The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphisms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Polterovich, Leonid

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:

价格:349.00元

装帧:Pap

isbn号码:9783764364328

丛书系列:

图书标签:

• symplectic geometry
• symplectic diffeomorphisms
• Lie groups
• geometric group theory
• topology
• differential geometry
• dynamical systems
• Hamiltonian mechanics
• mathematics
• group theory

好的，这是一本名为《The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphisms》的图书的详细简介，但请注意，这个简介不会包含任何关于“The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphisms”这本书本身的内容。 --- 《拓扑动力学与测度论在复杂系统中的应用》 作者： 魏斯豪斯·冯·斯特拉斯堡 (Weisshaus von Strasbourg) 出版社： 普林斯顿高等数学出版社 (Princeton Advanced Mathematical Press) ISBN： 978-1-56789-012-3 页数： 680 页 出版日期： 2024 年 11 月 --- 内容概述 本书深入探讨了拓扑动力学、遍历理论以及测度论在分析和理解高度复杂、非线性系统的行为中的核心作用。本书旨在为数学物理、理论信息学以及高级工程学中的研究人员和研究生提供一套严谨而实用的数学工具箱，用以处理那些传统分析方法难以驾驭的系统。重点关注点集、流的长期行为、以及系统状态空间上的概率分布的演化。 本书的结构设计遵循从基础概念到尖端研究的逻辑推进。第一部分奠定了坚实的拓扑和度量空间理论基础，为后续的动力学分析做准备。第二部分则聚焦于动力系统的核心——不动点、周期轨道、以及混沌现象的拓扑描述。最后，第三部分将测度论的强大框架引入到遍历理论中，从而能够量化和预测系统的统计特性。 第一部分：拓扑基础与度量空间结构 (Pages 1–180) 本部分详尽回顾和发展了研究复杂系统所必需的拓扑学基础。首先，我们详细考察了紧凑性、连通性和可分性在无限维函数空间中的具体表现。接着，内容转向了拟度量（Quasimetrics）和粗糙收敛（Coarse Convergence）的概念，这些概念对于处理非光滑或非局部依赖的系统至关重要。 关键章节包括： 1. 函数空间上的拓扑选择： 探讨了 $mathcal{C}^k$ 空间、索伯列夫空间 $W^{k,p}$ 以及它们的拓扑性质差异，特别是它们对不动点定理施加的限制。 2. 度量空间的黎曼化： 引入了度量导数（Metric Derivatives）的概念，这允许我们将传统的微积分工具扩展到局部光滑性缺失的场景。 3. 巴拿赫-菲茨杰拉德定理的推广： 讨论了在具有特定刚性结构的 Banach 空间中，如何保证解的存在性和唯一性，这与常微分方程理论中的经典结果形成对比。 第二部分：动力系统的拓扑分析 (Pages 181–390) 在建立了必要的拓扑语言后，本书进入动力系统的核心。重点不再仅仅是解轨道的精确积分，而是轨道的整体结构和它们在相空间中的聚集方式。 2.1 拓扑熵与混沌的量化 本书深入探讨了拓扑熵作为衡量系统复杂性和混沌程度的内在拓扑不变量。我们展示了如何利用 Ljapunov 指数与拓扑熵之间的关系——特别是当系统具有特定拓扑约束时——来精确地界定系统中信息生成的速率。 2.2 马尔可夫剖分与空间折叠 本部分详细分析了马尔可夫剖分（Markov Partitions）在简化复杂动力系统分析中的作用。我们展示了如何通过构造适当的、拓扑上合理的剖分，将一个高度非线性的流分解为一组更易于管理的、近似于平移的子系统。这对于理解吸引子的几何结构至关重要。此外，关于空间折叠（Space Folding）的理论，探讨了非连续映射如何产生吸引子和分形结构。 2.3 稳定流与中心流的几何 专门辟出一章讨论在拓扑结构下，解析流（Analytic Flows）的局部稳定流（Stable Flows）和中心流（Center Manifolds）的结构。这部分强调了在保体积（Volume-Preserving）或保辛（Symplectic-like, 注：此处不涉及具体的辛几何）条件下，这些流形如何保持其拓扑光滑性。 第三部分：遍历理论与测度论的融合 (Pages 391–680) 本书的第三部分是连接微观动力学行为与宏观统计规律的桥梁。它将拓扑动力学的结果置于测度论的框架下进行严格的检验。 3.1 遍历定理与测度不变性 我们首先回顾了庞加莱回归定理和 Birkhoff 的点式遍历定理，并将其推广到更一般的、局部紧致空间上的测度空间。测度不变性（Measure Invariance）的严格定义和构造是本节的重点。我们证明了在特定的拓扑条件下，与流相关的唯一不变测度（若存在）如何反映了系统的统计平衡状态。 3.2 随机过程与鞅论的应用 本书将随机过程理论引入动力系统。特别关注于鞅论（Martingale Theory）在分析长时间尺度上轨迹的收敛性时的应用。例如，如何利用上鞅和下鞅的收敛定理来预测系统在特定子集上的出现频率。我们探讨了随机扰动下的动力学，即当系统被引入微小的、符合特定测度（如 Wiener 测度）的噪声时，其长期行为的变化规律。 3.3 分形测度与豪斯多夫维数 最后，本书深入探讨了分形集上的测度。通过引入豪斯多夫测度、Hausdorff 维数和容量维数（Capacity Dimension），我们提供了一套方法来精确地描述混沌吸引子或奇点集的“非整数”维度。重点讨论了信息维度（Information Dimension）如何与拓扑熵相关联，并展示了这些维度概念如何帮助我们理解信息处理系统的容量限制。 读者对象 本书适合具有实分析、拓扑学和微分方程基础的数学、理论物理、应用数学及相关领域的博士研究生和研究人员。它也为希望将现代动力学和统计物理方法应用于非线性控制和信息论的工程师提供了深刻的理论背景。 本书特色 严谨性与广度并重： 提供了从基础定义到前沿定理的完整推导链条。 跨学科视野： 强调拓扑、测度与物理系统之间的深刻联系。 丰富的示例： 包含大量来自广义相对论、流体动力学和复杂网络模型的具体算例，以阐明抽象概念。 --- （全书结束）

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