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出版者:W. H. Freeman

作者:Judith L. Gersting

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:2006-9-1

价格:GBP 61.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780716768647

丛书系列:

图书标签:

• 数学结构
• 计算机科学
• 离散数学
• 算法
• 数据结构
• 形式语言
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学

深入探索离散数学与计算理论的基石 《计算思维的逻辑框架：离散数学基础与高级应用》 本书简介 本书旨在为计算机科学、信息技术以及相关工程领域的学生和专业人士提供一个坚实、深入且实用的离散数学基础。我们聚焦于那些直接驱动现代计算理论、算法设计与软件工程的核心数学结构。不同于侧重纯理论的数学教科书，本书的叙述紧密围绕计算任务的实际需求展开，力求在严谨的数学证明与直观的计算模型之间架起一座坚实的桥梁。 第一部分：逻辑与证明的艺术 本部分从计算机科学的基石——数理逻辑入手。我们将详细探讨命题逻辑（Propositional Logic）和一阶谓词逻辑（First-Order Logic）的语法、语义和推理规则。重点在于证明的技巧，包括直接证明、反证法、数学归纳法（作为核心工具贯穿全书），以及更精细的构造性证明。 可计算性基础： 我们将逻辑语言与自动定理证明（Automated Theorem Proving）的原理相结合，介绍如何使用逻辑编程（如Prolog的思想基础）来表达计算过程。 形式化验证的初步： 深入讨论逻辑在软件和硬件形式化验证中的作用，解释为什么精确的逻辑表达是构建可靠系统的先决条件。 第二部分：集合论、函数与关系——数据建模的语言 本部分构建了描述和组织数据的数学语言。我们不仅复习了集合论的基本概念（如笛卡尔积、幂集），更侧重于它们在数据结构中的应用。 关系代数与图论的交汇： 详细分析等价关系和偏序关系（Posets），探讨它们如何对应于数据库理论中的规范化和排序算法。特别关注二元关系在描述系统依赖和状态转移图中的建模能力。 函数的性质与计算效率： 深入研究单射、满射、双射函数的性质，并将其与编码与解码过程联系起来。对递归函数的引入，为后续的算法分析奠定基础。 第三部分：计数、组合与概率——不确定性下的决策 在处理大规模数据和评估算法性能时，组合数学是不可或缺的工具。本部分强调计数原理在分析算法复杂度中的应用。 排列组合的精确计数： 覆盖鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的推广形式、容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）以及生成函数（Generating Functions）的强大应用。生成函数将用于解决复杂的递推关系。 离散概率论基础： 引入概率空间、随机变量和期望值的概念，重点关注伯努利试验、二项分布和泊松分布在分析随机算法（如哈希冲突分析、快速排序的平均性能）中的实际计算。 第四部分：图论——网络的拓扑结构 图论是连接网络、数据结构、人工智能和优化问题的核心。本书对图论的覆盖极为详尽且实用化。 图的表示与遍历： 详细比较邻接矩阵、邻接表等表示方法及其在内存和时间复杂度上的权衡。深入解析深度优先搜索 (DFS) 和广度优先搜索 (BFS) 算法的数学原理和应用场景。 连通性与路径优化： 经典算法如最小生成树（Prim和Kruskal算法）的构造性证明与效率分析；最短路径问题（Dijkstra, Floyd-Warshall）的动态规划视角。 图的着色与匹配： 讨论四色定理的意义，以及二分图匹配在资源分配和任务调度中的应用。重点讲解最大流-最小割定理的推导及其在网络流问题中的地位。 第五部分：代数结构——抽象计算模型 本部分将视角提升到更高的抽象层次，介绍计算机科学中频繁出现的代数结构，这是现代密码学和编码理论的理论基础。 群论基础： 从代数结构（封闭性、结合律、单位元、逆元）出发，定义群。重点分析循环群和对称群，并展示它们在密码学（如Diffie-Hellman密钥交换）中的应用。 环与域的初步探索： 介绍环和域的概念，特别是模运算在有限域（Galois Fields）上的重要性，这是纠错码（如Reed-Solomon码）和公钥密码学（如椭圆曲线加密）的数学核心。 第六部分：关系与算法分析 本部分着重于如何用数学工具量化算法的性能和行为。 递推关系与求解技术： 详细分析线性常系数齐次递推关系的求解方法，并展示如何使用主定理（Master Theorem）来分析分治算法（如归并排序、Strassen矩阵乘法）的时间复杂度。 渐近分析的严谨性： 深入理解大O、小o、$Omega$ 和 $Theta$ 符号的数学定义和它们在描述算法性能界限上的严格性。 本书特色： 1. 计算驱动的例子： 每个章节的理论推导后，立即跟进具体的计算机构架（如哈希表、编译器优化、网络协议）中的实际应用案例。 2. 强调证明的构造性： 尽可能采用构造性的证明方法，使读者不仅知道“为什么是对的”，还能理解“如何构建出这个结构”。 3. 丰富的习题集： 包含大量从基础概念验证到高级算法设计与分析的题目，部分题目附带详细的解题思路引导。 通过系统学习本书内容，读者将掌握一套严谨的思维工具，能够以数学的精确性来分析、设计和验证复杂的计算系统。

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