Theory of Complex Homogeneous Bounded Domains pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Xu, Yichao

出品人:

页数:425

译者:

出版时间:

价格:99

装帧:HRD

isbn号码:9781402021329

丛书系列:

图书标签:

• Complex analysis
• Holomorphic functions
• Bounded domains
• Complex geometry
• Several complex variables
• Domains of definition
• Function theory
• Mathematical analysis
• Topology
• Complex manifolds

理论物理学中的结构与对称性：一个全新的视角 本书旨在探索一套超越传统范式的基础理论框架，聚焦于高维空间中的内在几何结构、拓扑不变量，以及由此衍生出的连续对称性群的深层性质。 本书的叙事逻辑和内容组织，将完全侧重于纯粹的数学物理方法论，特别是那些尚未被主流教材充分发掘的领域，例如非交换几何在统计力学中的潜在应用，以及黎曼曲率张量在高阶微分方程组中的奇异性分析。 全书共分为六大部分，每一部分都建立在前一部分坚实的基础上，但又引入了全新的概念工具。 第一部分：拓扑基础与纤维丛结构 本部分首先回顾了微分流形上的基础概念，但立刻转向了更为抽象的层面。我们将深入研究层论（Sheaf Theory）在描述物理场局域性质时的局限性，并提出一种基于高阶上同调理论的替代方案。核心内容包括： 局部-整体原则的再审视： 传统上，物理学倾向于局部描述。本书将强调全局拓扑结构如何决定可观测量的边界条件。我们将详细分析奇异同调群（Singular Cohomology Groups）在描述多连通介质中的电磁场分布时的优越性，特别是那些具有非平凡基本群的区域。 规范场与联络形式： 偏离经典杨-米尔斯理论的惯常处理方式，本书将采用嘉当（Cartan）的外微分形式来定义规范场。重点将放在曲率形式的二次化和更高阶导数项的引入，以探讨超越标准模型的对称性破缺机制。这里将引入非阿贝尔流形上的曲率张量的精确计算方法，这涉及复杂的纤维丛上的微分几何操作。 稳定拓扑不变量的构造： 深入探讨如何利用陈-西蒙斯（Chern-Simons）泛函来提取与流形微分结构无关的拓扑信息，并将其与特定量子场论中的真空期望值联系起来。我们将构建一系列新的拓扑不变量，它们对度规的微小扰动具有极强的稳定性。 第二部分：代数结构与对称群的扩展 此部分将理论的焦点从几何空间转移到其上定义的对称性代数结构。我们不再满足于李群的经典描述，而是进入了更广阔的代数领域。 无穷维李代数与可积系统： 详细分析Kac-Moody 代数在描述无限自由度系统时的重要性。本书将给出仿射李代数的结构常数，并展示如何利用其关联的无限维 Casimir 算符来构造守恒量。重点讨论与Korteweg-de Vries (KdV) 方程和非线性薛定谔方程 (NLS)相关的特定代数结构。 量子群与辫子关系： 介绍量子群 $U_q(mathfrak{g})$ 的定义，并阐述其在解决特定三维拓扑量子场论中的作用。我们将详细推导Yang-Baxter 方程的解，并将其与统计力学中的配分函数的计算联系起来，特别关注在低维晶格模型中的精确解法。 霍普夫代数的性质： 探索霍普夫代数作为对称性代数的推广形式。我们将分析其对角化条件和余乘（co-multiplication）的性质，并尝试将其应用于描述多体系统中的集体激发态。 第三部分：非交换几何与度量空间的推广 本书的第三部分大胆地将数学工具推进到经典几何概念失效的领域，探索非交换度量空间。 谱几何的基本原理： 聚焦于Connes 的非交换几何纲领。我们将重新定义“点”和“距离”的概念，使用谱三元组（Spectral Triples）来代替微分流形。重点分析狄拉克算符在非交换空间上的推广及其谱性质。 非交换对称性下的拉格朗日量： 尝试在非交换背景下构建一个自洽的场论。我们将讨论如何将经典的作用量泛函推广到非交换代数上的迹（Trace）运算，并分析由此产生的重力场方程的修正项，这些修正项直接来源于非交换性带来的额外自由度。 自旋结构与非交换拓扑： 研究非交换空间上自旋结构的存在性条件，并探究其与经典物理学中手征异常的关联。 第四部分：奇异性理论与重整化群的几何化 本部分将分析系统中不可避免出现的数学奇点，并将其视为信息传输的枢纽。 临界现象与重整化群流： 抛弃传统的费曼图方法，本书将采用几何化重整化群（RG）的观点。我们将把RG流视为在某个空间流形上的动力学过程，临界指数则对应于该流形上的特定不动点。重点分析Wilson-Fisher 流在更高维空间中的稳定性。 激变点（Bifurcation Points）的拓扑分析： 研究物理系统中相变的本质。我们将使用奇点理论（Singularity Theory）来分类不同类型的相变（例如，Ehrenfest 分类），将系统参数空间中的激变点视为莫尔斯函数（Morse Function）的退化点，并利用雅可比矩阵的秩来判断临界指数的数值。 渐近自由与渐近安全： 从纯数学角度探讨渐近自由的意义，将其解释为RG流在短距离（高能）极限下收敛到一个非平凡的固定点，而非标准的不动点。 第五部分：高阶动力学与非线性演化方程 此部分关注描述复杂系统演化的偏微分方程，特别是那些具有精确可积性的系统。 无穷组守恒律的构造： 深入研究Lax 对（Lax Pair）的构造，并展示如何利用它来生成无穷多个守恒量。我们将详细剖析Schödinger 谱理论与非线性演化之间的对偶性。 孤立子（Solitons）的代数几何描述： 使用代数曲线上的 Abel 恒等式来构造多孤立子解。我们将展示如何通过Jacobian 流形上的特定函数来精确描述 $N$ 孤立子的相互作用，完全避免数值模拟。 混沌动力学中的几何度量： 分析李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的几何意义，将其视为系统对初始条件的敏感度在相空间中的测度。重点讨论如何利用庞加莱截面上的映射来揭示高维混沌系统的周期性结构。 第六部分：张量网络与多体态的简化表示 最后一部分将理论模型应用于现代计算物理的核心挑战——处理指数级增长的多体波函数。 张量网络的状态空间： 将矩阵乘积态 (MPS) 和 投影纠缠对近似 (PEPS) 视为纤维丛上的截面。本书将证明这些表示本质上是对系统纠缠熵的几何约束。 纠缠谱与谱分解： 研究纠缠谱（由划分系统间的哈密顿量产生的算符的特征值）的性质。我们将论证，在特定（非平凡）拓扑相中，纠缠谱将展现出与CFT 边界的精确对应关系。 维度压缩的拓扑极限： 探索当张量网络的阶数趋于无穷大时，系统如何收敛到一个具有特定拓扑性质的极限理论。 本书的最终目标是提供一套统一的数学语言，用以描述物理系统中从微观的量子场到宏观的复杂拓扑结构之间的深刻联系。它需要读者具备扎实的现代微分几何、代数拓扑和泛函分析基础。

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