The Fractional Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Dover Pubns

作者:Oldham, Keith B./ Spanier, Jerome

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2006-4

价格:$ 19.15

装帧:Pap

isbn号码:9780486450018

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Fractional Calculus
• Mathematical Analysis
• Differential Equations
• Applied Mathematics
• Calculus
• Fractional Derivatives
• Fractional Integrals
• Mathematical Physics
• Engineering Mathematics
• Scientific Computing

《非线性动力学与混沌：现代物理学的隐秘结构》 一部深入探索复杂系统行为与数学建模前沿的权威著作 导言：超越线性的世界 我们生活的世界充斥着复杂性。从湍急的水流到股市的波动，从生态系统的演变到大脑神经元的同步放电，这些现象的共同点是它们大多无法用传统的线性方法精确描述。当我们试图理解这些系统时，一个核心的数学工具——非线性动力学——浮现出来，它揭示了看似随机的背后隐藏的深刻结构。 《非线性动力学与混沌：现代物理学的隐秘结构》是一本旨在为研究人员、高级学生以及对复杂系统理论感兴趣的工程师和数学家提供全面而深入导论的专著。本书突破了标准的微分方程教科书的界限，专注于那些由微小扰动可能导致巨大后果的系统，即混沌系统。 全书结构严谨，逻辑清晰，以构建直观理解为核心，辅以严格的数学推导，确保读者不仅能掌握核心概念，更能理解其背后的深刻物理和数学意义。 --- 第一部分：动力学系统的基础重构 本部分首先为读者打下坚实的数学基础，重新审视和强化了传统常微分方程（ODE）和泛函分析在描述真实世界系统中的局限性，并引入了必要的高维相空间概念。 第1章：从简单运动到相空间几何 我们从牛顿力学的基本框架出发，但迅速转向用状态变量描述系统演化的相空间（Phase Space）视角。详细讨论了相点的轨迹、流（Flow）的概念，以及相空间的拓扑结构对系统长期行为的决定性影响。重点分析了低维系统（如二维平面系统）的平衡点（不动点）的分类（结点、鞍点、中心点），并引入了李雅普诺夫稳定性分析，为后续的复杂性分析做铺垫。 第2章：线性化的陷阱与分岔理论的诞生 线性化方法在小扰动下效果显著，但一旦系统参数跨越临界值，线性模型便会彻底失效。本章聚焦于分岔（Bifurcation）现象——系统定性行为随参数变化的突变。详细介绍了鞍节点分岔、Transcritical分岔和意大利面条（Pitchfork）分岔，并以非常直观的几何方式解释了这些分岔如何导致系统从稳定状态转变为振荡或不稳定状态。 第3章：极限环与周期性振荡 对于许多物理和工程系统，系统最终会稳定在一个重复的轨迹上，即极限环（Limit Cycle）。本章深入探讨了霍普夫（Hopf）分岔，解释了亚临界和超临界霍普夫分岔如何从稳定不动点产生稳定的周期解。书中运用庞加莱截面法（Poincaré Section）来简化高维周期系统的分析，为识别更高层次的复杂性做好了准备。 --- 第二部分：混沌的数学指征与量化 本部分是本书的核心，专注于混沌现象的正式定义、识别方法以及其内在的数学结构。 第4章：对初值的极端敏感性：蝴蝶效应的精确表述 混沌的标志性特征是其对初始条件的敏感依赖性。本章引入了李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponent）作为量化这种敏感性的标准工具。详细推导了多维系统中最大李雅普诺夫指数的计算方法，并解释了正的李雅普诺夫指数如何确凿地证明了系统的混沌性。我们还讨论了非均匀地收缩和扩张的机制——即拉伸与折叠（Stretching and Folding）的迭代过程。 第5章：庞加莱截面与吸引子的结构 为了分析高维系统的长期演化，我们采用了降维工具——庞加莱截面。本章系统地展示了如何通过截面将流（Flow）转化为映射（Map），从而将一个常微分方程系统转化为一个离散动力学系统。重点分析了映射下的周期倍增序列，这是通往混沌的一个关键路径。 第6章：奇异吸引子：混沌的几何形态 当一个非自治或耗散系统演化到混沌状态时，其轨迹最终会聚集在一个特定的子空间上，这个子空间被称为奇异吸引子（Strange Attractor）。本书详细分析了著名的洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）的拓扑结构，强调了它具有非整数维度的特性。书中通过构造性的例子，直观地展示了吸引子的自相似性和分形（Fractal）结构。 --- 第三部分：分形几何与系统度量 混沌系统产生的吸引子是分形的。本部分将动力学系统理论与分形几何紧密结合，为量化混沌提供了必要的工具。 第7章：分形维度的概念与计算 传统欧几里得几何的维度概念无法描述奇异吸引子的复杂性。本章详细介绍了分形维度的核心概念，包括盒计数维数（Box-Counting Dimension）和豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）。通过实际的迭代函数系统（IFS）和混沌映射（如Logistic Map）的例子，展示了如何计算和解释这些非整数维度，理解它们如何反映了系统状态空间的填充密度。 第8章：信息论与熵在动力学中的应用 为了量化混沌系统产生信息的速率，我们引入了信息论的视角。本章深入探讨了科尔莫哥洛夫-辛奈（Kolmogorov-Sinai, KS）熵，它提供了对混沌系统产生新信息速率的严格度量。我们展示了如何将最大的KS熵与系统的最大李雅普诺夫指数联系起来，从而建立起动力学复杂性与其信息产生能力之间的深刻联系。 --- 第四部分：经典模型与现实应用 本部分将理论工具应用于一些具有里程碑意义的物理和生物模型中，展示非线性动力学在解决实际问题中的强大威力。 第9章：经典流体动力学的非线性：洛伦兹模型 洛伦兹模型是研究大气和流体现象的典范。本章将详细解构洛伦兹微分方程组，追踪其从稳定状态到周期振荡再到完全混沌的演化路径。我们着重分析了洛伦兹系统中的混沌鞍点和杂色吸引子的形成机制，并讨论了其在气象学和流体力学中的启发意义。 第10章：振荡器与同步现象 本章转向了涉及周期驱动的系统，如范德波尔（van der Pol）振荡器和洛特卡-沃尔泰拉（Lotka-Volterra）捕食者-猎物模型。重点讨论了同步（Synchronization）的概念，即两个或多个振荡器如何相互影响并最终锁定在相同的频率上。我们探讨了同步的“锁定区间”以及在耦合系统中，同步如何被打破并转变为复杂的拍频或完全混沌。 第11章：从映射到迭代：Logistic映射与倍周期级联 作为离散动力学系统的代表，Logistic映射是理解混沌生成机制的最佳入口。本章详细分析了该映射的参数空间，展示了费根鲍姆（Feigenbaum）常数如何描述周期倍增的收敛速度。通过对Logistic映射的分析，读者可以清晰地看到混沌是如何从简单的非线性迭代中“涌现”出来的。 --- 结语：展望复杂性的前沿 本书最后总结了非线性动力学在构建现代科学理论中的地位，并展望了当前的研究热点，如随机共振、时空混沌、高维系统的全局稳定性分析，以及与机器学习和复杂网络理论的交叉领域。它旨在激励读者，将所学的理论工具应用于未来更广阔的、尚未被充分理解的复杂系统领域。 目标读者： 物理学、工程学、生物学及经济学中从事建模和仿真研究的研究生及专业人员。 希望从基础概念深入到尖端研究的数学和应用数学专业学生。 需要掌握处理复杂系统工具的工程师和科研工作者。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆