Introduction to Prehomogeneous Vector Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Kimura, Tatsuo

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:

价格:104

装帧:HRD

isbn号码:9780821827673

丛书系列:

图书标签:

• Prehomogeneous Vector Spaces
• Representation Theory
• Lie Groups
• Harmonic Analysis
• Algebraic Geometry
• Invariant Theory
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Abstract Algebra
• Classical Analysis

好的，这是一份针对《Introduction to Prehomogeneous Vector Spaces》这本书的图书简介，其内容将完全不涉及该书本身的任何主题。 --- 图书名称：时空拓扑与黎曼几何基础 作者：[此处可想象一位数学家的名字] 出版社：[此处可想象一家权威学术出版社的名称] ISBN：[此处可想象一个标准的ISBN号] 字数：约1500字 --- 图书简介：时空拓扑与黎曼几何基础 本书是一部旨在为研究人员和高年级研究生提供坚实数学基础的专著，重点聚焦于现代微分几何与拓扑学在分析和物理学交叉领域中的核心概念。本书的叙事结构围绕两大支柱展开：广义的黎曼几何及其对曲率的精细刻画，以及建立在纤维丛和联络理论之上的现代拓扑结构。其核心目标在于构建一个严谨的框架，用以理解光滑流形上的几何结构，并探讨这些结构如何影响场论与拓扑不变量的计算。 第一部分：流形与拓扑结构 本书的开篇部分着眼于光滑流形的代数拓扑基础。我们首先回顾并深化了对流形、嵌入、淹没等基本概念的理解，随后迅速转向微分拓扑的核心工具——奇异同调与上同调理论。读者将深入探讨德拉姆上同调（de Rham Cohomology），理解其与奇异上同调之间的深刻联系，特别是通过德拉姆定理（de Rham's Theorem）。重点将放在流形上的微分形式（Differential Forms）及其楔积（Wedge Product）运算上，这为后续引入微分算子和度量提供了必要的语言基础。 紧接着，本书转向纤维丛（Fiber Bundles）理论。我们将详细阐述向量丛、主丛（Principal Bundles）的定义及其构造，特别是斯蒂费尔丛（Stiefel Bundles）和格拉斯曼丛（Grassmannians）在几何中的角色。联络（Connections）的概念被引入，不仅限于切丛上的黎曼联络，还扩展到任意向量丛上的联络。通过曲率形式（Curvature Form）的计算，我们揭示了流形局部结构扭曲的本质。著名的陈-西蒙斯形式（Chern-Simons Forms）将在这一阶段被引入，作为衡量纤维丛拓扑性质的关键代数拓扑不变量的几何表达。 第二部分：黎曼几何的深化与曲率的分析 本书的第二部分全面转向黎曼几何。在确立了度量张量（Metric Tensor）之后，我们严格定义了黎曼联络（Riemannian Connection）和联络系数（Christoffel Symbols）。对测地线（Geodesics）的动力学分析，特别是其偏离行为，引导我们进入黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的计算。 本书特别强调对黎曼曲率的解析处理。里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Scalar Curvature）的引入，不仅是度量张量在二阶导数上的体现，更是理解流形局部体积膨胀或收缩的关键。我们深入探讨了爱因斯坦方程的几何前驱，分析了恒曲率空间（如球面和双曲空间）的特性，并通过切空间上的指数映射（Exponential Map）来处理流形上的局部测地线行为。 随后，主题提升至高阶的几何分析。本书详细剖析了共边定理（Codazzi-Mainardi Equations）及其在曲面理论中的应用，并将其推广到高维流形上的外部共边方程。这部分内容为理解次流形（Submanifolds）的嵌入问题奠定了基础。 第三部分：拓扑不变量与几何分析 第三部分的核心在于连接几何结构与拓扑不变量之间的桥梁。霍奇理论（Hodge Theory）是本节的重中之重。我们建立起拉普拉斯算子（Laplace-Beltrami Operator）在流形上的定义，并详尽阐述了霍奇分解定理（Hodge Decomposition Theorem），该定理将上同调类与调和微分形式（Harmonic Forms）精确对应。这为理解流形上的势场和规范场提供了坚实的分析基础。 本书随后引入了杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）的纯数学框架，但重点放在其与规范群（Gauge Group）的纤维丛结构上，而非其物理动力学。我们探讨了规范群的联络，以及如何利用第二陈类（Second Chern Class）来构造规范场的作用量。通过对规范等价性（Gauge Equivalence）的讨论，我们揭示了规范理论中拓扑非平庸性的几何根源。 在最后的章节中，本书探讨了魏尔映射（Weil Homomorphism）及其在特征类（Characteristic Classes）构建中的应用。我们通过汤姆-西蒙斯（Thom-Simone）类和博特示性类（Bott Index Theorem）的介绍，展示了微分几何工具如何提供对高阶拓扑不变量的直观、可计算的描述。本书的结论部分总结了黎曼几何在理解复杂系统中稳定性和拓扑边界时的潜力。 适用读者： 本书面向具有扎实实分析基础、熟悉抽象代数和一般拓扑学的数学、理论物理专业的研究生和科研人员。阅读本书需要对多变量微积分和线性代数有深入的掌握。它旨在成为微分几何、拓扑物理和几何分析领域研究的必备参考书。

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