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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Moody T. Chu

出品人:

页数:406

译者:

出版时间:2005-09-02

价格:USD 170.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198566649

丛书系列:

图书标签:

Inverse Problems
Eigenvalue Problems
Linear Algebra
Numerical Analysis
Matrix Theory
Applied Mathematics
Scientific Computing
Mathematical Physics
Optimization
Stability Analysis

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具体描述

Inverse eigenvalue problems arise in a remarkable variety of applications and associated with any inverse eigenvalue problem are two fundamental questions--the theoretical issue of solvability and the practical issue of computability. Both questions are difficult and challenging. In this text, the authors discuss the fundamental questions, some known results, many applications, mathematical properties, a variety of numerical techniques, as well as several open problems. This is the first book in the authoritative Numerical Mathematics and Scientific Computation series to cover numerical linear algebra, a broad area of numerical analysis. Authored by two world-renowned researchers, the book is aimed at graduates and researchers in applied mathematics, engineering and computer science and makes an ideal graduate text.

好的，这是一份关于《逆特征值问题》这本书的详细简介，内容聚焦于其核心技术和应用领域，旨在提供一个全面且深入的概览： --- 《逆特征值问题》：理论、算法与前沿应用本书是一部深入探讨逆特征值问题的专著，旨在为读者提供一个系统性的理论框架和全面的计算方法概述。本书不仅涵盖了该领域的基础理论，更详细阐述了从经典方法到现代高效算法的演进，并探讨了这些技术在诸多工程和科学领域的实际应用。本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与工程实践的指导性，适合数学、物理、计算机科学以及相关工程领域的研究人员、研究生和高级工程师阅读。第一部分：基础理论与数学框架本书的开篇部分系统地回顾了特征值问题的基本概念，并在此基础上引入了逆特征值问题（Inverse Eigenvalue Problems, IEPs）的核心挑战。IEPs的核心在于，给定矩阵的部分或全部特征值和/或特征向量信息，反求生成这些信息的原始矩阵。矩阵的结构与谱性质：本章首先回顾了线性代数中关于矩阵谱（eigenvalues and eigenvectors）的奠基性理论。特别关注了对称矩阵、赫尔米特矩阵以及一般矩阵的特征值分布与特征向量的正交性。深入探讨了特征值的代数重数与几何重数的关系，以及谱的稳定性。逆问题的定义与挑战：逆特征值问题可以被形式化为一类非线性反演问题。本书清晰界定了不同类型的IEPs，例如：给定特征值集合反求对角矩阵、反求实对称矩阵、反求带状矩阵，以及更复杂的反求广义特征值问题中的矩阵对。核心难点在于这类问题的固有病态性（ill-posedness）。在许多情况下，微小的扰动会导致解的巨大变化，甚至解的不唯一性，这是本书后续章节重点解决的问题。矩阵的重建与约束：本部分深入探讨了重建矩阵时必须施加的物理或数学约束。例如，在结构动力学中，重建的矩阵必须满足特定的物理可实现性（physical realizability）。本书详细分析了这些约束如何转化为优化问题或特定形式的代数方程组。第二部分：经典与现代求解算法本书的第二部分是技术核心，详细介绍了用于求解不同类型IEPs的算法。这些算法的有效性往往取决于原始矩阵的特定结构。对角化问题（Diagonalization Problems）：针对给定特征值和特征向量集合反求对角矩阵的问题，本书阐述了著名的Löwdin方法和基于对角化矩阵乘积的检验方法。重点分析了特征向量归一化和正交性在重建过程中的作用。实对称矩阵的逆特征值问题：这是IEPs中研究最充分的领域之一，特别是在结构振动分析中至关重要。本书详细介绍了基于正交多项式理论的算法，例如Golub-Welsch算法的变体。对于半正定或特定带状结构（如三对角矩阵）的逆问题，本书提供了专门的迭代求解策略，例如基于QR分解或Cholesky分解的数值方法。广义特征值问题（Generalized Eigenvalue Problems, GEPs）： GEPs涉及到求解 $Ax = lambda Bx$ 中的 $A$ 和 $B$ 矩阵。本书探讨了在给定广义特征值和特征向量集合下，如何反求 $A$ 和 $B$ 矩阵的特定情形，尤其关注了矩阵对的联合重建问题，以及在控制理论中常见的结构化逆问题。迭代与优化方法：面对病态性，迭代方法和优化框架成为主流。本书详细讨论了如何将IEPs转化为最小二乘优化问题，并利用梯度下降、牛顿法及其变体进行求解。特别关注了如何设计正则化项（如Tikhonov正则化）以稳定数值解，并讨论了正则化参数的选择策略，如L曲线法。第三部分：特定领域的应用与案例研究本书的最后一部分将理论和算法应用于实际的工程和科学问题，展示了IEPs的强大实用价值。结构动力学与模态分析：这是IEPs最经典的战场。在有限元模型修正（Model Updating）中，实验测量获得的模态数据（特征值和特征向量）往往与初始模型不符。本书详细阐述了如何利用这些实验数据，通过逆特征值方法系统地修正有限元模型的质量矩阵和刚度矩阵，确保修正后的矩阵保持物理可实现性（对称性和正定性）。案例研究涵盖了桥梁、飞机部件等结构的模态数据反演。量子力学与光谱学：在量子化学计算中，哈密顿量矩阵的精确形式往往未知，但可以通过谱实验获得部分能级信息。本书探讨了在给定能级（特征值）下重建有效哈密顿量的方法，这对理解材料的电子结构至关重要。信号处理与模式识别：在主成分分析（PCA）和相关分析中，特征值和特征向量描述了数据的协方差结构。本书介绍了在给定降维后的特征结构信息时，如何反向推导或重建原始的协方差矩阵，这在数据压缩和降噪算法的设计中具有重要意义。数值稳定性与软件实现考量：理论的成功最终取决于其实施的可靠性。本部分对不同算法的计算复杂度、内存需求以及数值稳定性进行了横向比较。对于实际操作，本书讨论了如何利用先进的稀疏矩阵技术来处理大型工业问题，并对常用数值库（如LAPACK, ARPACK）在解决IEPs时的适用性提出了指导性意见。总结《逆特征值问题》旨在成为该领域内一本全面、深入的参考书。通过结合严格的数学理论、前沿的数值算法和丰富的实际案例，本书为读者提供了一把解开复杂反演难题的钥匙，推动相关研究和工程应用的深入发展。