入探索与应用：高等数学基础（A Comprehensive Guide to Advanced Mathematics Foundations） 一、本书概述与定位 本书《深入探索与应用：高等数学基础》旨在为读者提供一个坚实而广阔的数学思维框架，它并非简单地对某一特定初级课程（如预备微积分）进行复述或替代，而是作为一座连接高中数学知识与大学本科阶段高等数学、线性代数、离散数学等课程的桥梁。本书的重点在于培养读者的抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力以及将数学工具应用于复杂实际问题的能力。我们假设读者已经具备了扎实的初等代数、几何和三角学基础，本书将在此基础上，系统性地引入更高阶的数学概念和方法。 二、核心内容模块详解 本书内容被划分为六大核心模块，每个模块都力求深入浅出，兼顾理论的严谨性与应用的直观性。 模块一：函数的高级解析与性质（Advanced Function Analysis and Properties） 本模块超越了对基本函数（如多项式、有理函数）的简单识别与绘图，而是深入探讨函数的深层结构和行为特征。 1. 函数族与变换的精细分析： 详细剖析周期函数、奇偶性、单调性、凸凹性（Concavity）的严格定义与判定方法。重点讨论函数在不同定义域和值域上的复合与反函数存在性的充分必要条件，以及如何通过变换（平移、伸缩、反射）来精确控制函数图像的形态。 2. 特殊函数与序列的引入： 引入指数函数、对数函数的性质及其在增长率模型中的应用。探讨数列（Sequences）和级数（Series）的初步概念，包括收敛性的直观理解，为后续微积分中的极限奠定基础。 3. 函数的极限思想的初步构建： 在不严格定义$epsilon-delta$语言的前提下，通过直观的几何和数值逼近方式，建立“趋近”和“无穷大”的概念，这是理解后续微积分中连续性和导数的关键前提。 模块二：三角学与复数域的拓展（Trigonometry and Expansion into Complex Domain） 本模块旨在巩固并深化读者对三角函数的理解，并将其应用拓展到复数这一更广阔的数学空间。 1. 三角函数的深入应用： 不仅限于直角三角形，本书详细讨论任意角、弧度制、单位圆理论，并推导并证明和差化积、倍半角公式的体系。重点分析正弦、余弦函数在周期性现象建模中的应用，如波的叠加与分析。 2. 三角函数的逆运算与方程求解： 详细解析反正弦、反余弦等反三角函数的定义域、值域限制，以及如何利用这些函数解决复杂的三角方程组。 3. 复数的代数与几何表示： 引入复数$a+bi$的运算规则，并将其在二维平面上表示（笛卡尔坐标系）。重点讲解复数的极坐标形式（模和辐角），欧拉公式$e^{i heta} = cos heta + isin heta$的推导与应用，展示复数乘法在旋转几何中的直观意义。 模块三：平面几何的代数重构（Algebraic Reconstruction of Plane Geometry） 本模块侧重于使用代数工具（特别是坐标几何）来精确描述和分析几何对象。 1. 直线、平面与向量初步： 使用斜率、截距式、点斜式全面描述直线。引入向量的初步概念，包括向量的加减法、标量乘法，以及它们在表示方向和位移上的优势。 2. 圆锥曲线的统一描述： 这是本模块的核心。我们将从圆锥体的截面性质出发，推导出圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。重点在于识别它们的几何特征（焦点、准线、离心率）及其代数方程形式之间的精确对应关系。 3. 旋转与平移的坐标变换： 初步探讨如何通过坐标系的旋转和移动来简化二次曲线的方程，理解几何形状在不同参考系下的代数表达变化。 模块四：数列与级数的基础理论（Foundations of Sequences and Series） 本模块对数学分析中至关重要的数列和级数概念进行系统的、初步的论述。 1. 数列的极限： 严谨地定义数列收敛与发散的条件。讨论单调有界定理，并应用该定理证明特定数列的收敛性。 2. 级数的收敛性判别法： 区分级数与无穷和。系统介绍等比级数的收敛条件。引入比较判别法、比值判别法（Ratio Test）的初步应用，用以判断级数是否能求和。 3. 幂级数与泰勒多项式的概念萌芽： 介绍幂级数（Power Series）作为一种可以表示函数的工具。初步理解泰勒多项式是近似表示复杂函数的一种有效手段，但不涉及严格的余项分析。 模块五：概率论的初步框架（Introductory Framework for Probability Theory） 本模块将数学思维应用于不确定性环境下的决策和分析，是统计学和数据科学的基础。 1. 基本概率模型与公理： 介绍样本空间、事件、概率的古典定义。系统阐述概率的基本性质（加法原理、互斥事件）。 2. 组合学在概率中的应用： 深入讲解排列（Permutations）与组合（Combinations），并说明如何使用这些工具来计算复杂事件发生的概率，特别是在不放回抽样等情境下。 3. 条件概率与独立性： 严格定义条件概率，理解贝叶斯定理的逻辑结构及其在更新概率判断中的强大作用。阐明事件独立性的数学含义。 模块六：离散结构与逻辑推理（Discrete Structures and Logical Reasoning） 本模块侧重于计算机科学和逻辑学中常用的离散数学概念，培养结构化的思维方式。 1. 数论基础： 讨论整数的整除性、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。介绍欧几里得算法（辗转相除法）的高效性。 2. 命题逻辑与证明方法： 系统介绍命题、连接词（与、或、非、蕴含、等价）。重点讲解直接证明、反证法、对偶证明等基础的数学论证技巧。 3. 初等图论概念： 引入图（Graph）的基本术语（顶点、边、度数）。探讨连通性、欧拉路径和哈密顿回路的直观概念，展示其在网络分析中的初步应用。 三、本书的教学特色与优势 1. 理论与应用的平衡： 每章内容后均附有大量的、源自物理学、工程学、经济学和计算机科学的真实世界案例分析，展示所学理论如何解决实际问题。 2. 严谨的论证导向： 本书在引入新概念时，始终强调“为什么”和“如何证明”，培养读者对数学结论的内在理解，而非仅仅是记忆公式。 3. 为高等课程无缝衔接： 本书的内容深度和广度精确地设置在传统微积分课程之前，确保读者在进入微积分、线性代数或离散数学学习时，能够迅速适应大学阶段的学术要求和抽象难度。 结语： 《深入探索与应用：高等数学基础》是一本面向未来的数学指南，它不仅教授知识，更致力于塑造读者分析问题、构建模型和进行严谨论证的思维能力。

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